第2課時矩形的判定課時目標1.經(jīng)歷探索矩形判定定理的過程,掌握矩形的判定定理,培養(yǎng)學生的合情推理與演繹推理的能力.2.通過對比平行四邊形判定的學習方法,體會證明過程中類比、轉化、由一般到特殊的數(shù)學思想方法,發(fā)展學生的數(shù)學思維.達成目標1的標志:學生通過對比平行四邊形判定的學習方法,可以提出矩形判定的猜想,然后經(jīng)歷驗證并證明猜想的過程,最終能夠得出矩形的判定定理.達成目標2的標志:學生能夠主動想到類比平行四邊形判定的學習方法來學習矩形的判定定理,在探究判定的過程中能自己設計探究過程并分步實施,最終得出結論.學習重點矩形的判定定理.學習難點矩形判定定理的應用.課時活動設計回顧平行四邊形的判定定理是怎樣研究的?平行四邊形的性質與判定有什么聯(lián)系?矩形有哪些性質?矩形的判定從何處入手研究?設計意圖:引導學生回顧矩形的性質以及平行四邊形判定的研究路徑,思考幾何圖形性質與判定的邏輯關系,為矩形判定的研究提供研究思路,讓學生體會它們的研究路徑和方法是一致的.你現(xiàn)在知道的判定矩形的方法是什么?判定矩形需要幾個條件?分別是什么?請寫出矩形性質的逆命題?你能對矩形的判定提出猜想嗎?學生活動:先獨立寫出矩形性質的逆命題,再小組討論,最后形成一致意見進行展評.矩形的性質1:矩形的四個角都是直角.逆命題1:四個角都是直角的(平行)四邊形是矩形.矩形的性質2:矩形的對角線相等.逆命題2:對角線相等的(平行)四邊形是矩形.對于逆命題中的條件,是用四邊形還是用平行四邊形這個條件呢?為什么?設計意圖:引導學生回憶矩形的定義,明確定義具有雙重性,既是性質也是判定.引導學生通過性質猜想判定,讓學生體會數(shù)學知識間的聯(lián)系,建立知識的整體結構框架,理清各個知識點之間的聯(lián)系,使學生頭腦中的知識結構化、系統(tǒng)化.通過分析逆命題中的條件,讓學生體會定理條件的精簡,體會數(shù)學的簡潔美.畫圖驗證得出的兩個逆命題的真假:逆命題1:四個角都是直角的四邊形是矩形.逆命題2:對角線相等的平行四邊形是矩形.設計意圖:讓學生經(jīng)歷猜想——驗證——證明——得出結論的科學的探究過程,培養(yǎng)學生科學的思維方法,發(fā)展學生的核心素養(yǎng).通過畫圖驗證,培養(yǎng)學生動手作圖的能力,發(fā)展學生的幾何直觀.你能證明教學活動3中的兩個命題嗎?證明命題的步驟:畫圖——寫出已知和求證——證明,請同學們按照步驟對上述命題進行證明,然后小組展評.1.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.求證:四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形.2.已知:如圖,在?ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證:?ABCD是矩形.證明:∵在?ABCD中,AB=DC,BC=CB,且AC=DB.∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴?ABCD是矩形.設計意圖:引導學生在經(jīng)過合情推理之后對得到的結論進行嚴密的邏輯推理證明,讓學生明白每一個數(shù)學定理的得出都要經(jīng)過嚴謹?shù)难堇[推理的過程,培養(yǎng)學生思維的縝密性以及推理能力.通過小組合作討論、展評,培養(yǎng)學生的合作意識以及語言表達能力.再次理解:對于“四個角都是直角的四邊形是矩形”這一命題,條件可以再精簡嗎?三個直角可以嗎?兩個直角可以嗎?為什么?解:可以精簡為三個直角,因為四邊形的內(nèi)角和為360°,其中三個角為90°,則第四個角一定是90°,所以三個角都是直角的四邊形一定是矩形.不可以精簡為兩個直角,如直角梯形有兩個角為直角,但它不是矩形.設計意圖:通過弱化矩形判定的條件,讓學生再次感知數(shù)學的簡潔美,培養(yǎng)學生的推理能力,讓學生站在更高的角度思考定理的合理性,培養(yǎng)學生科學的思維方法.例題練習,鞏固理解先獨立完成教材第54頁例2,然后學生代表講解,全班分享,共同完善修正答案.例如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,且OA=OD,∠OAD=50°,求∠OAB的度數(shù).解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC=12AC,OB=OD=1又OA=OD,∴AC=BD.∴四邊形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.又∠OAD=50°,∴∠OAB=40°.設計意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學生運用知識的能力和推理能力,培養(yǎng)學生的語言表達能力,加深學生對性質的理解.本節(jié)課我們研究了矩形的判定定理,請同學們帶著以下問題進行總結:(1)在探尋矩形的判定定理時,你經(jīng)歷了怎樣的研究過程?這個過程中用到了哪些數(shù)學方法?積累了哪些活動經(jīng)驗?(2)矩形是特殊的平行四邊形,特殊在哪里?還有其他的特殊的平行四邊形嗎?還可以從哪方面進行研究?你能設計研究路徑嗎?設計意圖:學生通過自主反思,不但可以梳理本節(jié)所學的知識,更重要的是能將數(shù)學思想方法進行內(nèi)化吸收,通過引導學生矩形是平行四邊形角特殊的情況,容易想到我們還要研究平行四邊形邊特殊的情況,引出下一節(jié)的內(nèi)容,這樣既可以將學生頭腦中的知識結構化、系統(tǒng)化,還為下一節(jié)的研究做好鋪墊并提供研究思路及研究方法.知能演練提升能力提升1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是()A.對邊相等 B.對角相等C.對角線相等 D.對角線互相平分2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點H,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點,若EF+CH=8,則CH的值為()A.3 B.4 C.5 D.63.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,以點B為圓心,BC的長為半徑畫弧交AD于點E,再分別以點C,E為圓心、大于12CE的長為半徑畫弧,兩弧交于點F,作射線BF交CD于點G,則CG的長為.4.如圖,將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起,恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,則邊AD的長是cm.

5.已知四邊形ABCD是矩形,點E是矩形ABCD的邊上的點,且EA=EC.若AB=6,AC=210,則DE的長是.

6.如圖,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一點,F是AB上的一點,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周長為32cm,求AE的長.7.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點M,N,與邊AD交于點E,垂足為點O.(1)求證:△AOM≌△CON;(2)若AB=3,AD=6,請直接寫出AE的長.8.如圖,?ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點E,H,G,F,連接EG,FH.求證:EG=FH.創(chuàng)新應用9.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E是?ABCD外一點,且∠AEC=∠BED=90°.求證:?ABCD是矩形.★10.如圖,在△ABC中,點O是AC邊上(端點除外)的一個動點,過點O作直線MN∥BC.設MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F,連接AE,AF.那么當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結論.

知能演練·提升能力提升1.C2.B∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點H,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點,∴EF=12AB,CH=12AB,∴∵EF+CH=8,∴CH=EF=12×8=43.103如圖,連接EG由題意知,BF是∠EBC的平分線,∴∠EBG=∠CBG.在△EBG和△CBG中,EB∴△EBG≌△CBG(SAS),∴GE=GC.在Rt△ABE中,AB=6,BE=BC=10,∴AE=BE2∴DE=AD-AE=10-8=2.在Rt△DGE中,DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,EG2-DE2=DG2,∴CG2-22=(6-CG)2,解得CG=1035.2343或∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC=AC2-AB2當點E在CD上時,∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴(6-DE)2=DE2+4,∴DE=83當點E在AB上時,不妨設此時點E為E',∵CE'2=BE'2+BC2=AE'2,∴AE'2=(6-AE')2+4,∴AE'=103∴DE'=AD綜上所述,DE=2346.解在Rt△AEF和Rt△DCE中,∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.又∠FAE=∠EDC=90°,EF=EC,∴Rt△AEF≌Rt△DCE.∴AE=CD.∵矩形ABCD的周長為32cm,∴2(AD+CD)=2(AE+AE+4)=32,解得AE=6(cm).7.(1)證明∵MN是AC的垂直平分線,∴AO=CO,∠AOM=∠CON=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠M=∠N.在△AOM和△CON中,∠∴△AOM≌△CON(AAS).(2)解如圖,連接CE,∵MN是AC的垂直平分線,∴CE=AE.設AE=CE=x,則DE=6-x,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠CDE=90°,CD=AB=3.在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即32+(6-x)2=x2,解得x=154,即AE的長為158.分析要證對角線EG=FH,只需證四邊形EHGF是矩形.由已知條件可得∠EFG=∠AFB=90°,同理四邊形EHGF的其余三角也為直角,因此四邊形EHGF是矩形.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF,BF分別平分∠DAB,∠ABC,∴∠FAB=12∠DAB,∠FBA=12∠∴∠FAB+∠FBA=12×180°=90°∴∠EFG=∠AFB=90°.同理,四邊形EHGF的其余三角也為直角.∴四邊形EHGF是矩形,∴EG=FH.創(chuàng)新應用9.證明如圖,連接OE.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.∵∠AEC=∠BED=90°,∴OE=12AC=12∴AC=BD.∴?ABCD是矩形.10.分析如圖,當點O運動到AC的中點(或OA=OC)時,四邊形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行線的性質有∠1=∠3,等量代換有∠2=∠3,于是有OE=OC,同理OC=OF.于是OE=OF,而OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形.又CE,CF分別是∠B