第3頁（共3頁）2026高中數(shù)學(xué)計(jì)算題專練15個(gè)專題22數(shù)列公式的運(yùn)算一．填空題（共14小題）1．已知數(shù)列{an}（n≥1，n∈N）的通項(xiàng)公式是an=2n-12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，則S6＝．3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a3+a7+a9＝28，則S9＝．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n﹣1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a5＝2，則其前9項(xiàng)和S9＝．6．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a12a19＝16，則log2a8+log2a23＝．7．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝2a3+8a1，S4＝30，則a6＝．8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an=1+1an-1(n∈9．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2﹣a5＝0，則S5S10．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13＝4π，則tan（a2+a12）＝．11．在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝30，則a2+a3＝．12．在等比數(shù)列{an}中，若a7?a9＝4，a4＝1，則a12的值是．13．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，S2＝7，S6＝91，則S4＝．14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8S4=17二．解答題（共16小題）15．在等比數(shù)列{an}中，a2﹣a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和．16．求數(shù)列112，217．已知log3x=-1log23，求x+x2+x18．在數(shù)列{an}中，已知a1=-12，an+1=12an+1（n∈N*19．在等比數(shù)列{an}中，a1?a2?a3＝27，a2+a4＝30，試求：（1）a1和公比q；（2）前6項(xiàng)的和S6．20．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．（1）判斷﹣2和﹣58是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由．（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．21．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3﹣a2＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．22．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1＝2+Sn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．（1）求a1和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn．23．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝9，a2+a3＝8．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求Sn；（Ⅲ）若S3，a14，Sm成等比數(shù)列，求m的值．24．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an+2n，求數(shù)列{b25．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝1，a5＝2a3+8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．26．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，已知a1＝3，a3＝9．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=3anan+1，求b127．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為3，且a2，a3，a6成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和28．已知等差數(shù)列{an}和正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝2，a2+a3＝10，b2b4＝a18．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}中cn＝an+bn，求和：c1+c3+c5+…+c2n﹣1．29．設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項(xiàng)．（1）求{an}的公比；（2）若a1＝1，求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和．30．已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a2＝2，a3+a4＝12．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝an+log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．?dāng)?shù)列公式的運(yùn)算一．填空題（共14小題）1．已知數(shù)列{an}（n≥1，n∈N）的通項(xiàng)公式是an=2n-1【答案】25．【解析】根據(jù)題意，得2n-1=7，解得n故答案為：25．2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3＝2，a1+a4＝5，則S6＝9．【答案】9．【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3=2a1+所以S6＝6a1+6×52故答案為：9．3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1+a3+a7+a9＝28，則S9＝63．【答案】63．【解析】因?yàn)閍1+a3+a7+a9＝28，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a1+a9＝a3+a7＝14，所以S9故答案為：63．4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n﹣1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2﹣1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，又21﹣1＝1，所以an＝2n﹣1，故答案為：an＝2n﹣1．5．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a5＝2，則其前9項(xiàng)和S9＝18．【答案】18．【解析】等差數(shù)列{an}滿足a5＝2，則其前9項(xiàng)和S9=9(a1+故答案為：18．6．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a12a19＝16，則log2a8+log2a23＝4．【答案】4．【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a12a19＝a8a23，又a12a19＝16，所以a8a23＝16，所以log2a8+log2a23＝log2a8a23＝4．故答案為：4．7．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝2a3+8a1，S4＝30，則a6＝64．【答案】64．【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的共比為q（q＞0），由a5＝2a3+8a1，得a1q4＝2a1q2+8a1，即q4﹣2q2﹣8＝0．（q2+2）（q2﹣4）＝0，解得q＝2或q＝﹣2（舍去），又S4＝30，則a1(1-24)所以a6＝2×25＝26＝64．故答案為：64．8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an=1+1an-1(n∈N*【答案】53【解析】由足a1＝1，an得a2a3a4故答案為：539．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2﹣a5＝0，則S5S2=【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若8a2﹣a5＝0，則有8a2﹣a2q3＝0，解可得q＝2，則S5故答案為：3110．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1+a7+a13＝4π，則tan（a2+a12）＝-3【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】∵a1+a7+a13＝4π，a1+a13＝2a7，∴3a7＝4π，即a7=43∵a1+a13＝a2+a12＝2a7=8π則tan（a2+a12）＝tan（2a7）＝tan8π3=tan2π3故答案為：-311．在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2+a3+a4＝30，則a2+a3＝15．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有：a1+a4＝a2+a3，由a1+a2+a3+a4＝30，所以，2（a2+a3）＝30，則a2+a3＝15．故答案為：15．12．在等比數(shù)列{an}中，若a7?a9＝4，a4＝1，則a12的值是4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】∵a7?a9＝4，a4＝1，a7?a9＝a4?a12，∴a12＝4．故答案為：4．13．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，S2＝7，S6＝91，則S4＝28．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若S2＝7，S6＝91，由于每相鄰兩項(xiàng)的和也成等比數(shù)列，∴S2、S4﹣S2、S6﹣S4成等比數(shù)列，即7，S4﹣7，91﹣S4成等比數(shù)列．∴（S4﹣7）2＝7（91﹣S4），解得S4＝28，故答案為：28．14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8S4=1716，則公比【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，q≠1，∵S8S4=1716，∴化為q4=116，則公比q=1故答案為：12二．解答題（共16小題）15．在等比數(shù)列{an}中，a2﹣a1＝2，且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公比及前n項(xiàng)和．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知可得，a1q﹣a1＝2，4a聯(lián)立可得，a1（q﹣1）＝2，q2﹣4q+3＝0∴q=3a1=1∴s16．求數(shù)列112，2【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】數(shù)列的通項(xiàng)為a所以數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn=(1+n)n=-1所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為-17．已知log3x=-1log23，求x+x2+x【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】∵log∴l(xiāng)og3x＝﹣log32，即x=由等比數(shù)列求和公式得Sn＝x+x2+x3…+xn=x(1-x18．在數(shù)列{an}中，已知a1=-12，an+1=12an+1（n∈N*【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】∵an+1=12an+1（n∈N∴an+1﹣2=12（a又∵a1﹣2=-12-∴數(shù)列{an﹣2}是首項(xiàng)為-52、公比為∴an﹣2=-52?∴an＝2-519．在等比數(shù)列{an}中，a1?a2?a3＝27，a2+a4＝30，試求：（1）a1和公比q；（2）前6項(xiàng)的和S6．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】（1）根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}中，a1?a2?a3＝27，則有a1?a2?a3＝（a2）3＝27，即a2＝3，a2＝3時(shí)，a4＝30﹣a2＝27，有q2=a4a若q＝3，則a1=a若q＝﹣3，則a1=a（2）當(dāng)q＝3，a1＝1時(shí)，前6項(xiàng)的和S6=1(1-當(dāng)q＝﹣3，a1＝﹣1時(shí)，前6項(xiàng)的和S6=(-1)(1-20．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝﹣3，a3＝﹣4．（1）判斷﹣2和﹣58是否是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請說明理由．（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1）﹣2不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)，﹣58是數(shù)列{an}中的第21項(xiàng)；（2）Sn=n(7-3n)【解析】（1）由題意知，an＝a3+（n﹣3）d＝﹣4+（n﹣3）×（﹣3）＝5﹣3n，令5﹣3n＝﹣2，則n=73?N*，所以﹣2不是數(shù)列{a令5﹣3n＝﹣58，則n＝21∈N*，所以﹣58是數(shù)列{an}中的第21項(xiàng)．（2）由an＝5﹣3n，知a1＝2，所以Sn=(21．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3﹣a2＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1）an＝n．（2）Sn=n(n+1)【解析】（1）∵等差數(shù)列{an}中，a1＝1，d＝a3﹣a2＝1．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝1+（n﹣1）×1＝n．（2）∵a1＝1，d＝1，∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：Sn＝n×1+n(n-1)2×22．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1＝2+Sn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．（1）求a1和數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an=2n；（2）2n【解析】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1＝2+Sn對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2+S1，整理得：a1q＝2+a1，故a1當(dāng)n＝2時(shí)，整理得：a1解得：q＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2+Sn﹣1，兩式相減得：an+1＝2an，即：an+1故：數(shù)列{an}是以a1＝2，公比為2的等比數(shù)列．所以：an（2）由于：an所以：Sn則：Tn=4(＝2n+2﹣2n﹣4．23．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝9，a2+a3＝8．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求Sn；（Ⅲ）若S3，a14，Sm成等比數(shù)列，求m的值．【答案】（I）an＝2n﹣1；（Ⅱ）n2；（Ⅲ）9．【解析】（Ⅰ）由題意得S3解得a1故{an}的通項(xiàng)公式為an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，Sn（III）因?yàn)镾3，a14，Sm成等比數(shù)列，所以S3所以9m2＝272，即m2＝81，又因?yàn)閙∈N*，則解得m＝9．24．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=an+2n，求數(shù)列{b【答案】（1）an＝3n﹣5；（2）Sn=3n2-7n【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列，∴4a1+6d=10(a1+2d)2=(a∴an＝3n﹣5；（2）由（1）得bn∴Sn25．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝1，a5＝2a3+8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）Sn=n(n-1)【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝1，a5＝2a3+8，所以令數(shù)列{an}的公比為q，a所以q4＝2q2+8，解得q＝﹣2（舍去）或2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，an（2）因?yàn)閎n＝log2an，所以bn＝n﹣1，bn+1＝n，bn+1﹣bn＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為0、公差為1的等差數(shù)列，Sn26．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，已知a1＝3，a3＝9．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn=3anan+1，求b1【答案】（I）3n．（Ⅱ）20216066【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則由題意有a3＝a1+2d，d=a∴an＝3+3（n﹣1）＝3n．（Ⅱ）b∴b1+b2+b3+…+b2021=1=1=202127．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為3，且a2，a3，a6成等比數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和【答案】（1）an＝2n﹣3．（2）Sn=-124（1﹣9【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d≠0，由a1+a2+a3＝3可得3a2＝3，∴a2＝1，又∵a2，a3，a6成等比數(shù)列，∴a3∴a1+d=1(a1∴an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．（2）bn＝32n﹣3=3∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為13∴Sn=13(1-28．已知等差數(shù)列{an}和正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝2，a2+a3＝10，b2b4＝a18．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{cn}中cn＝an+bn，求和：c1+c3+c5+…+c2n﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2+a3＝10，所以2a1+3d＝10，又a1＝2，所以d＝2，即an＝2+（n﹣1）×2＝2n，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，因?yàn)閎2b4＝a18＝36，即b12?q4=36，由b1＝2，（II）cn設(shè)S2n﹣1＝c1+c3+c5+…+c2n﹣1，則S2