靖江市3模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若A∩B={2},則a的值為？

A.1/2

B.1

C.2

D.1/4

3.函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是？

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

4.在等差數(shù)列{a?}中,已知a?=5,d=-2,則a?的值為？

A.-3

B.-1

C.1

D.3

5.已知點(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)x+y=4上,則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值為？

A.2√2

B.2

C.4

D.√2

6.若復(fù)數(shù)z=3+4i的模為|z|,則|z|的值為？

A.5

B.7

C.9

D.25

7.在直角三角形中,若直角邊長(zhǎng)分別為3和4,則斜邊的長(zhǎng)度為？

A.5

B.7

C.9

D.25

8.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x,則f(x)的極值點(diǎn)為？

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=-1

9.在三角形ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊AC=2,則邊BC的長(zhǎng)度為？

A.√2

B.2√2

C.2

D.4

10.已知數(shù)列{a?}滿(mǎn)足a?=n(n+1)/2,則a?+a?+a?+...+a?的值為？

A.55

B.60

C.65

D.70

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2

D.f(x)=tan(x)

2.在等比數(shù)列{b?}中，若b?=2,q=3,則數(shù)列的前四項(xiàng)分別為？

A.2

B.6

C.18

D.54

3.下列不等式中，正確的是？

A.log?(3)>log?(4)

B.23<32

C.(-2)?>(-3)3

D.√(16)=4

4.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列說(shuō)法正確的有？

A.a>0

B.b2-4ac=0

C.c<0

D.f(x)在x軸上只有一交點(diǎn)

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)的連線(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)為？

A.(2,1)

B.(4,2)

C.(1,1)

D.(2,0)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x2-mx+1在x=2時(shí)取得最小值，則m的值為_(kāi)_____。

2.已知直線(xiàn)l?:ax+3y-6=0與直線(xiàn)l?:3x-by+9=0互相平行，則a與b的關(guān)系為_(kāi)_____。

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，邊c=√3，則邊a的長(zhǎng)度為_(kāi)_____。

4.已知復(fù)數(shù)z=1-i，則其共軛復(fù)數(shù)z?的模|z?|等于______。

5.若數(shù)列{c?}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n，則其通項(xiàng)公式c?=______（用n表示）。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2^(x+1)+2^(x-1)=20

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3,b=√7,C=60°，求cosA的值。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx

5.已知函數(shù)f(x)=x-sin(x)，證明該函數(shù)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞增的。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，則x-1>0，解得x>1，所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.C

解析：由x2-3x+2=0，解得A={1,2}。由A∩B={2}，得2∈B，即2a=1，解得a=1/2。但需滿(mǎn)足a≠0，所以a=1/2。

3.A

解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)，最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

4.A

解析：由等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d，得a?=5+(5-1)(-2)=5-8=-3。

5.B

解析：點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離d=√(x2+y2)。由x+y=4，得y=4-x。代入得d=√(x2+(4-x)2)=√(2x2-8x+16)=√(2(x-2)2+8)。當(dāng)x=2時(shí)，d取最小值√8=2√2。

6.A

解析：|z|=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

7.A

解析：由勾股定理，斜邊c=√(a2+b2)=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。

8.B,C

解析：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，故x=1-√3/3是極大值點(diǎn)。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，故x=1+√3/3是極小值點(diǎn)。題目中給出的選項(xiàng)只有x=1，它是極小值點(diǎn)。

9.B

解析：由正弦定理，a/sinA=c/sinC。設(shè)BC=a,AC=b=2,AB=c。a/sin60°=2/sin45°，a=2*(√3/2)/(√2/2)=√6。設(shè)AB=c，b/sinB=c/sinA。2/sin45°=c/sin60°，c=2*(√2/2)/(√3/2)=2√6/√3=2√2。

10.A

解析：a?=n(n+1)/2。S?=1(1+1)/2+2(2+1)/2+3(3+1)/2+4(4+1)/2+5(5+1)/2=1*2/2+2*3/2+3*4/2+4*5/2+5*6/2=1+3+6+10+15=35。這里選項(xiàng)有誤，正確答案應(yīng)為35。按題目要求給出選項(xiàng)，但需注意題目本身可能存在筆誤。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,B,D

解析：奇函數(shù)滿(mǎn)足f(-x)=-f(x)。f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。f(x)=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2≠-x2=-f(x)，不是奇函數(shù)。f(x)=tan(x)，f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

2.A,B,C,D

解析：b?=2,q=3。b?=2,b?=b?q=2*3=6,b?=b?q=6*3=18,b?=b?q=18*3=54。所以數(shù)列的前四項(xiàng)為2,6,18,54。

3.B,C,D

解析：log?(3)≈1.585,log?(4)=2，所以log?(3)<log?(4)，A錯(cuò)誤。23=8,32=9，所以23<32，B正確。(-2)?=16,(-3)3=-27，所以16>-27，C正確?！?16)=4，D正確。

4.A,B,D

解析：拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c開(kāi)口向上，需a>0。拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在x軸上，即其對(duì)稱(chēng)軸x=-b/(2a)處的函數(shù)值為0，即f(-b/(2a))=a(-b/(2a))2+b(-b/(2a))+c=b2/(4a)-b2/(2a)+c=0，化簡(jiǎn)得b2-4ac=0。此時(shí)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)(-b/(2a),0)。a<0時(shí)開(kāi)口向下，C錯(cuò)誤。

5.A

解析：中點(diǎn)坐標(biāo)公式為((x?+x?)/2,(y?+y?)/2)。連線(xiàn)中點(diǎn)坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(4/2,2/2)=(2,1)。

三、填空題答案及解析

1.4

解析：f(x)=x2-mx+1是二次函數(shù)，開(kāi)口向上。頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-b/(2a)=-(-m)/(2*1)=m/2。題目說(shuō)在x=2時(shí)取得最小值，所以頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，即m/2=2，解得m=4。

2.a=1,b≠-9

解析：直線(xiàn)l?:ax+3y-6=0的斜率為k?=-a/3。直線(xiàn)l?:3x-by+9=0的斜率為k?=3/b。l?與l?平行，則k?=k?，即-a/3=3/b，解得ab=-9。由于平行但不重合，需滿(mǎn)足兩直線(xiàn)常數(shù)項(xiàng)不成比例，即-6/b≠9/a，即-6a≠9b，即2a≠3b。將ab=-9代入，得2a≠3*(-9/b)，即2a≠-27/b。兩邊乘以b(b≠0)，得2ab≠-27。將ab=-9代入，得2*(-9)≠-27，即-18≠-27，此條件恒成立。所以需要額外條件2a≠3b。若a=1，則需1*2≠3b，即2≠3b，得b≠2/3。但ab=-9，若a=1，則b=-9。檢查-6/b≠9/a，即-6/(-9)≠9/1，即2≠9，此條件滿(mǎn)足。所以a=1,b=-9是解。若a=0，則l?為y=2，k?=0。l?平行于l?，則k?=0，即3/b=0，無(wú)解。所以a=1是唯一解，對(duì)應(yīng)b≠-9。

3.√7

解析：由正弦定理，a/sinA=c/sinC。設(shè)BC=a,AC=b=2,AB=c。已知角A=45°，角B=60°，所以角C=180°-45°-60°=75°。a/sin45°=2/sin60°，a=2*(√2/2)/(√3/2)=2√6/√3=2√2。再由余弦定理求a，cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。cos45°=(22+(√7)2-a2)/(2*2*√7)?！?/√2=(4+7-a2)/(4√7)。1=(11-a2)/(4√7)。4√7=11-a2。a2=11-4√7。這里計(jì)算有誤，應(yīng)使用a2=b2+c2-2bc*cosA。cosA=cos60°=1/2。a2=22+(√7)2-2*2*√7*(1/2)=4+7-4√7=11-4√7。a=√(11-4√7)。這與之前正弦定理結(jié)果矛盾。檢查正弦定理計(jì)算，a/sin45°=2/sin60°=>a=2*(√2/2)/(√3/2)=2√6/√3=2√2。所以應(yīng)使用余弦定理求a。cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。cos45°=(22+(√7)2-a2)/(2*2*√7)?！?/√2=(4+7-a2)/(4√7)。1=(11-a2)/(4√7)。4√7=11-a2。a2=11-4√7。計(jì)算正確。所以a=√(11-4√7)。

4.√2

解析：z=1-i，其共軛復(fù)數(shù)z?=1+i。|z?|=|1+i|=√(12+12)=√(1+1)=√2。

5.n,n2

解析：c?=S?-S???(n≥2)。c?=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=n2+n-n2+n=2n。對(duì)于n=1，c?=S?=12+1=2。所以c?=2n。檢查題目選項(xiàng)，應(yīng)為2n。題目選項(xiàng)有誤。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：原式=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)/(x-2)]=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2*2+4=4+4+4=12

2.解：原式可化為2^x*(1+1/2^x)=20。令t=2^x，則t*(1+1/t)=20=>t+1=20=>t=19。所以2^x=19=>x=log?19。

3.解：由余弦定理，c2=a2+b2-2ab*cosC。22=32+(√7)2-2*3*√7*cos60°。4=9+7-6√7*(1/2)。4=16-3√7。3√7=16-4=12?！?=4。矛盾。檢查計(jì)算，cos60°=1/2。22=32+(√7)2-2*3*√7*(1/2)。4=9+7-3√7。4=16-3√7。3√7=16-4=12。√7=4。矛盾。檢查余弦定理應(yīng)用，a2=b2+c2-2bc*cosA。cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。cosA=(32+(√7)2-22)/(2*3*√7)。cosA=(9+7-4)/(6√7)。cosA=12/(6√7)=2/√7。求cosA，cosA=2/√7。化簡(jiǎn)得cosA=2√7/7。

4.解：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x+x+3)/(x+1)]dx=∫[(x(x+1)+1(x+1)+2)/(x+1)]dx=∫[x+1+2/(x+1)]dx=∫xdx+∫dx+2∫dx/(x+1)=x2/2+x+2ln|x+1|+C

5.證明：f'(x)=1-cos(x)。令g(x)=1-cos(x)。需要證明g(x)≥0對(duì)所有x∈R成立。由于cos(x)的值域?yàn)閇-1,1]，所以1-cos(x)的值域?yàn)閇0,2]。因此，對(duì)于所有x∈R，都有1-cos(x)≥0。所以f'(x)≥0對(duì)所有x∈R成立。根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)f'(x)≥0時(shí)，函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增。因此，f(x)=x-sin(x