4.1.1正弦第四章銳角三角函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值．2．通過具體實(shí)例，分析、比較后知道“當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值也固定”的事實(shí)．3．通過實(shí)際動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力和學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神．【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】理解正弦的概念與意義．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】正弦的概念。學(xué)習(xí)目標(biāo)揚(yáng)水站的圖片．修建一個(gè)揚(yáng)水站，在選擇揚(yáng)水泵時(shí)，必須知道揚(yáng)水站(點(diǎn)A)與水平面(BC)的高度(AC)．斜坡與水平面所成的角(∠B)可以用測(cè)角器測(cè)出來，水管的長度(AB)也能直接量得．提問：你能求出它的高度(AC)嗎？情景導(dǎo)入知識(shí)模塊一正弦的概念如圖，（1）和（2）分別是小明、小亮畫的直角三角形，其中∠A=∠A′=65°，∠C=∠C′=90°.ACBB'C'A'65°65°自學(xué)互研小明量出∠A的對(duì)邊BC=3cm，斜邊AB=3.3cm，算出：小亮量出∠A'的對(duì)邊B'C'=2cm，斜邊A'B'=2.2cm，算出：自學(xué)互研這個(gè)猜測(cè)是真的嗎？若把65°角換成任意一個(gè)銳角α，則這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值是否也是一個(gè)常數(shù)呢？由此猜測(cè)：在有一個(gè)銳角為65°的所有直角三角形中，65°角的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，它等于自學(xué)互研如圖，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=.∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？自學(xué)互研∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∵△DEF.Rt∽△ABC∴Rt即∴∴自學(xué)互研

這說明，在有一個(gè)銳角等于α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)常數(shù)，與直角三角形的大小無關(guān).自學(xué)互研歸納如圖，在直角三角形中，我們把銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫作角的正弦，記作sin，即根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，容易得到

sin30°=歸納(1)在有一個(gè)銳角為α的所有直角三角形中，角α的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)______，與直角三角形的_____無關(guān)．(2)在直角三角形中，銳角α的_____與_____的比叫作角α的正弦，記作sinα，即sinα＝

．(3)sin30°＝

．(4)如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，sinA＝

，sinB＝

．自學(xué)互研常數(shù)大小對(duì)邊斜邊知識(shí)模塊二正弦概念的應(yīng)用例1如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.（1）求sinA的值（2）求sinB的值BCA解：（1）∠A的對(duì)邊BC=3，斜邊AB=5.于是（2）∠B的對(duì)邊AC，根據(jù)勾股定理，得

AC2=AB2-BC2=52-32=16于是AC=4因此如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P（3，4），連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角的正弦值.解：如圖，設(shè)點(diǎn)A（3，0），連接PA.A●在△APO中，由勾股定理得因此自學(xué)互研如圖所示，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.從而AC=BC．根據(jù)勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此如何求sin45°的值？自學(xué)互研如圖所示，構(gòu)造一個(gè)Rt△ABC

，使∠B=60°，則∠A=30°，從而.根據(jù)勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此如何求sin60°的值？自學(xué)互研例如求50°角的正弦值，可以在計(jì)算器上依次按鍵，顯示結(jié)果為0.7660…至此，我們已經(jīng)知道了三個(gè)特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而對(duì)于一般銳角的正弦值，我們可以利用計(jì)算器來求.自學(xué)互研如果已知正弦值，我們也可以利用計(jì)算器求出它的對(duì)應(yīng)銳角.例如，已知sinα

=0.7071，依次按鍵，顯示結(jié)果為44.999…，表示角α約等于45°.自學(xué)互研在Rt△ABC

中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，AB=c，則BC=ck，AC=ch.在

Rt△ABC

中，∠C=90°，sinA=k，sinB=h，BC=a，則AB=AC=歸納利用計(jì)算器計(jì)算：（1）sin40°≈________（精確到0.0001）；（2）sin15°30′≈________（精確到0.0001）；（3）若sinα=0.5225，則α≈____（精確到0.1°）；（4）若sinα=0.8090，則α≈_____（精確到0.1°）.0.64280.267231.554.0自學(xué)互研1.用計(jì)算器求下列銳角的正弦值（精確到0.0001）：

（1）35°；（2）65°36′；（3）80°54′.解:（1）sin35°=0.5736；

（2）sin65°36′=0.9107；

（3）sin80°54′=0.9874；自學(xué)互研練習(xí)2.已知下列正弦值，用計(jì)算器求對(duì)應(yīng)的銳角（精確到0.1°）：（1）sinα=0.8071；（2）sinα=0.8660.解：（1）α≈53.8°；

（2）α≈60.0°。3.在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求這個(gè)三角形的周長．解：設(shè)BC=7x，則AB=25x，在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC

的周長為AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).探究：如下圖所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，則成立嗎？為什么？∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.從而sinB=sinE因此自學(xué)互研1、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．典例精析解：如圖1，在Rt△ABC中，AB＝

＝5.因此sinA＝

＝

，sinB＝

＝.如圖2，在Rt△ABC中，sinA＝

＝

，AC＝=12.因此sinB＝

＝.2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6，求AC.解：在Rt△ABC中，∵sinA＝

，∴BC＝ABsinA＝6sin30°＝6×＝3.由勾股定理得：AC＝

檢測(cè)反饋1．2sin30°的值等于(

)2．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，則sinA＝(

)AA3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(5，12)，那么OP與x軸的夾角α的正弦值是____4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，過D點(diǎn)作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，BC＝6，sinA＝

，則DE＝____．5．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

，AC＝2，求AB，BC的長．解