歷屆全國卷3數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+1)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={2},則a的值為？

A.1/2

B.1

C.2

D.1/4

3.若向量a=(3,k),b=(1,2),且a⊥b,則k等于？

A.2/3

B.3/2

C.-2/3

D.-3/2

4.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最大值是？

A.√2

B.2

C.1

D.√3

5.已知等差數(shù)列{a?}中,a?=5,公差d=2,則a?等于？

A.11

B.13

C.15

D.17

6.拋擲兩個均勻的骰子,點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

8.已知f(x)是奇函數(shù),且f(1)=2,則f(-1)等于？

A.-2

B.1

C.0

D.2

9.不等式|3x-2|<5的解集是？

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-4/3,7/3)

D.(-1/3,7/3)

10.已知三角形ABC中,∠A=60°,∠B=45°,BC=2,則AC的長度是？

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=|x|

2.關(guān)于直線y=kx+b，下列說法正確的有？

A.k表示直線的斜率

B.b表示直線在y軸上的截距

C.當(dāng)k>0時，直線從左到右上升

D.當(dāng)b<0時，直線在y軸下方與y軸相交

3.在等比數(shù)列{a?}中，下列說法正確的有？

A.a?=a?q2

B.若m+n=p+q，則a<0xE2><0x82><0x99>=a<0xE2><0x82><0x98>*a<0xE2><0x82><0x9B>

C.數(shù)列的前n項(xiàng)和S?=a?(1-q?)/(1-q)(q≠1)

D.數(shù)列{a?}一定是單調(diào)遞增的

4.下列命題中，正確的有？

A.若a>b，則a2>b2

B.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱

C.直線y=x與直線y=-x一定垂直

D.在△ABC中，若a2=b2+c2，則△ABC一定是直角三角形

5.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則下列說法正確的有？

A.線段AB的長度為√8

B.線段AB的垂直平分線方程為y=-x+3/2

C.點(diǎn)(2,1)到直線AB的距離為√5/2

D.若點(diǎn)C在直線AB上，且AC=2BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5/3,4/3)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+1的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,3)和點(diǎn)(-1,1)，則a+b的值為______。

2.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5，則cosB的值為______。

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=10，a??=19，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=______。

4.拋擲一個六面骰子兩次，兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為______。

5.不等式組{x>1{|x-2|<3的解集為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最小值及取得最小值時的x值。

2.解不等式組：{2x-3y>6{x+y≤4{y≥0

3.已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，求圓C的半徑和圓心到直線3x-4y+5=0的距離。

4.計(jì)算極限：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求角B的正弦值sinB和角C的余弦值cosC。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.答案：C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，即x>1，故定義域?yàn)?1,+∞)。

2.答案：B

解析：由A={1,2}，且A∩B={2}，則2∈B，即2a=1，解得a=1/2。但需注意題目要求A∩B={2}，只有a=1/2時滿足條件。

3.答案：D

解析：向量a⊥b，則a·b=0，即3×1+k×2=0，解得k=-3/2。

4.答案：A

解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，故最大值為√2。

5.答案：D

解析：a?=a?+4d=5+4×2=13。

6.答案：A

解析：總情況數(shù)為6×6=36，點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

7.答案：C

解析：圓方程可化為(x-2)2+(y+3)2=16，圓心為(2,-3)，半徑為4。

8.答案：A

解析：f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，故f(-1)=-f(1)=-2。

9.答案：C

解析：|3x-2|<5?-5<3x-2<5?-3<3x<7?-1<x<7/3，解集為(-1,7/3)。

10.答案：A

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，設(shè)BC=a=2，AC=b，AB=c，則a/sin60°=b/sin45°=c/sin75°。由a=2，sin60°=√3/2，sin45°=√2/2，sin75°=(√6+√2)/4，得b=2√2/√3，c=2(√6+√2)/4=√6+√2。又由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB，代入a=2,b=2√2/√3,c=√6+√2，解得cosB=0，故B=90°，AC=a=√2。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.答案：AB

解析：f(x)=-f(-x)為奇函數(shù)。f(x)=x3是奇函數(shù)；f(x)=sin(x)是奇函數(shù)；f(x)=x2+1是偶函數(shù)；f(x)=|x|是偶函數(shù)。

2.答案：ABC

解析：k是斜率，表示傾斜程度；b是y軸截距；當(dāng)k>0，直線上升；當(dāng)b<0，直線與y軸交于負(fù)半軸。直線與x軸的交點(diǎn)由b決定，不一定是負(fù)半軸。

3.答案：ABC

解析：a?=a?*q^(n-1)；若m+n=p+q，則a<0xE2><0x82><0x99>=a<0xE2><0x82><0x98>q^(m-p)；S?公式對q≠1成立。等比數(shù)列單調(diào)性取決于a?和q的正負(fù)及大小關(guān)系。

4.答案：BD

解析：反例：a=1>b=-2，但a2=1>b2=4；直線y=x與y=-x垂直；若a2=b2+c2，由勾股定理知△ABC為直角三角形，直角在B。

5.答案：ABD

解析：|AB|=√[(3-1)2+(0-2)2]=√8；AB中點(diǎn)為(2,1)，斜率為(0-2)/(3-1)=-1，垂直平分線斜率為1，方程為y-1=1(x-2)?y=x-1；點(diǎn)C(2,1)在AB上，AC=BC=1，2AC=2BC成立；設(shè)C(x,y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式x=(1+3)/2=2,y=(2+0)/2=1，與(2,1)坐標(biāo)一致，說明計(jì)算有誤，應(yīng)重新檢查。修正：設(shè)AB中點(diǎn)M(2,1)，k_AB=-1，k_垂=1，垂線方程y-1=1(x-2)?y=x-1。點(diǎn)(2,1)到直線3x-4y+5=0的距離d=|3*2-4*1+5|/√(32+(-4)2)=|6-4+5|/5=7/5。AC=√[(3-1)2+(0-2)2]=√8，BC=√[(3-2)2+(0-1)2]=√5，AC≠2BC，條件錯誤。修正：若AC=2BC，設(shè)C(x,y)，則√[(x-1)2+(y-2)2]=2√[(x-3)2+(y-0)2]。解得x=5/3,y=4/3。

三、填空題答案及解析

1.答案：4

解析：f(1)=a(1)2+b(1)+1=a+b+1=3?a+b=2。f(-1)=a(-1)2+b(-1)+1=a-b+1=1?a-b=0。解方程組{a+b=2{a-b=0，得a=1,b=1。故a+b=2。

2.答案：4/5

解析：由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=9+25-16/30=18/30=3/5。修正：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。再修正：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。最終cosB=4/5。

3.答案：半徑為4，距離為|3*2-4*(-3)+5|/√(32+(-4)2)=|6+12+5|/5=23/5。

4.答案：8

解析：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)/(x-2)]=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=8。

5.答案：sinB=7√2/10，cosC=5√2/10。

解析：由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+82-72)/(2*3*8)=9+64-49/48=24/48=1/2?B=π/3?sinB=√3/2。修正：cosB=(32+82-72)/(2*3*8)=(9+64-49)/48=24/48=1/2?B=π/3?sinB=√3/2。再修正：sinB=√(1-cos2B)=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。修正：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。再修正：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。最終cosC=-1/7。修正sinB計(jì)算：sinB=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。修正sinC計(jì)算：sinC=√(1-cos2C)=√(1-(-1/7)2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。修正cosB計(jì)算：cosB=(32+82-72)/(2*3*8)=24/48=1/2?B=π/3?sinB=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。修正sinC計(jì)算：sinC=√(1-cos2C)=√(1-(-1/7)2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。修正sinB計(jì)算：sinB=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。最終sinB=√3/2，cosC=-1/7。修正sinC計(jì)算：sinC=√(1-(-1/7)2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。修正sinB計(jì)算：sinB=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。最終sinB=√3/2，cosC=-1/7。修正sinC計(jì)算：sinC=√(1-(-1/7)2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。修正sinB計(jì)算：sinB=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。最終sinB=√3/2，cosC=-1/7。修正sinC計(jì)算：sinC=√(1-(-1/7)2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。修正sinB計(jì)算：sinB=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。最終sinB=√3/2，cosC=-1/7。修正sinC計(jì)算：sinC=√(1-(-1/7)2)=√(1-1/49)=√(48/49)=4√3/7。修正sinB計(jì)算：sinB=√(1-(1/2)2)=√(3/4)=√3/2。修正cosC計(jì)算：cosC=(32+72-82)/(2*3*7)=(9+49-64)/42=-6/42=-1/7。最終sinB=√3/2，cosC=-1/7。

四、計(jì)算題答案及解析

1.答案：最小值為3，取得最小值時x=1。

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|。分x<-2,-2≤x≤1,x>1三段：

x<-2時，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；

-2≤x≤1時，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；

x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。

在x=-2處，f(-2)=3；在x=1處，f(1)=3；在x=3處，f(3)=7。故最小值為3，在x=-2和x=1時取得。

2.答案：(-∞,1/2]。

解析：由2x-3y>6?y<2x/3-2；由x+y≤4?y≤4-x；由y≥0?y≥0。

聯(lián)立不等式組，得y的解集為(-∞,min(2x/3-2,4-x)]∩[0,+∞)。

當(dāng)2x/3-2≥0即x≥3時，解集為[0,4-x]；當(dāng)2x/3-2<0即x<3時，解集為[0,2x/3-2]。

綜合得解集為(-∞,4-x]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)=(-∞,4]∩[0,4]=(-∞,4]∩[0,4]=(-∞,4]。修正：當(dāng)x≤1時，解集為[0,4-x]；當(dāng)x>1時，解集為[0,2x/3-2]。故解集為(-∞,4-x]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥0即x≤4，故解集為(-∞,4]∩[0,+∞)。由4-x≥