2.3.2平面與平面垂直的判定1．理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角，能求簡(jiǎn)單二面角平面角的大小．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．(重點(diǎn))3．熟悉線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化．(重點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1二面角閱讀教材P67“練習(xí)”以下至P68“觀察”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角(如圖2-3-13)．直線AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．記法：α-AB-β，在α，β內(nèi)，分別取點(diǎn)P，Q時(shí)，可記作P-AB-Q；當(dāng)棱記為l時(shí)，可記作α-l-β或P-l-Q.圖2-3-132．二面角的平面角(1)定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，如圖2-3-14所示，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(2)直二面角：平面角是直角的二面角．圖2-3-14如圖2-3-15，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小等于________．圖2-3-15【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，故∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.∴二面角B-PA-C的大小為90°.【答案】90°教材整理2平面與平面垂直的判定閱讀教材P68“觀察”以下至P69“例3”以上的內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．平面與平面垂直(1)定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)畫法：圖2-3-16記作：α⊥β.2．判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l?α))?α⊥β對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】因?yàn)閙∥n，n⊥β，則m⊥β，又m?α，故α⊥β，所以C正確．【答案】C[小組合作型]二面角如圖2-3-17，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1圖2-3-17【精彩點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，利用△BA1C1與△B1A【自主解答】取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1所以BO⊥A1C1所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B-A1C1-B1的正切值為eq\r(2).1．求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計(jì)算．2．為在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個(gè)面的圖形特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等．[再練一題]1．在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(5)的等腰三角形，求二面角V-AB-C的大小.【解】如圖，作VO⊥平面ABCD，垂足為O，則VO⊥AB，取AB中點(diǎn)H，連接VH，OH，則VH⊥AB.∵VH∩VO＝V，∴AB⊥平面VHO，∴AB⊥OH，∴∠VHO為二面角V-AB-C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝(eq\r(5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2＝4，∴VH＝2.而OH＝eq\f(1,2)AB＝1，∴∠VHO＝60°.故二面角V-AB-C的大小是60°.平面與平面垂直的判定如圖2-3-18，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，求證：圖2-3-18(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【精彩點(diǎn)撥】(1)要證DE＝DA，只需證明Rt△EFD≌Rt△DBA；(2)注意M為EA的中點(diǎn)，可取CA的中點(diǎn)N，先證明N點(diǎn)在平面BDM內(nèi)，再證明平面BDM過(guò)平面ECA的一條垂線即可；(3)仍需證平面DEA經(jīng)過(guò)平面ECA的一條垂線．【自主解答】(1)取EC的中點(diǎn)F，連接DF.∵EC⊥BC，易知DF∥BC，∴DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.∴ED＝DA.(2)取CA的中點(diǎn)N，連接MN，BN，則MN綊eq\f(1,2)EC，∴MN∥BD，∴N點(diǎn)在平面BDMN內(nèi)．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN在平面MNBD內(nèi)，∴平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)∵BD綊eq\f(1,2)EC，MN綊eq\f(1,2)EC.∴MNBD為平行四邊形．∴DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.1．證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義：證明二面角的平面角為直角；(2)利用面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．2．根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直，實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡(jiǎn)單些，這也是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直．[再練一題]2．如圖2-3-19所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求證：平面PDC⊥平面PAD.圖2-3-19【證明】∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD?平面PDC.∴平面PDC⊥平面PAD.[探究共研型]線面、面面垂直的綜合應(yīng)用探究1如圖2-3-20，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，你能證明PD⊥平面ABCD嗎？圖2-3-20【提示】∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可證PD⊥AD，∵AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.探究2上述問(wèn)題中條件不變，請(qǐng)證明：平面PAC⊥平面PBD.【提示】由探究1知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.探究3通過(guò)以上探究，試總結(jié)證明線、面之間的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化特征．【提示】線、面之間的垂直關(guān)系存在如下轉(zhuǎn)化特征：線線垂直?線面垂直?面面垂直，這體現(xiàn)了立體幾何問(wèn)題求解的轉(zhuǎn)化思想，應(yīng)用時(shí)要靈活把握．如圖2-3-21所示，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D為AB的中點(diǎn)，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.圖2-3-21(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值；(3)若M為PB的中點(diǎn)，求三棱錐M-BCD的體積．【精彩點(diǎn)撥】(1)由△ABC是直角三角形以及△PDB為正三角形，尋找線線垂直，得線面垂直，進(jìn)而求面面垂直．(2)先找出二面角的平面角，再求其值．(3)關(guān)鍵是由垂直找到三棱錐的高，再求其體積．【自主解答】(1)證明：∵D是AB的中點(diǎn)，△PDB是正三角形，AB＝20，∴PD＝eq\f(1,2)AB＝10，∴AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵BC?平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)∵PA⊥PC，且PA⊥PB，∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角．由(1)知BC⊥平面PAC，則BC⊥PC，∴sin∠BPC＝eq\f(BC,PB)＝eq\f(2,5).(3)∵D為AB的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，∴DM綊eq\f(1,2)PA，且DM＝5eq\r(3)，由(1)知PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC，∵S△BCM＝eq\f(1,2)S△PBC＝2eq\r(21)，∴VM-BCD＝VD-BCM＝eq\f(1,3)×5eq\r(3)×2eq\r(21)＝10eq\r(7).1．利用判定定理，證明兩個(gè)平面垂直，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題求解．2．求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，這就需要緊扣它的三個(gè)條件，即這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在棱上；角的兩邊是否分別在兩個(gè)平面內(nèi)；這兩邊是否都與棱垂直．在具體作圖時(shí)，還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：線面的垂直，圖形的對(duì)稱性，與棱垂直的面等．[再練一題]3．在如圖2-3-22所示的四面體A-BDC中，AB，BC，CD兩兩互相垂直，且BC＝CD＝1.(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；(2)求二面角C-AB-D的大?。畧D2-3-22【解】(1)證明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)∵AB⊥BC，AB⊥CD，BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD.∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°.∴二面角C-AB-D的大小為45°.1．已知l⊥α，則過(guò)l與α垂直的平面()A．有1個(gè) B．有2個(gè)C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在【解析】由面面垂直的判定定理知，凡過(guò)l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無(wú)數(shù)個(gè)．【答案】C2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有()A．平面ABC⊥平面ACDB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ADC⊥平面BCD【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.【答案】D3．如圖2-3-23，在正方體ABCD-A1B1C1D1圖2-3-23(1)二面角D1-AB-D的大小是________；(2)二面角A1-AB-D的大小是________．【解析】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AD1，則AB⊥AD1.又AB⊥AD所以∠D1AD即為二面角D1-AB-D的平面角，在Rt△D1AD中，∠D1AD＝45°.所以二面角D1-AB-D的平面角為45°.(2)與(1)同理，∠A1AD為二面角A1-AB-D的平面角，所以二面角A1-AB-D的大小為90°.【答案】(1)45°(2)90°4．下列四個(gè)命題中，正確的序號(hào)有________.①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ；②α∥β，β∥γ，則α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ.【解析】③④不正確，如圖所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．【答案】①②5．在四面體ABCD中，BD＝eq\r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求證：平面ABD⊥平面BCD.【證明】如圖所示