學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解幾何概型的定義及其特點.2.會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率.3.會用模擬方法估計某些隨機事件的概率和不規(guī)則圖形的面積．知識點一幾何概型的概念思考往一個外圓內(nèi)方的銅錢上投一粒小米，則小米可能的落點有多少個？怎樣計算小米落入方孔中的概率？梳理向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成________，而與G的形狀、位置無關(guān)．即P(點M落在G1)＝________________，則稱這種模型為幾何概型．幾何概型中的G也可以是________________的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是______________．知識點二模擬方法思考如圖，橢圓與圓只有2個公共點A、B，一個質(zhì)點落在圓內(nèi)任一點的可能性相同，則質(zhì)點落在橢圓內(nèi)的概率怎么計算？梳理模擬方法的本質(zhì)是產(chǎn)生大量指定范圍內(nèi)的隨機數(shù)來代替反復(fù)實驗，以頻率估計概率．____________可以來估計某些隨機事件發(fā)生的概率．類型一幾何概型的概念例1判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概型是古典概型，還是幾何概型．(1)拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；(2)下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝．求甲獲勝的概率．反思與感悟判斷一個概率是古典概型還是幾何概型的步驟：(1)判斷一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率是否相等，若不相等，那么這個概率既不是古典概型也不是幾何概型；(2)如果一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率相等，再判斷試驗結(jié)果的有限性，當(dāng)試驗結(jié)果有有限個時，這個概率是古典概型；當(dāng)試驗結(jié)果有無限個時，這個概率是幾何概型．跟蹤訓(xùn)練1判斷下列試驗是否為幾何概型，并說明理由：(1)某月某日，某個市區(qū)降雨的概率；(2)設(shè)A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連接，求弦長超過半徑的概率．類型二幾何概型的概率計算例2某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求乘客候車時間不超過6分鐘的概率．反思與感悟數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．利用圖形解題的關(guān)鍵：首先用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域，然后根據(jù)構(gòu)成這兩個區(qū)域的幾何長度(面積或體積)，用幾何概型概率公式求出事件A的概率．跟蹤訓(xùn)練2某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時(整點報時)，求他等待的時間不多于10分鐘的概率．類型三模擬方法的應(yīng)用例3假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去上班的時間在早上7：00～8：00之間，如果把“你父親在離開家之前能得到報紙”稱為事件A，你能設(shè)計一種隨機模擬的方法近似計算事件A發(fā)生的概率嗎？反思與感悟解決本題的關(guān)鍵是利用隨機模擬法和幾何概率公式分別求得幾何概率，然后通過解方程求得陰影部分面積的近似值，解決此類問題時注意兩點：一是選取合適的對應(yīng)圖形；二是由幾何概型正確計算概率．跟蹤訓(xùn)練3在右圖的正方形中隨機撒一把豆子，計算落在圓中的豆子數(shù)與落在正方形中的豆子數(shù)之比并以此估計圓周率的值.1．下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是()A．幾何概型也是古典概型中的一種B．幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無關(guān)C．幾何概型中每一個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性D．幾何概型在一次試驗中出現(xiàn)的結(jié)果有無限個2．面積為S的△ABC，D是BC的中點，向△ABC內(nèi)部投一點，那么點落在△ABD內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)3．四邊形ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點，取到的點到O的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)4．在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數(shù)x，則sineq\f(πx,4)的值介于－eq\f(1,2)與eq\f(\r(2),2)之間的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(5,6)5.如圖，邊長為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,3)，則陰影區(qū)域的面積約為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(8,3)C.eq\f(2,3)D．無法計算1．幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型．2．理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).3．隨機數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實際問題中事件A及基本事件總體對應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機數(shù)的范圍．用轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生隨機數(shù)，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數(shù)不可能很大．用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機數(shù)，又可以自動統(tǒng)計試驗的結(jié)果，同時可以在短時間內(nèi)進行多次重復(fù)試驗．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考小米可能的落點有無限多，故不能，用古典概型計算小米落入方孔中的概率，但因為小米的落點個數(shù)與銅錢的面積成正比，故可用方孔與銅錢面積之比來計算小米落入方孔中的概率．梳理正比eq\f(G1的面積,G的面積)空間中或直線上體積之比或長度之比知識點二思考這是一個幾何概型，但橢圓的面積公式還沒學(xué)，故不能用幾何概型概率公式直接計算，但可以用模擬方法估計．梳理模擬方法題型探究例1解(1)拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6＝36(種)，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；(2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型．跟蹤訓(xùn)練1解(1)不是幾何概型，因為它不具有等可能性；(2)是幾何概型，因為它具有無限性與等可能性．例2解如圖所示，設(shè)上輛車于時刻T1到達，而下輛車于時刻T2到達，則線段T1T2的長度為10，設(shè)T是線段T1T2上的點，且TT2的長為6，記“等車時間不超過6分鐘”為事件A，則事件A發(fā)生即當(dāng)點t落在線段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)＝eq\f(d,D)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故乘客候車時間不超過6分鐘的概率為eq\f(3,5).跟蹤訓(xùn)練2解記“等待的時間不多于10分鐘”為事件A，打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內(nèi)則事件A發(fā)生．由幾何概型的概率公式求得P(A)＝eq\f(60－50,60)＝eq\f(1,6)，即“等待報時的時間不多于10分鐘”的概率為eq\f(1,6).例3解(隨機模擬的方法)做兩個帶有分針的圓盤，標(biāo)上時間，分別旋轉(zhuǎn)兩個圓盤，記下父親在離家前能得到報紙的次數(shù)，則P(A)＝eq\f(父親在離家前能得到報紙的次數(shù),試驗的總次數(shù)).跟蹤訓(xùn)練3解隨機撒一把豆子，每個豆子落在正方形內(nèi)任何一點是等可能的，落在每個區(qū)域的豆子數(shù)與這個區(qū)域的面積近似成正比，即eq\f(圓的面積,正方形的面積)≈eq\f(落在圓中的豆子數(shù),落在正方形中的豆子數(shù)).設(shè)正方形的邊長為2，則圓半徑為1，則eq\f(圓的面積,正方形的面積)＝eq\f(π,2×2)＝eq\f(π,4)，由于落在每個區(qū)域的豆子數(shù)是可能數(shù)出來的，所以π≈eq\f(落在圓中的豆子數(shù),落在正方形中的豆子數(shù))×4.所以就得到了π的近似值．當(dāng)堂訓(xùn)練1．A[幾何概型與古典概型是兩種不同的概型．]2．B[向△ABC內(nèi)部投一點的結(jié)果有無限個，屬于幾何概型．設(shè)“點落在△ABD內(nèi)”為事件M，則P(M)＝eq\f(△ABD的面積,△ABC的面積)＝e