1．2.2圓周角定理[對應(yīng)學(xué)生用書P19][讀教材·填要點(diǎn)]1．圓周角的定義從⊙O上任一點(diǎn)P引兩條分別與該圓相交于A和B的射線PA，PB，叫做∠APB所對的弧，∠APB叫做所對的圓周角．2．圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半．3．圓周角定理的推論(1)推論1：直徑(或半圓)所對的圓周角都是直角．(2)推論2：同弧或等弧所對的圓周角相等．(3)推論3：等于直角的圓周角的所對弦是圓的直徑．[小問題·大思維]1．圓心角的大小與圓的半徑有關(guān)系嗎？提示：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)，與圓的半徑?jīng)]有關(guān)系．2．相等的圓周角所對的弧也相等嗎？提示：不一定．只有在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧才相等．[對應(yīng)學(xué)生用書P19]圓周角與圓心角問題[例1]銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，作OE⊥AB交劣弧于點(diǎn)E，連接EC，求∠OEC.[思路點(diǎn)撥]本題考查圓周角定理與圓心角定理的應(yīng)用．解決本題需要先求∠OEC所對的弧的度數(shù)，然后根據(jù)圓心角定理得∠OEC的度數(shù)．[精解詳析]連接OC.∵∠ABC＝60°，∠BAC＝40°，∴∠ACB＝80°.∵OE⊥AB，∴E為的中點(diǎn)．∴和的度數(shù)均為80°.∴∠EOC＝80°＋80°＝160°.∴∠OEC＝10°.圓周角定理可以理解成一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的二倍；圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角的一半．1．在半徑為5cm的圓內(nèi)有長為5eq\r(3)cm的弦，求此弦所對的圓周角．解：如圖所示，AB＝5eq\r(3)cm，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D.∵OD⊥AB，OD經(jīng)過圓心O，∴AD＝BD＝eq\f(5\r(3),2)cm.在Rt△AOD中，OD＝eq\r(OA2－AD2)＝eq\f(5,2)cm，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°.∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°.∴∠AEB＝eq\f(1,2)×240°＝120°，∴此弦所對的圓周角為60°或120°.利用圓周角定理證明線段相等[例2]如圖所示，已知⊙O中，的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線EF交AC于P，交AB于Q.求證：△APQ是等腰三角形．[思路點(diǎn)撥]要證等腰三角形，可分別用弧的度數(shù)表示∠APQ與∠AQP，然后根據(jù)等腰三角形的定義作出判斷．[精解詳析]連接CE，BF，∵E，F(xiàn)分別是⊙O中與的中點(diǎn)，∴＝，＝.又∵∠FPC＝∠ACE＋∠PEC＝eq\f(1,2)(＋)的度數(shù)，∠FPC＝∠APQ，∴∠APQ的度數(shù)＝eq\f(1,2)(＋)的度數(shù)，同理∠AQP的度數(shù)＝eq\f(1,2)(＋)的度數(shù)，∴∠APQ＝∠AQP.∴△APQ是等腰三角形．(1)在圓中，只要有弧，就存在著所對的圓周角．同弧所對的圓周角相等，而相等的角為幾何命題的推理提供了條件，要注意此種意識的應(yīng)用．(2)證明一條線段等于兩條線段之和，可將其分為兩段，其中一段等于已知線段，再去證明另一段也等于已知線段．2.如圖，AB是⊙O的一條弦，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D.求證：AC·CB＝DC·CE.證明：連接BD.在△ACE與△DCB中，∵∠EAC與∠BDC是同弧所對的圓周角，∴∠EAC＝∠BDC.又∵CE為∠ACB的平分線，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE∽△DCB.∴eq\f(AC,CE)＝eq\f(DC,CB).∴AC·CB＝DC·CE.利用圓周(心)角定理及其推論求線段長[例3]如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝2cm，點(diǎn)C在圓周上，且∠BAC＝30°，∠ABD＝120°，CD⊥BD于D.求BD的長．[思路點(diǎn)撥]本題考查“直徑所對的圓周角為直角”的應(yīng)用．解答本題可連接BC，然后利用直角三角形的有關(guān)知識解決．[精解詳析]連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝30°，AB＝2cm，∴BC＝eq\f(AB,2)＝1(cm)．∵∠ABD＝120°，∴∠DBC＝120°－60°＝60°.∵CD⊥BD，∴∠BCD＝90°－60°＝30°.∴BD＝eq\f(BC,2)＝0.5(cm)．在圓中，直徑是一條特殊的弦，其所對的圓周角是直角，所對的弧是半圓，利用此性質(zhì)既可以計算角、線段又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系，還可以證明比例式相等．3．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點(diǎn)P，求BP長．解：連接CP，∵AC為圓的直徑，∴∠CPA＝90°，即CP⊥AB.又∵∠ACB＝90°，∴由射影定理可知AC2＝AP·AB.∴AP＝eq\f(AC2,AB)＝eq\f(36,10)＝3.6.∴BP＝AB－AP＝10－3.6＝6.4.[對應(yīng)學(xué)生用書P21]一、選擇題1．在⊙O中，∠AOB＝84°，則弦AB所對的圓周角是()A．42° B．138°C．84° D．42°或138°解析：借助圓形和圓周角定理可知，弦AB所對的圓周角有兩種情況，即為42°或138°.答案：D2．如圖，AC是⊙O的直徑，AB、CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，如果∠BAC＝32°，那么∠AOD＝()A．16° B．32°C．48° D．64°解析：∵AB∥CD，∴＝.又∵∠BAC＝32°，∴的度數(shù)為64°.∴∠AOD＝64°.答案：D3.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，則⊙O的半徑為()A.eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4解析：連接AO并延長交⊙O于D，連接BD.∠D＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，AD＝2AB＝4，∴半徑為2.答案：B4．如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD、BC相交于點(diǎn)P，那么eq\f(CD,AB)等()A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．以上答案都不對解析：連接BD，由BA是直徑，知△ADB是直角三角形．由∠DCB＝∠DAB，∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB.eq\f(PD,PB)＝eq\f(CD,AB)＝cos∠BPD.答案：B二、填空題5．如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點(diǎn)，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長為______．解析：如圖，連接AB，AC，CE，由A，E為半圓周上的三等分點(diǎn)，得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，∠ACB＝30°.又∵BC＝4，∴AB＝2，AD＝eq\r(3)，BD＝1.則DF＝eq\f(\r(3),3)，故AF＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)6．如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，CD與AB相交于E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，則∠AEC＝________.解析：如圖，連接BC.根據(jù)圓周角定理的推論1，可知∠ACB＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，的度數(shù)＝60°.∵∠ADC＝45°，∴的度數(shù)＝90°.∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝eq\f(1,2)(＋)的度數(shù)＝75°.答案：75°7.如圖，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，則△ABC的周長是________．解析：由圓周角定理，得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.∴AB＝BC.∴△ABC為等邊三角形．∴周長等于9.答案：98．如圖，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，則BC＝________.解析：連接AC.因?yàn)椤螦BC＝90°，所以AC為圓的直徑．又∠ACD＝∠ABD＝30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答題9.如圖，已知在⊙O中，直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長．解：因?yàn)锳B為直徑．所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－62)＝8(cm)．因?yàn)镃D平分∠ACB，所以＝，所以△ADB為等腰直角三角形．所以AD＝BD＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×10＝5eq\r(2)(cm)．10．(江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)．證明：∠OCB＝∠D.證明：因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)B＝OC.故∠OCB＝∠B.又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.11．如圖①所示，在圓內(nèi)接△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是直線AD和△ABC外接圓的交點(diǎn)．(1)求證：AB2＝AD·AE；(2)