第2節(jié)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）、離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解集中趨勢(shì)參數(shù)和離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；（2）能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義；（3）會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)01.知識(shí)點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)02.知識(shí)點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01知識(shí)點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)定義意義百

分位

數(shù)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組

數(shù)據(jù)中

有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且

至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值反映該組數(shù)中小

于或等于該百分

位數(shù)的分布特點(diǎn)至少

2.

求一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步：計(jì)算i＝

?；第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)

據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i＋1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).n×p%

（1）（2024·新余二模）一個(gè)容量為10的樣本，其數(shù)據(jù)依次為：9，

2，5，10，16，7，18，21，20，3，則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為

（

C

）A.9B.10C.13D.16

C（2）某校從參加高一物理期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出60名，將其物理成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組：[40，50），[50，60），…，[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.由此估計(jì)此次高一物理期末考試成績(jī)的第75百分位數(shù)為

?.82

練1（1）（2025·唐山模擬）某校高三年級(jí)一共有1

200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)

測(cè)驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是103分，則數(shù)學(xué)成績(jī)不小于103

分的人數(shù)至少為（

B

）A.220B.240C.250D.300解析：

∵1

200×80%＝960，∴小于103分的學(xué)生最多有960人，則數(shù)

學(xué)成績(jī)不小于103分的學(xué)生至少有1

200－960＝240（人）.B（2）若數(shù)據(jù)3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位數(shù)是

4.5，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

?.解析：

因?yàn)?×65%＝5.2，所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)是第6個(gè)數(shù)

據(jù)為4.5，所以應(yīng)該有5個(gè)數(shù)據(jù)不大于4.5，則x≥4.5.[4.5，＋∞）PART02知識(shí)點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)名稱概念平均

數(shù)（1）平均數(shù)：如果有n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，那么

（x1＋x2＋…

＋xn）就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，用

表示，即

＝

?

?；（2）加權(quán)平均數(shù)：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k

（k≤N）個(gè).不妨記為y1，y2，…，yk，其中yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi

（i＝1，2，…，k），則加權(quán)平均數(shù)為

＝

fiyi

＋…＋xn）

名稱概念中位

數(shù)將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在

?

的一個(gè)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)）或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的

?

（數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻數(shù)最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)

據(jù)）叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)最中間

平均數(shù)

（2）頻率分布直方圖中的常見結(jié)論①眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形底邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；②平均數(shù)的估計(jì)值

等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

和；③中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

（1）某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行打靶練習(xí)，已知打十槍每發(fā)的環(huán)數(shù)分別為9，

10，7，8，10，10，6，8，9，7，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為

c，則有（

D

）A.

a＞b＞cB.

c＞a＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞aD

（2）（2024·新高考Ⅱ卷4題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上

種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理得下表：畝產(chǎn)量[900，950）[950，1

000）[1

000，1

050）[1

050，1

100）[1

100，1

150）[1

150，1

200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

C

）CA.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1

050

kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1

100

kg的稻田所占比例超過80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200

kg至300

kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900

kg至1

000

kg之間

規(guī)律方法1.

求平均數(shù)時(shí)要注意數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，不要重計(jì)或漏計(jì).2.

求中位數(shù)時(shí)一定要先對(duì)數(shù)據(jù)按大小排序，若最中間有兩個(gè)數(shù)據(jù)，則中位

數(shù)是這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù).3.

若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)得最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，則這些數(shù)

據(jù)都叫眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則沒有眾數(shù).提醒

中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的中等水平、多數(shù)水平，平均數(shù)反

映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需要根據(jù)實(shí)際需求選擇使用.練2（1）下表是某城市某日在不同觀測(cè)點(diǎn)對(duì)細(xì)顆粒物（PM2.5）的觀

測(cè)值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個(gè)比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，則下列數(shù)字特征沒

有改變的是（

C

）A.

極差B.

中位數(shù)C.

眾數(shù)D.

平均數(shù)C

（2）（2025·晉中模擬）人工智能聊天機(jī)器人，不僅能流暢對(duì)話，還能

寫詩、撰文、編碼等.一經(jīng)推出，便受到廣泛關(guān)注，并產(chǎn)生了豐富的社會(huì)

應(yīng)用.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生使用聊天機(jī)器人的情況，對(duì)8所高校進(jìn)行了

調(diào)查，其中6所學(xué)校給出了使用的學(xué)生占比，將數(shù)據(jù)從小到大依次排列為

71%，75%，77%，80%，82%，85%，另外兩所學(xué)校未給出調(diào)查數(shù)據(jù)，那

么這8所學(xué)校使用的學(xué)生比例的中位數(shù)不可能是（

D

）A.76%B.77.5%C.80%D.81.5%D

PART03知識(shí)點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)1.

標(biāo)準(zhǔn)差與方差

2.

總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差

（2）加權(quán)式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k（k≤N）個(gè)，

不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi（i＝1，2，…，k），

則總體方差為S2＝

?.

結(jié)論

（1）數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x'1＝x1＋a，x'2＝x2＋a，…，x'n＝

xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；（2）若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b

的方差為a2s2.

（1）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某區(qū)舉辦了團(tuán)課知識(shí)

競(jìng)賽，甲、乙兩所中學(xué)各派5名學(xué)生參加，兩隊(duì)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?nèi)鐖D所

示，下列關(guān)系完全正確的是（

B

）BA.

＜

，

＝

B.

＝

，

＞

C.

＞

，

＝

D.

＝

，

＜

A.1B.2C.2.5D.2.75C

規(guī)律方法

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差

越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散

程度越小，越穩(wěn)定.練3（1）（蘇教必修二P257練習(xí)3題改編）若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，

x10的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則數(shù)據(jù)1－2x1，1－2x2，1－2x3，…，1－2x10的標(biāo)準(zhǔn)差

為（

B

）A.4B.8C.16D.64B解析：

設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)y1，

y2，…，yn（其中yi＝axi＋b，i＝1，2，…，n）的方差s'2＝a2s2.由題

意，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x10的方差為16，所以1－2x1，1－2x2，1－

2x3，…，1－2x10的方差為（－2）2×16＝64，即標(biāo)準(zhǔn)差為8.（2）慢走是一種既簡(jiǎn)單又健康的鍛煉方式，它不僅可以幫助減肥，還可

以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.小南計(jì)劃近6個(gè)月的月慢走里程

（單位：公里）按從小到大排列依次為11，12，m，n，20，27，且這6個(gè)

月的月慢走里程的中位數(shù)為16，若要使這6個(gè)月的月慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最

小，則m＝（

C

）A.14B.15C.16D.17C

提能點(diǎn)分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)（均值）與方差

某工廠新、舊兩條生產(chǎn)線的產(chǎn)量比為7∶3，為了解該工廠生產(chǎn)的一批

產(chǎn)品的質(zhì)量情況，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從兩條生產(chǎn)線抽取

樣本并計(jì)算得：新生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為10，方差為1；

舊生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的均值為9，方差為2，據(jù)此估計(jì)該批產(chǎn)品

的質(zhì)量指標(biāo)的均值為

；方差為

?.

9.71.51規(guī)律方法計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差的步驟

練4

（1）（2024·鷹潭一模）某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機(jī)

抽樣的方法從800名職工中抽取了一個(gè)容量為80的樣本.其中，男性平均體

重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)

之比為5∶3，則該單位職工體重的方差為（

D

）A.166B.167C.168D.169

D（2）已知15個(gè)數(shù)x1，x2，…，x15的平均數(shù)為6，方差為9，現(xiàn)從中剔除

x1，x2，x3，x4，x5這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為8，方差為5，則

剩余的10個(gè)數(shù)x6，x7，…，x15的方差為

?.8

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)12345678910111213141516一、單項(xiàng)選擇題1.

已知100個(gè)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（

）A.

這100個(gè)數(shù)據(jù)中一定有75個(gè)數(shù)小于或等于9.3B.

把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)C.

把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)D.

把這100個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個(gè)數(shù)據(jù)和第74個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)解析：

因?yàn)?00×75%＝75，為整數(shù)，所以第75個(gè)數(shù)據(jù)和第76個(gè)數(shù)據(jù)的

平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項(xiàng)均不正確，故選C.

√2.

（2025·湖南長郡中學(xué)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)

和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均數(shù)與方差

分別為（

）A.

－5，4B.

－5，16C.4，16D.4，4解析：

由題意知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，

則x1，x2，…，x100的方差為16，則－x1，－x2，…，－x100的平均數(shù)為－

4，方差為（－1）2×16＝16，故－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均

數(shù)為－4－1＝－5，方差16，故選B.

√123456789101112131415163.

某校高一年級(jí)開設(shè)了校本課程，現(xiàn)從甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生

校本課程的學(xué)分，統(tǒng)計(jì)如下表所示，s1，s2分別表示甲、乙兩班抽取的5名

學(xué)生校本課程學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差，則（

）甲811141522乙67102324A.

s1＞s2B.

s1＜s2C.

s1＝s2D.

s1，s2的大小不能確定√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·菏澤一模）某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠質(zhì)檢人員

某日隨機(jī)抽取了100個(gè)該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：分）作為一個(gè)樣本，

得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)

值作代表）（

）A.

m＝0.3B.

樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75C.

樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)大于其平均數(shù)D.

樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

n＝mB.

n≥m

C.

n＜mD.

n＞m√123456789101112131415166.

（2024·廈門二模）已知樣本2，1，3，x，4，5（x∈R）的平均數(shù)等

于60%分位數(shù)，則滿足條件的實(shí)數(shù)x的個(gè)數(shù)是（

）A.0B.1

C.2D.3√123456789101112131415167.

四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子向上的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)

的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（

）A.

平均數(shù)為2，方差為2.4B.

中位數(shù)為3，方差為1.6C.

中位數(shù)為3，眾數(shù)為2D.

平均數(shù)為3，中位數(shù)為2√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

（2023·新高考Ⅰ卷9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最

小值，x6是最大值，則（

）A.

x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.

x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.

x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.

x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2024·寧波“十?！甭?lián)考）已知一組樣本數(shù)據(jù)xi（i＝1，2，3，…，

10）均為正實(shí)數(shù)，滿足x1≤x2≤x3≤…≤x10，下列說法正確的是（

）A.

樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為x8B.

去掉樣本的一個(gè)數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C.

若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則樣

本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D.

若樣本數(shù)據(jù)的方差s2＝

－4，則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于2√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

（2025·濟(jì)南模擬）某射擊運(yùn)動(dòng)員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為

整數(shù)）形成一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8，唯一的眾數(shù)為9，極差為

3，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

?.

7.81234567891011121314151611.

某年級(jí)120名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間.

將測(cè)試結(jié)果分成5組：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），

[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個(gè)小矩形的

面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績(jī)的70%分位數(shù)約為

秒.

16.5

1234567891011121314151612.

（2025·孝感模擬）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方

差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個(gè)未知的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已

知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為

?.

13.612345678910111213141516四、解答題13.

一家水果店的店長為了解本店荔枝的日銷售情況，安排兩位員工分別

記錄并整理了6月份上、下半月荔枝的日銷售量（單位：千克）.結(jié)果如

下：（已按從小到大的順序排列）上半月：55

70

75

80

80

84

84

85

86

89

91

94

96

99

104下半月：74

75

83

85

85

87

93

94

97

99

101

102

107

107

11712345678910111213141516（1）請(qǐng)計(jì)算該水果店6月份荔枝日銷量的中位數(shù)、極差；解：

將所有數(shù)據(jù)從小到大排列：55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，

91，93，94，94，96，97，99，99，101，102，104，107，107，117，中位數(shù)為第15，16個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即（87＋89）÷2＝88，極差為117－55＝62.12345678910111213141516（2）一次進(jìn)貨太多，賣不完的荔枝第二天就會(huì)不新鮮；進(jìn)貨太少，又不

能滿足顧客的需求，店長希望在荔枝銷售期間，每天的荔枝盡量新鮮，又

能有80%的天數(shù)可以滿足顧客的需求.請(qǐng)問：每天應(yīng)該進(jìn)多少千克荔枝？

1234567891011121314151614.

某網(wǎng)絡(luò)公司為了提升服務(wù)質(zhì)量，從會(huì)員庫中隨機(jī)抽取n名會(huì)員進(jìn)行線

上問卷調(diào)查，將會(huì)員的評(píng)分（滿分10分）從低到高分為四個(gè)等級(jí)：會(huì)員評(píng)分[4，5）[5，6）[6，7）[7，8）[8，9）[9，10]滿意等級(jí)不滿意一般滿意非常滿意并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在[7，8）的會(huì)員數(shù)為

40人.12345678910111213141516（1）求樣本容量n及頻率分布直方圖中的t值；

12345678910111213141516

（2）若該公司以抽取的樣本為參考，每組數(shù)據(jù)以該組評(píng)分的區(qū)間中點(diǎn)值

為代表進(jìn)行評(píng)估.12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

15.

〔多選〕（2025·廣東一模）現(xiàn)有十個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，0），（x2，

0），…，（x10，0），它們分別與（y1，10），（y2，10），…，（y10，

10）關(guān)于點(diǎn)（3，5）對(duì)稱，已知x1，x2，…，x10的平均數(shù)為