第2課時矩形的判定課時目標(biāo)1.經(jīng)歷探索矩形判定定理的過程,掌握矩形的判定定理,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理與演繹推理的能力.2.通過對比平行四邊形判定的學(xué)習(xí)方法,體會證明過程中類比、轉(zhuǎn)化、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志:學(xué)生通過對比平行四邊形判定的學(xué)習(xí)方法,可以提出矩形判定的猜想,然后經(jīng)歷驗(yàn)證并證明猜想的過程,最終能夠得出矩形的判定定理.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志:學(xué)生能夠主動想到類比平行四邊形判定的學(xué)習(xí)方法來學(xué)習(xí)矩形的判定定理,在探究判定的過程中能自己設(shè)計(jì)探究過程并分步實(shí)施,最終得出結(jié)論.學(xué)習(xí)重點(diǎn)矩形的判定定理.學(xué)習(xí)難點(diǎn)矩形判定定理的應(yīng)用.課時活動設(shè)計(jì)回顧平行四邊形的判定定理是怎樣研究的?平行四邊形的性質(zhì)與判定有什么聯(lián)系?矩形有哪些性質(zhì)?矩形的判定從何處入手研究?設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧矩形的性質(zhì)以及平行四邊形判定的研究路徑,思考幾何圖形性質(zhì)與判定的邏輯關(guān)系,為矩形判定的研究提供研究思路,讓學(xué)生體會它們的研究路徑和方法是一致的.你現(xiàn)在知道的判定矩形的方法是什么?判定矩形需要幾個條件?分別是什么?請寫出矩形性質(zhì)的逆命題?你能對矩形的判定提出猜想嗎?學(xué)生活動:先獨(dú)立寫出矩形性質(zhì)的逆命題,再小組討論,最后形成一致意見進(jìn)行展評.矩形的性質(zhì)1:矩形的四個角都是直角.逆命題1:四個角都是直角的(平行)四邊形是矩形.矩形的性質(zhì)2:矩形的對角線相等.逆命題2:對角線相等的(平行)四邊形是矩形.對于逆命題中的條件,是用四邊形還是用平行四邊形這個條件呢?為什么?設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生回憶矩形的定義,明確定義具有雙重性,既是性質(zhì)也是判定.引導(dǎo)學(xué)生通過性質(zhì)猜想判定,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系,建立知識的整體結(jié)構(gòu)框架,理清各個知識點(diǎn)之間的聯(lián)系,使學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.通過分析逆命題中的條件,讓學(xué)生體會定理?xiàng)l件的精簡,體會數(shù)學(xué)的簡潔美.畫圖驗(yàn)證得出的兩個逆命題的真假:逆命題1:四個角都是直角的四邊形是矩形.逆命題2:對角線相等的平行四邊形是矩形.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷猜想——驗(yàn)證——證明——得出結(jié)論的科學(xué)的探究過程,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).通過畫圖驗(yàn)證,培養(yǎng)學(xué)生動手作圖的能力,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.你能證明教學(xué)活動3中的兩個命題嗎?證明命題的步驟:畫圖——寫出已知和求證——證明,請同學(xué)們按照步驟對上述命題進(jìn)行證明,然后小組展評.1.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.求證:四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形.2.已知:如圖,在?ABCD中,AC,DB是它的兩條對角線,AC=DB.求證:?ABCD是矩形.證明:∵在?ABCD中,AB=DC,BC=CB,且AC=DB.∴△ABC≌△DCB(SSS).∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB=90°.又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴?ABCD是矩形.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)過合情推理之后對得到的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理證明,讓學(xué)生明白每一個數(shù)學(xué)定理的得出都要經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理的過程,培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性以及推理能力.通過小組合作討論、展評,培養(yǎng)學(xué)生的合作意識以及語言表達(dá)能力.再次理解:對于“四個角都是直角的四邊形是矩形”這一命題,條件可以再精簡嗎?三個直角可以嗎?兩個直角可以嗎?為什么?解:可以精簡為三個直角,因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°,其中三個角為90°,則第四個角一定是90°,所以三個角都是直角的四邊形一定是矩形.不可以精簡為兩個直角,如直角梯形有兩個角為直角,但它不是矩形.設(shè)計(jì)意圖:通過弱化矩形判定的條件,讓學(xué)生再次感知數(shù)學(xué)的簡潔美,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,讓學(xué)生站在更高的角度思考定理的合理性,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法.例題練習(xí),鞏固理解先獨(dú)立完成教材第54頁例2,然后學(xué)生代表講解,全班分享,共同完善修正答案.例如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且OA=OD,∠OAD=50°,求∠OAB的度數(shù).解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC=12AC,OB=OD=1又OA=OD,∴AC=BD.∴四邊形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.又∠OAD=50°,∴∠OAB=40°.設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學(xué)生運(yùn)用知識的能力和推理能力,培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,加深學(xué)生對性質(zhì)的理解.本節(jié)課我們研究了矩形的判定定理,請同學(xué)們帶著以下問題進(jìn)行總結(jié):(1)在探尋矩形的判定定理時,你經(jīng)歷了怎樣的研究過程?這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法?積累了哪些活動經(jīng)驗(yàn)?(2)矩形是特殊的平行四邊形,特殊在哪里?還有其他的特殊的平行四邊形嗎?還可以從哪方面進(jìn)行研究?你能設(shè)計(jì)研究路徑嗎?設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過自主反思,不但可以梳理本節(jié)所學(xué)的知識,更重要的是能將數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行內(nèi)化吸收,通過引導(dǎo)學(xué)生矩形是平行四邊形角特殊的情況,容易想到我們還要研究平行四邊形邊特殊的情況,引出下一節(jié)的內(nèi)容,這樣既可以將學(xué)生頭腦中的知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化,還為下一節(jié)的研究做好鋪墊并提供研究思路及研究方法.知能演練提升能力提升1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是()A.對邊相等 B.對角相等C.對角線相等 D.對角線互相平分2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)H,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點(diǎn),若EF+CH=8,則CH的值為()A.3 B.4 C.5 D.63.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,以點(diǎn)B為圓心,BC的長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)E,再分別以點(diǎn)C,E為圓心、大于12CE的長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)F,作射線BF交CD于點(diǎn)G,則CG的長為.4.如圖,將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起,恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,則邊AD的長是cm.

5.已知四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E是矩形ABCD的邊上的點(diǎn),且EA=EC.若AB=6,AC=210,則DE的長是.

6.如圖,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一點(diǎn),F是AB上的一點(diǎn),EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周長為32cm,求AE的長.7.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點(diǎn)M,N,與邊AD交于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)O.(1)求證:△AOM≌△CON;(2)若AB=3,AD=6,請直接寫出AE的長.8.如圖,?ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E,H,G,F,連接EG,FH.求證:EG=FH.創(chuàng)新應(yīng)用9.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是?ABCD外一點(diǎn),且∠AEC=∠BED=90°.求證:?ABCD是矩形.★10.如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是AC邊上(端點(diǎn)除外)的一個動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F,連接AE,AF.那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

知能演練·提升能力提升1.C2.B∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)H,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點(diǎn),∴EF=12AB,CH=12AB,∴∵EF+CH=8,∴CH=EF=12×8=43.103如圖,連接EG由題意知,BF是∠EBC的平分線,∴∠EBG=∠CBG.在△EBG和△CBG中,EB∴△EBG≌△CBG(SAS),∴GE=GC.在Rt△ABE中,AB=6,BE=BC=10,∴AE=BE2∴DE=AD-AE=10-8=2.在Rt△DGE中,DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,EG2-DE2=DG2,∴CG2-22=(6-CG)2,解得CG=1035.2343或∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC=AC2-AB2當(dāng)點(diǎn)E在CD上時,∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴(6-DE)2=DE2+4,∴DE=83當(dāng)點(diǎn)E在AB上時,不妨設(shè)此時點(diǎn)E為E',∵CE'2=BE'2+BC2=AE'2,∴AE'2=(6-AE')2+4,∴AE'=103∴DE'=AD綜上所述,DE=2346.解在Rt△AEF和Rt△DCE中,∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.又∠FAE=∠EDC=90°,EF=EC,∴Rt△AEF≌Rt△DCE.∴AE=CD.∵矩形ABCD的周長為32cm,∴2(AD+CD)=2(AE+AE+4)=32,解得AE=6(cm).7.(1)證明∵M(jìn)N是AC的垂直平分線,∴AO=CO,∠AOM=∠CON=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠M=∠N.在△AOM和△CON中,∠∴△AOM≌△CON(AAS).(2)解如圖,連接CE,∵M(jìn)N是AC的垂直平分線,∴CE=AE.設(shè)AE=CE=x,則DE=6-x,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠CDE=90°,CD=AB=3.在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即32+(6-x)2=x2,解得x=154,即AE的長為158.分析要證對角線EG=FH,只需證四邊形EHGF是矩形.由已知條件可得∠EFG=∠AFB=90°,同理四邊形EHGF的其余三角也為直角,因此四邊形EHGF是矩形.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF,BF分別平分∠DAB,∠ABC,∴∠FAB=12∠DAB,∠FBA=12∠∴∠FAB+∠FBA=12×180°=90°∴∠EFG=∠AFB=90°.同理,四邊形EHGF的其余三角也為直角.∴四邊形EHGF是矩形,∴EG=FH.創(chuàng)新應(yīng)用9.證明如圖,連接OE.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.∵∠AEC=∠BED=90°,∴OE=12AC=12∴AC=BD.∴?ABCD是矩形.10.分析如圖,當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)(或OA=OC)時,四邊形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行線的性質(zhì)有∠1=∠3,等量代換有∠2=∠3,于是有OE=OC,同理OC=OF.于是OE=OF,而OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形.又CE,CF分別是∠B