課時(shí)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)鞏固一次函數(shù)的知識(shí),靈活運(yùn)用變量關(guān)系解決相關(guān)實(shí)際問題.(二)能力訓(xùn)練要求1.有機(jī)地把各種數(shù)學(xué)模型通過函數(shù)統(tǒng)一起來使用,提高解決實(shí)際問題的能力.2.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義,發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.學(xué)習(xí)重點(diǎn)建立函數(shù)模型.學(xué)習(xí)難點(diǎn)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)回顧復(fù)習(xí)如圖是甲、乙兩家商店銷售同一種產(chǎn)品的銷售價(jià)y(元)與銷售量x(件)之間的函數(shù)圖象.判斷下列說法的正誤:①售2件時(shí),甲、乙兩家的售價(jià)一樣;(對(duì))②買1件時(shí),買甲家的合算;(錯(cuò))③買3件時(shí),買乙家的合算.(錯(cuò))設(shè)計(jì)意圖:溫故知新,為抓住本節(jié)重點(diǎn)、突破難點(diǎn)做知識(shí)儲(chǔ)備.為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供遷移或類比的辦法.建立模型情境導(dǎo)入:嘉嘉的爸爸和媽媽想為家里辦一張網(wǎng)卡,去通信公司辦公大廳咨詢,工作人員給了他們?nèi)N收費(fèi)方式,他們一看不知道哪個(gè)收費(fèi)方式合算,你能幫他們解決嗎?問題1:怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式?下表中給出A,B,C三種收費(fèi)方式.收費(fèi)方式月使用費(fèi)/元包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間/h超時(shí)費(fèi)/(元/min)A30250.05B50500.05C120不限時(shí)選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費(fèi)?分析:在方式A,B中,上網(wǎng)時(shí)間是影響上網(wǎng)費(fèi)的變量;在方式C中,上網(wǎng)費(fèi)是常量.設(shè)月上網(wǎng)時(shí)間為xh,則方案A,B的收費(fèi)金額y1,y2都是x的函數(shù).要比較它們,需在x>0的條件下,考慮何時(shí)(1)y1=y2,(2)y1<y2,(3)y1>y2.利用函數(shù)解析式,通過方程、不等式或函數(shù)圖象能夠解答上述問題.在此基礎(chǔ)上,再用其中省錢的方式與方式C進(jìn)行比較,則容易對(duì)收費(fèi)方式作出選擇在方式A中,月使用費(fèi)30元與包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間25h是常量.考慮收費(fèi)金額時(shí),要把上網(wǎng)時(shí)間分為25h以內(nèi)和超過25h兩種情況,得到的是如下的函數(shù)y1=30化簡(jiǎn),得y1=30這個(gè)函數(shù)的圖象如圖1所示.類似地,可以得出方式B,C的收費(fèi)金額y2,y3關(guān)于上網(wǎng)時(shí)間x的函數(shù)解析式.畫出y2,y3的圖象如圖2所示,結(jié)合函數(shù)圖象與解析式,填空:當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間不超過3123h當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間超過3123h但不超過7313h當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間超過7313h時(shí),選擇方式C最省錢設(shè)計(jì)意圖:上網(wǎng)收費(fèi)是生活中常見的問題.問題中所列三種不同的收費(fèi)方式,它們都與當(dāng)月的上網(wǎng)時(shí)間有關(guān),即上網(wǎng)費(fèi)是上網(wǎng)時(shí)間的函數(shù)(方案A,B是包括一次函數(shù)的分段函數(shù),方案C是常值函數(shù)).比較這三個(gè)函數(shù),又可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于上網(wǎng)時(shí)間有不同需求的人可以從中選擇不同的收費(fèi)方式,以達(dá)到省錢的目的.通過分析變量間的關(guān)系,列出函數(shù)解析式,然后比較三個(gè)函數(shù)解析式或相應(yīng)的圖象,找出不同的上網(wǎng)時(shí)間范圍內(nèi)上網(wǎng)費(fèi)最低的方案.這是利用一次函數(shù)模型分析和解決實(shí)際問題的過程.對(duì)方案A作了較細(xì)致的討論,而把其他方案的討論及比較這些方案留給學(xué)生自行探究.這樣處理既有引導(dǎo),又留有自主發(fā)揮的余地.學(xué)生練習(xí)東風(fēng)商場(chǎng)文具部的某種毛筆每支售價(jià)25元,書法練習(xí)本每本售價(jià)5元.該商場(chǎng)為了促銷制定了兩種優(yōu)惠方案供顧客選擇.甲:買一支毛筆贈(zèng)送一本書法練習(xí)本.乙:按購(gòu)買金額打九折付款.某校欲為校書法興趣組購(gòu)買這種毛筆10支,書法練習(xí)本x(x≥10)本.如何選擇方案購(gòu)買呢?解:設(shè)甲方案花費(fèi)y甲元,乙方案花費(fèi)y乙元.根據(jù)題意,得y甲=25×10+5×(x-10)=5x+200,y乙=(25×10+5x)×90%=225+4.5x.當(dāng)y甲=y乙時(shí),5x+200=4.5x+225,解得x=50;當(dāng)y甲>y乙時(shí),5x+200>4.5x+225,解得x>50;當(dāng)y甲<y乙時(shí),5x+200<4.5x+225,解得x<50.故當(dāng)x=50時(shí),選甲、乙兩個(gè)方案一樣;當(dāng)x>50時(shí),應(yīng)選擇乙方案;當(dāng)10≤x<50時(shí),應(yīng)選擇甲方案.設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生熟練掌握在解決實(shí)際問題中的決策性問題的方法.根據(jù)實(shí)際情況選擇方案,進(jìn)而理解函數(shù)與方程及不等式的聯(lián)系,強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí)和解題能力.問題2:怎樣租車?某學(xué)校計(jì)劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi),租用汽車送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動(dòng),每輛汽車上至少要有1名教師.現(xiàn)有甲、乙兩種大客車,它們的載客量和租金如下表所示.甲種客車乙種客車載客量/(人/輛)4530租金/(元/輛)400280(1)共需租多少輛汽車?(2)給出最節(jié)省費(fèi)用的租車方案.分析:(1)可以從乘車人數(shù)的角度考慮租多少輛汽車,要注意到以下要求:①要保證240名師生都有車坐;②要使每輛汽車上至少有1名教師.根據(jù)①可知,汽車總數(shù)不能小于6;

根據(jù)②可知,汽車總數(shù)不能大于6;

綜合起來可知汽車總數(shù)為6.

(2)租車費(fèi)用與所租車的種類有關(guān).可以看出,當(dāng)汽車總數(shù)a確定后,在滿足各項(xiàng)要求的前提下,盡可能少地租用甲種客車可以節(jié)省費(fèi)用.設(shè)租用x輛甲種客車,則租車費(fèi)用y(單位:元)是x的函數(shù),即y=400x+280(a-x).將(1)中確定的a的值代入上式,化簡(jiǎn)這個(gè)函數(shù),得y=120x+1680.

為使240名師生有車坐,x不能小于4;為使租車費(fèi)用不超過2300元,x不能超過5.綜合起來可知x的取值為4或5.

在考慮上述問題的基礎(chǔ)上,你能得出幾種不同的租車方案?為節(jié)省費(fèi)用應(yīng)選擇其中哪個(gè)方案?試說明理由.解:兩種方案.①4輛甲種客車,2輛乙種客車;②5輛甲種客車,1輛乙種客車.因?yàn)?×400+2×280=2160(元),5×400+1×280=2280(元),2160<2280,所以為節(jié)省費(fèi)用,應(yīng)選擇方案①.設(shè)計(jì)意圖:“怎樣租車”選取了與學(xué)校生活有較密切聯(lián)系的問題情境.問題中沒有直接給出不同的方案讓學(xué)生選擇,而只給出了乘車人數(shù)及要求與車輛類型及費(fèi)用,這樣陳述問題更接近于實(shí)際生活.分析問題時(shí)要由題中的多項(xiàng)已知條件綜合考慮,從而產(chǎn)生最佳乘車方案.這就比問題1又提高了要求,它更能培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)分析和解決問題的能力.為降低難度,問題設(shè)了兩問,回答第(1)問時(shí)要確定租車的總數(shù),這就為回答第(2)問時(shí)把租車費(fèi)用表示為一個(gè)可求值的函數(shù)作了準(zhǔn)備.回答第(2)問時(shí)不僅要構(gòu)造函數(shù),還要確定自變量的取值范圍,這需要綜合運(yùn)用各項(xiàng)已知條件,對(duì)學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性.把實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系用一次函數(shù)來表示,是解決問題的關(guān)鍵,一次函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型發(fā)揮了重要作用.通過對(duì)這些問題的探究,必然使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的作用產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí).課堂小結(jié)解決含有多個(gè)變量的問題時(shí),可以分析這些變量之間的關(guān)系,從中選取一個(gè)取值能影響其他變量的值的變量作為自變量.然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù),以此作為解決問題的數(shù)學(xué)模型.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的總結(jié)和提升,培養(yǎng)學(xué)生善于總結(jié)和分析問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識(shí),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).知能演練提升能力提升1.一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次,若購(gòu)買會(huì)員年卡,可享受如下優(yōu)惠:會(huì)員年卡類型辦卡費(fèi)用/元每次游泳收費(fèi)/元A類5025B類20020C類40015例如,購(gòu)買A類會(huì)員卡,一年內(nèi)游泳20次,消費(fèi)50+25×20=550元,若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45~55次之間,則最省錢的方式為()A.購(gòu)買A類會(huì)員年卡 B.購(gòu)買B類會(huì)員年卡C.購(gòu)買C類會(huì)員年卡 D.不購(gòu)買會(huì)員年卡2.甲、乙兩家商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同樣的電器,但是各自推出的優(yōu)惠方案不同.甲商場(chǎng)規(guī)定:凡購(gòu)買超過1000元電器的,超出的金額按90%實(shí)收;乙商場(chǎng)規(guī)定:凡購(gòu)買超過500元電器的,超出的金額按95%實(shí)收.顧客怎樣選擇商場(chǎng)購(gòu)買電器能獲得更大的優(yōu)惠?3.某商店銷售A,B兩種商品,A種商品的銷售單價(jià)比B種商品的銷售單價(jià)少40元,2件A種商品和3件B種商品的銷售總額為820元.(1)求A種商品和B種商品的銷售單價(jià)分別為多少元.(2)該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A,B兩種商品共60件,且A,B兩種商品的進(jìn)價(jià)總額不超過7800元.已知A種商品和B種商品的每件進(jìn)價(jià)分別為110元和140元,應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這兩種商品全部售出后總獲利最多?4.某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資.據(jù)調(diào)查得知,2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱;5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱.(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資;(2)計(jì)劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資,每輛大貨車一次需費(fèi)用5000元,每輛小貨車一次需費(fèi)用3000元.若運(yùn)輸物資不少于1500箱,且總費(fèi)用小于54000元,請(qǐng)你列出所有運(yùn)輸方案,并指出哪種方案所需費(fèi)用最少,最少費(fèi)用是多少?5.做蒜薹生意的張叔叔緊抓今年我市的蒜薹喜獲豐收的機(jī)遇,存蒜薹200噸.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研欲采用批發(fā)、零售、保鮮儲(chǔ)藏后銷售三種方式銷售.銷售部為他提供了一個(gè)售價(jià)及成本的價(jià)目表(如下表),同時(shí),通過公司的多年銷售經(jīng)驗(yàn)知道批發(fā)量是零售量的3倍.銷售方式批發(fā)零售保鮮儲(chǔ)藏后銷售售價(jià)/(元/噸)300045005500成本/(元/噸)70010001200(1)假設(shè)蒜薹能夠按計(jì)劃全部售出,寫出獲得的總利潤(rùn)y(單位:元)與零售x(單位:噸)的函數(shù)解析式;(2)張叔叔的冷庫(kù)最多儲(chǔ)藏蒜薹80噸,請(qǐng)問冷藏多少噸蒜薹,獲利最多?6.某教學(xué)網(wǎng)站策劃了A,B兩種上網(wǎng)學(xué)習(xí)的月收費(fèi)方式:收費(fèi)方式月使用費(fèi)/元包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間/時(shí)超時(shí)費(fèi)/(元/分)A7250.01Bmn0.01設(shè)每月上網(wǎng)學(xué)習(xí)時(shí)間為x小時(shí),方案A,B的收費(fèi)金額分別為yA,yB.(1)yB與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象填空:m=,n=;

(2)寫出yA與x之間的函數(shù)解析式;(3)選擇哪種方式上網(wǎng)學(xué)習(xí)合算?為什么?創(chuàng)新應(yīng)用★7.某景區(qū)內(nèi)的環(huán)形路是邊長(zhǎng)為800m的正方形ABCD,如圖①和圖②.現(xiàn)有1號(hào)、2號(hào)兩游覽車分別從出口A和景點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),1號(hào)車順時(shí)針、2號(hào)車逆時(shí)針沿環(huán)形路連續(xù)循環(huán)行駛,供游客隨時(shí)免費(fèi)乘車(上、下車的時(shí)間忽略不計(jì)),兩車速度均為200m/min.探究設(shè)行駛時(shí)間為tmin.(1)當(dāng)0≤t≤8時(shí),分別寫出1號(hào)車、2號(hào)車在左半環(huán)線離出口A的路程y1,y2(單位:m)與t(單位:min)的函數(shù)解析式,并求出當(dāng)兩車相距的路程是400m時(shí)t的值;(2)當(dāng)t為何值時(shí),1號(hào)車第三次恰好經(jīng)過景點(diǎn)C?并直接寫出這一段時(shí)間內(nèi)它與2號(hào)車相遇過的次數(shù).圖①圖②發(fā)現(xiàn)如圖②,游客甲在BC上的一點(diǎn)K(不與點(diǎn)B,C重合)處候車,準(zhǔn)備乘車到出口A.設(shè)CK=xm.情況一:若他剛好錯(cuò)過2號(hào)車,便搭乘即將到來的1號(hào)車;情況二:若他剛好錯(cuò)過1號(hào)車,便搭乘即將到來的2號(hào)車.比較哪種情況用時(shí)較多.(含候車時(shí)間)決策已知游客乙在DA上從D向出口A走去,步行的速度是50m/min.當(dāng)行進(jìn)到DA上一點(diǎn)P(不與點(diǎn)D,A重合)時(shí),剛好與2號(hào)車迎面相遇.(1)他發(fā)現(xiàn),乘1號(hào)車會(huì)比乘2號(hào)車到出口A用時(shí)少,請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明理由;(2)設(shè)PA=s(0<s<800)m.若他想盡快到達(dá)出口A,根據(jù)s的大小,在等候乘1號(hào)車還是步行這兩種方式中,他該如何選擇?知能演練·提升能力提升1.C設(shè)一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)為x次,消費(fèi)金額為y元.則有:當(dāng)不購(gòu)買會(huì)員卡時(shí),y1=30x;當(dāng)購(gòu)買A類會(huì)員年卡時(shí),y2=25x+50;當(dāng)購(gòu)買B類會(huì)員年卡時(shí),y3=20x+200;當(dāng)購(gòu)買C類會(huì)員年卡時(shí),y4=15x+400.當(dāng)x=45時(shí),y1=1350,y2=1175,y3=1100,y4=1075,且y4最小;當(dāng)x=55時(shí),y1=1650,y2=1425,y3=1300,y4=1225,且y4最小.∵y1,y2,y3,y4均隨x的增大而增大,∴當(dāng)購(gòu)買C類會(huì)員年卡時(shí)最省錢.綜上,選C.另外,本題數(shù)字較大,通過畫函數(shù)圖象求解會(huì)有一定困難.下圖表示出四條直線在45≤x≤55時(shí)的圖象,由圖象可以直觀地反映出不同購(gòu)買方案之間的比較結(jié)果.2.解設(shè)顧客所購(gòu)買電器的金額為x元,由題意,得當(dāng)0<x≤500時(shí),可任意選擇甲、乙兩商場(chǎng);當(dāng)500<x≤1000時(shí),可選擇乙商場(chǎng);當(dāng)x>1000時(shí),甲商場(chǎng)實(shí)收金額為y甲=1000+(x-1000)×0.9;乙商場(chǎng)實(shí)收金額為y乙=500+(x-500)×0.95;①若y甲<y乙,即1000+(x-1000)×0.9<500+(x-500)×0.95,解得x>1500,所以,當(dāng)x>1500時(shí),可選擇甲商場(chǎng).②若y甲=y乙,即1000+(x-1000)×0.9=500+(x-500)×0.95,解得x=1500,所以,當(dāng)x=1500時(shí),可任意選擇甲、乙兩商場(chǎng).③若y甲>y乙,即1000+(x-1000)×0.9>500+(x-500)×0.95,解得x<1500,所以,當(dāng)1000<x<1500時(shí),可選擇乙商場(chǎng).綜上所述,顧客對(duì)于商場(chǎng)的選擇可參考如下:當(dāng)0<x≤500或x=1500時(shí),可任意選擇甲、乙兩商場(chǎng);當(dāng)500<x<1500時(shí),可選擇乙商場(chǎng);當(dāng)x>1500時(shí),可選擇甲商場(chǎng).3.解(1)設(shè)A種商品的銷售單價(jià)是x元,B種商品的銷售單價(jià)是y元.根據(jù)題意得y-x故A種商品的銷售單價(jià)是140元,B種商品的銷售單價(jià)是180元.(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A種商品a件,則購(gòu)進(jìn)B種商品(60-a)件,設(shè)總獲利為w元.根據(jù)題意得,110a+140(60-a)≤7800,解得a≥20,w=(140-110)a+(180-140)(60-a)=-10a+2400.∵-10<0,∴w隨a的增大而減小,∴當(dāng)a=20時(shí),w有最大值.故商店購(gòu)進(jìn)A種商品20件,購(gòu)進(jìn)B種商品40件時(shí),全部售出后總獲利最多.4.解(1)設(shè)1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸x箱、y箱物資,根據(jù)題意,得2x+3答:1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸150箱、100箱物資.(2)設(shè)安排m輛大貨車,則需小貨車(12-m)輛,總費(fèi)用為W元,則150m+(12-m)×100≥1500,解得m≥6,而W=5000m+3000×(12-m)=2000m+36000<54000,解得m<9,則6≤m<9,則運(yùn)輸方案有3種:6輛大貨車和6輛小貨車;7輛大貨車和5輛小貨車;8輛大貨車和4輛小貨車;由2000>0,知當(dāng)m=6時(shí),所需總費(fèi)用最少,且為2000×6+36000=48000(元).故當(dāng)安排6輛大貨車和6輛小貨車時(shí),所需總費(fèi)用最少,最少為48000元.5.解(1)由題意得y=3x(3000-700)+x(4500-1000)+(200-4x)(5500-1200)=-6800x+860000.(2)因?yàn)槔鋷?kù)最多儲(chǔ)藏蒜薹80噸,所以0≤200-4x≤80,解得30≤x≤50.y=-6800x+860000,其中,k=-