第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式【課標(biāo)要求】（1）理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα（α≠π2＋kπ，k∈Z）；（2）知識(shí)點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1.平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）.2.商數(shù)關(guān)系：tanα＝sinαcosα（α≠kπ＋π2，k提醒平方關(guān)系對(duì)任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋π2（k∈Z3.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常見(jiàn)變形（1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cosα）（1－cosα）；（2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sinα）（1－sinα）；（3）（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；（4）sinα＝tanαcosα（α≠π2＋kπ，k∈Z）（1）〔多選〕已知θ∈（0，π），sinθ＋cosθ＝15，則（ABD）A.θ∈（π2，π） B.cosθ＝－C.tanθ＝－34 D.sinθ－cosθ＝解析：（1）∵sinθ＋cosθ＝15①，∴（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425，∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ∈（π2，π），故A正確；（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝4925，∴sinθ－cosθ＝75②，故D正確；由①②得sinθ＝45，cosθ＝－35，故B正確；tanθ＝（2）已知tanα＝12，則sin3α＋sinαcos3α＋sinαcos2α＝12，sin解析：（2）已知tanα＝12，∴sin3α＋sinαcos3α＋sinαcossin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋co規(guī)律方法1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角2.形如asinα＋bcosαcsinα＋dcosα，asin2α＋b3.對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.練1（1）（人A必修一P185習(xí)題12題改編）已知sinαcosα＝－1225，α∈（π2，π），則sinα－cosα＝（DA.1225 B.±C.－75 D.解析：∵α∈（π2，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝（sinα－cosα）2＝（2）（2023·全國(guó)乙卷文14題）若θ∈（0，π2），tanθ＝12，則sinθ－cosθ＝－5解析：由tan2θ＝sin2θcos2θ＝1－cos2θcos2θ＝14，得cos2θ＝45.因?yàn)棣取剩?，π2），所以cosθ＝255知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα提醒誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋α（k∈Z）”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)；“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化；“符號(hào)看象限”指的是在“k·π2＋α（k∈Z）”中，將α看成銳角時(shí)，“k·π2＋α（k∈Z結(jié)論（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksinα（k∈Z）；（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcosα（k∈Z）.（1）化簡(jiǎn)cos（π＋α）·A.－1 B.1C.tanα D.－tanα解析：（1）由誘導(dǎo)公式得，原式＝－cosα·(?sinα）·cos（3π（2）已知cos（α＋π3）＝23，則sin（α－π6）＝（A.13 B.C.－32 D.－解析：（2）sin（α－π6）＝sin［（α＋π3）－π2］＝－cos（α＋π3）＝－2規(guī)律方法1.利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路（1）化絕對(duì)值大的角為銳角；（2）角中含有加減π2的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉π22.常見(jiàn)的互余和互補(bǔ)的角（1）互余的角：π3－α與π6＋α；π3＋α與π6－α；π4＋α與（2）互補(bǔ)的角：π3＋θ與2π3－θ；π4＋θ與3練2（1）（蘇教必修一P191例12改編）已知cos（75°＋α）＝13，則cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝0解析：因?yàn)椋?05°－α）＋（75°＋α）＝180°，（15°－α）＋（α＋75°）＝90°，所以cos（105°－α）＝cos[180°－（75°＋α）]＝－cos（75°＋α）＝－13，sin（15°－α）＝sin[90°－（α＋75°）]＝cos（75°＋α）＝13.所以cos（105°－α）＋sin（15°－α）＝－13＋1（2）已知A＝sin（kπ＋α）sinα＋cos（解：由結(jié)論得A＝(?1）k①當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝sinαsinα＋cos②當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，A＝－sinαsinα－cos∴A的值構(gòu)成的集合是{－2，2}.提能點(diǎn)同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用（1）已知α為銳角，且2tan（π－α）－3cos（π2＋β）＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）－1＝0，則sinα＝（C）A.355 C.31010 解析：（1）由已知得3sinβ－2tanα+5=0，tanα－6sinβ－1=0，消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化簡(jiǎn)得sin2α＝910，（2）（2025·合肥第一中學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知sinα＝2m－3m+2，cosα＝－m+1m+2，且α為第二象限角，解析：（2）因?yàn)閟inα＝2m－3m+2，cosα＝－m+1m+2，且α為第二象限角，所以2m－3m+2>0，－m+1m+2<0，解得m＜－2或m＞32.因?yàn)閟in2α＋cos2α＝（2m－3m+2）2＋（－m+1m+2）2＝5m2－10m+10m2+4m+4＝1，整理得2m2－7m＋3＝0，即（2m－1）（m－3）＝0，解得m＝12（舍去）或m＝3，所以sinα＝規(guī)律方法利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響.練3（1）（2025·衡水模擬）已知sin（3π2－α）＋cos（π－α）＝sinα，則2sin2α－sinαcosα＝（DA.2110 B.C.32 解析：（1）由誘導(dǎo)公式可得sinα＝sin（3π2－α）＋cos（π－α）＝－2cosα，所以tanα＝－2.因此，2sin2α－sinαcosα＝2sin2α－sin（2）（2025·上饒清源學(xué)校段考）已知0＜α＜π2，且sin（α－π3）＝14，則sin（5π6－α）A.－154 B.－C.154 D.解析：（2）因?yàn)?＜α＜π2，所以－π3＜α－π3＜π6，又sin（α－π3）＝14，所以cos（α－π3）＝1－（14）2＝154，sin（5π6－α）＝sin（π2＋π3－α）＝cos一、單項(xiàng)選擇題1.（2025·榆林模擬）已知cosθ＝－45，θ∈（0，π），則cos（π2－θ）＝（A.35 B.C.－35 D.－解析：A由誘導(dǎo)公式得cos（π2－θ）＝sinθ，又由θ∈（0，π），可得sinθ＝1－cos2θ2.（2025·黔西模擬）已知tanα＝1，則5sinα＋cosαA.6 B.4C.3 D.2解析：A5sinα＋cosα2sinα－cosα＝5tanα3.（2025·樂(lè)山一模）若sin（α＋π6）＝13，則cos（α＋2π3A.13 B.－13C.79 解析：B由sin（α＋π6）＝13，得cos（α＋2π3）＝cos［（α＋π6）＋π2］＝－sin（α＋π64.已知α為第二象限角，則2sinα1－cosA.3 B.－3C.1 D.－1解析：C由題意，得2sinα1－cos2α＋1－sin2αcosα＝2sinα｜sinα｜＋｜c(diǎn)osα｜c(diǎn)osα，因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，所以sinα5.（2025·荊州模擬）已知函數(shù)f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，x∈R，且f（2025）＝3，則f（2026）＝（）A.3 B.4C.5 D.6解析：C由f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋4，得f（2025）＝asin（2025π＋α）＋bcos（2025π＋β）＋4＝－asinα－bcosβ＋4＝3，即asinα＋bcosβ＝1，則f（2026）＝asin（2026π＋α）＋bcos（2026π＋β）＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝1＋4＝5.故選C.6.在△ABC中，3sin（π2－A）＝3sin（π－A），cosA＝－3cos（π－B），則△ABC為（A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形解析：B由3sin（π2－A）＝3sin（π－A）可得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又0＜A＜π，所以A＝π6，再由cosA＝－3cos（π－B）可得cosA＝3cosB，所以cosB＝12，又0＜B＜π，所以B＝π3，所以C＝π2，所以△7.（2025·臨汾模擬）若α∈（0，π2），則1sin2α＋A.16 B.17C.18 D.19解析：A∵sin2α＋cos2α＝1，∴（1sin2α＋9cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝10＋9sin2αcos2α＋cos2αsin2α≥10＋29sin2αcos2α·cos二、多項(xiàng)選擇題8.在△ABC中，下列結(jié)論正確的是（）A.sin（A＋B）＝sinCB.sinB＋C2＝C.tan（A＋B）＝－tanC（C≠π2D.cos（A＋B）＝cosC解析：ABC在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正確；sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝cosA2，B正確；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC（C≠π2），C正確；cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－9.已知sinα＋cosαsinα－cosα＝3，－π2＜A.tanα＝2B.sinα－cosα＝－5C.sin4α－cos4α＝3D.1－2sinα解析：ACD因?yàn)閟inα＋cosαsinα－cosα＝tanα+1tanα－1＝3，所以tanα＝2，故A正確；因?yàn)閠anα＝sinαcosα＝2＞0，且－π2＜α＜π2，所以0＜α＜π2，所以sinα＞0，cosα＞0，由sinα＋cosαsinα－cosα＝3＞0，可得sinα－cosα＞0，故B錯(cuò)誤；sin4α－cos4α＝（sin2α－cos2α）·（sin2α＋cos2α）＝sin2α－cos2α＝sin2α－三、填空題10.（2025·佳木斯調(diào)研）已知sin（53°－α）＝15，且－270°＜α＜－90°，則sin（37°＋α）＝－26解析：∵－270°＜α＜－90°，∴143°＜53°－α＜323°，又sin（53°－α）＝15，∴143°＜53°－α＜180°，則sin（37°＋α）＝cos[90°－（37°＋α）]＝cos（53°－α）＝－211.已知cosα＝35，α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則tanβ＝－43解析：∵α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴tanβ＝tan（π－α＋2kπ）＝tan（π－α）＝－tanα＝－sinαcosα＝－112.已知函數(shù)f（x）＝sin2x，若存在非零實(shí)數(shù)a，b，使得f（x＋a）＝bf（x）對(duì)x∈R都成立，則滿足條件的一組值可以是a＝π2，b＝－1（答案不唯一）解析：當(dāng)a＝π2時(shí)，f（x＋π2）＝sin（2x＋π）＝－sin2x，即b＝－1，故當(dāng)a＝π2，b＝－1時(shí)，f（x＋a）＝bf（x）對(duì)x∈四、解答題13.（2024·邵陽(yáng)一模）已知－π2＜α＜0，且函數(shù)f（α）＝cos3π2＋α－sinα（1）化簡(jiǎn)f（α）；（2）若f（α）＝15，求sinαcosα和sinα－cosα的值解：（1）∵－π2＜α＜0，∴sinα＜0∴f（α）＝sinα－sinα·（1+cosα＝sinα＋sinα·1+cosαsinα－1＝sinα＋cos（2）法一由f（α）＝sinα＋cosα＝15，兩邊平方可得sin2α＋2sinα·cosα＋cos2α＝125，即2sinα·cosα＝－∴sinα·cosα＝－1225又－π2＜α＜0，∴sinα＜0，cosα＞0∴sinα－cosα＜0，∵（sinα－cosα）2＝1－2sinα·cosα＝4925∴sinα－cosα＝－75法二聯(lián)立方程sin解得sinα＝∵－π2＜α＜0，∴∴sinαcosα＝－1225，sinα－cosα＝－714.已知sin（5π2－θ）cos（7π2＋θ）＝1225，且0（1）求tanθ的值；（2）求［cos（3π2＋θ）＋sin（θ－π2）］·[sin（3π－θ）－2cos（π＋θ解：（1）∵sin（5π2－θ）cos（7π2＋θ）＝cosθsin∴1225＝sinθcos∴12tan2θ－25tanθ＋12＝0，即（3tanθ－4）（4tanθ－3）＝0.∵0＜θ＜π4，∴0＜tanθ＜1，∴tanθ＝3（2）［cos（3π2＋θ）＋sin（θ－π2）］·[sin（3π－θ）－2