六年級(jí)奧數(shù)競(jìng)賽專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練題及解題策略一、計(jì)算專(zhuān)項(xiàng)：裂項(xiàng)相消法題目1：計(jì)算\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{99\times100}\)思路分析：觀察每一項(xiàng)結(jié)構(gòu)，均為\(\frac{1}{n(n+1)}\)形式。根據(jù)裂項(xiàng)相消公式\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，可將每一項(xiàng)拆分為兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，相加時(shí)中間項(xiàng)抵消，簡(jiǎn)化計(jì)算。解答過(guò)程：\[\begin{align*}\text{原式}&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\&=1-\frac{1}{100}\\&=\frac{99}{100}\end{align*}\]技巧總結(jié)：裂項(xiàng)相消法適用于分母為連續(xù)自然數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)求和；關(guān)鍵是記住公式\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)，抵消中間項(xiàng)后只剩首尾項(xiàng)。二、幾何專(zhuān)項(xiàng)：平面幾何面積（等積變換）題目2：在平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)是\(AB\)邊中點(diǎn)，\(F\)是\(BC\)邊三等分點(diǎn)（靠近\(B\)），連接\(AF\)、\(CE\)交于點(diǎn)\(O\)，求\(\triangleAOC\)的面積占平行四邊形\(ABCD\)面積的幾分之幾？思路分析：設(shè)平行四邊形面積為單位“1”，利用等積變換（同底等高面積相等）和面積比建立方程。通過(guò)設(shè)小三角形面積為未知數(shù)，結(jié)合中點(diǎn)、三等分點(diǎn)的比例關(guān)系求解。解答過(guò)程：設(shè)平行四邊形\(ABCD\)面積為\(S\)，則\(\triangleABC\)面積為\(\frac{S}{2}\)（對(duì)角線平分面積）。1.計(jì)算基礎(chǔ)三角形面積：\(E\)是\(AB\)中點(diǎn)，故\(\triangleBCE\)面積為\(\frac{1}{2}\times\frac{S}{2}=\frac{S}{4}\)；\(F\)是\(BC\)三等分點(diǎn)，故\(\triangleABF\)面積為\(\frac{1}{3}\times\frac{S}{2}=\frac{S}{6}\)。2.設(shè)未知數(shù)列方程：設(shè)\(\triangleBEO\)面積為\(x\)，則\(\triangleAEO\)面積也為\(x\)（\(E\)是中點(diǎn)，同高）；設(shè)\(\triangleBFO\)面積為\(y\)，則\(\triangleCFO\)面積為\(2y\)（\(F\)是三等分點(diǎn)，同高）。列方程：\[\begin{cases}2x+y=\frac{S}{6}\quad(\triangleABF\text{面積})\\x+3y=\frac{S}{4}\quad(\triangleBCE\text{面積})\end{cases}\]解得\(x=\frac{S}{20}\)，\(y=\frac{S}{15}\)。3.計(jì)算\(\triangleAOC\)面積：\(\triangleAFC\)面積為\(\frac{S}{2}-\frac{S}{6}=\frac{S}{3}\)，\(\triangleAOC=\triangleAFC-\triangleCFO=\frac{S}{3}-2y=\frac{S}{3}-\frac{2S}{15}=\frac{S}{5}\)。結(jié)論：\(\triangleAOC\)面積占平行四邊形面積的\(\frac{1}{5}\)。技巧總結(jié)：等積變換核心是“同底等高面積相等”；通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程，拆解復(fù)雜圖形；利用中點(diǎn)、等分點(diǎn)的比例關(guān)系簡(jiǎn)化計(jì)算。三、應(yīng)用題專(zhuān)項(xiàng)：行程問(wèn)題（多次相遇）題目3：甲、乙兩人從\(A\)、\(B\)兩地同時(shí)相向而行，甲速6千米/小時(shí)，乙速4千米/小時(shí)。相遇后繼續(xù)前行至對(duì)方起點(diǎn)，再返回相遇。已知兩次相遇地點(diǎn)相距20千米，求\(A\)、\(B\)兩地距離。思路分析：第一次相遇：兩人共走1個(gè)全程；第二次相遇：兩人共走3個(gè)全程（出發(fā)到第二次相遇）。通過(guò)計(jì)算兩次相遇時(shí)甲的位置，利用位置差建立方程。解答過(guò)程：設(shè)\(A\)、\(B\)兩地距離為\(s\)千米。1.第一次相遇：相遇時(shí)間\(t_1=\frac{s}{6+4}=\frac{s}{10}\)小時(shí)，甲走了\(6\times\frac{s}{10}=\frac{3s}{5}\)千米（距離\(A\)地\(\frac{3s}{5}\)千米）。2.第二次相遇：相遇時(shí)間\(t_2=\frac{3s}{10}\)小時(shí)，甲走了\(6\times\frac{3s}{10}=\frac{9s}{5}\)千米，甲位置：\(\frac{9s}{5}-s=\frac{4s}{5}\)千米（距離\(B\)地，即距離\(A\)地\(s-\frac{4s}{5}=\frac{s}{5}\)千米）。3.建立方程：兩次相遇地點(diǎn)距離差為\(\frac{3s}{5}-\frac{s}{5}=\frac{2s}{5}\)千米，由題意\(\frac{2s}{5}=20\)，解得\(s=50\)千米。結(jié)論：\(A\)、\(B\)兩地距離為50千米。技巧總結(jié)：第\(n\)次相遇時(shí)，兩人共走\(yùn)(2n-1\)個(gè)全程；計(jì)算相遇地點(diǎn)時(shí)，需明確某一方的位置（如距離起點(diǎn)的距離）；利用位置差建立方程是關(guān)鍵。四、數(shù)論專(zhuān)項(xiàng)：因數(shù)與倍數(shù)題目4：兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72，求這兩個(gè)數(shù)。思路分析：根據(jù)定理“兩數(shù)乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)”，設(shè)兩數(shù)為\(12m\)、\(12n\)（\(m,n\)互質(zhì)），則最小公倍數(shù)為\(12mn=72\)，解得\(mn=6\)，找出互質(zhì)因數(shù)對(duì)即可。解答過(guò)程：設(shè)兩數(shù)為\(a=12m\)、\(b=12n\)（\(m,n\)互質(zhì)），則：\[12mn=72\impliesmn=6\]6的互質(zhì)因數(shù)對(duì)為(1,6)、(2,3)，故兩數(shù)為：\(12×1=12\)和\(12×6=72\)；\(12×2=24\)和\(12×3=36\)。結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)為12和72，或24和36。技巧總結(jié)：若最大公因數(shù)為\(d\)，則兩數(shù)可設(shè)為\(d×m\)、\(d×n\)（\(m,n\)互質(zhì)）；利用“兩數(shù)乘積=最大公因數(shù)×最小公倍數(shù)”簡(jiǎn)化計(jì)算；關(guān)鍵是找出互質(zhì)的因數(shù)對(duì)。五、組合專(zhuān)項(xiàng)：抽屜原理題目5：六年級(jí)有37名學(xué)生，至少有幾名學(xué)生的生日在同一個(gè)月？思路分析：抽屜原理（鴿巢原理）：\(n+1\)個(gè)物品放入\(n\)個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜有2個(gè)物品。此處12個(gè)月為“抽屜”，37名學(xué)生為“物品”，計(jì)算商和余數(shù)。解答過(guò)程：\(37÷12=3\)（名）……1（名），即每個(gè)月放3名學(xué)生后，剩余1名學(xué)生。根據(jù)抽屜原理，剩余1名學(xué)生無(wú)論放入哪個(gè)月，該月至少有\(zhòng)(3+1=4\)名學(xué)生。結(jié)論：至少有4名學(xué)生的生日在同一個(gè)月。技巧總結(jié)：確定“抽屜”（如月份、顏色）和“物品”（如學(xué)生、球）數(shù)量；計(jì)算方式：物品數(shù)÷抽屜數(shù)，若有余數(shù)，則至少有（商+1）個(gè)物品在同一抽屜；若無(wú)余數(shù)，則至少有商個(gè)物品。六、六年級(jí)奧數(shù)競(jìng)賽備考建議1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握分?jǐn)?shù)計(jì)算、幾何公式、行程基本關(guān)系、數(shù)論定理等基礎(chǔ)內(nèi)容；2.掌握技巧：針對(duì)各專(zhuān)項(xiàng)（如裂項(xiàng)相消、等積變換、多次相遇）總結(jié)解