第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義；（2）掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系；（3）能在具體問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題；（4）體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念01.知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念

2.

等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).

即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.提醒

只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，

它們互為相反數(shù).同

一個(gè)

公

比

q

3.

等比數(shù)列的有關(guān)公式（1）通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1；

（1）（人A選二P34練習(xí)1題改編）在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五

個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于（

D

）A.

－27B.－3C.3D.27

D（2）（2023·全國(guó)甲卷理5題）設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)

和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝（

C

）A.

B.

C.15D.40C

規(guī)律方法等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，q，an，

Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）求解；（2）解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法；（3）運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要討論公比q＝1的情形，否

則會(huì)漏解或增解.練1（1）（2025·洛平許濟(jì)質(zhì)量檢測(cè)）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，若

a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差數(shù)列，則q＝（

C

）A.

B.－

C.3D.－3

C

PART02知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)角度1

項(xiàng)的性質(zhì)1.

等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m（n，m∈N*）.2.

若m＋n＝p＋q，則

，其中m，n，p，q∈N*.特別

地，若2w＝m＋n，則

，其中m，n，w∈N*.3.

ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為

（k，m∈N*）.

aman＝apaq

qm

增

減

（1）（2025·滁州一模）已知{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4＋a5

＝24，a3a6＝128，則公比q＝（

A

）A.2B.－2C.3D.－3

A

A.2B.1C.

D.

B

A.

B.2C.

D.4

√規(guī)律方法1.

在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別

是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提

高解題速度.2.

在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適

當(dāng)變形.此外，解題時(shí)注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.角度2

前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.

若等比數(shù)列{an}的公比q≠－1，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n

－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為

?.

3.

Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.

qn

（1）已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比

偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝（

B

）A.1B.2C.3D.4B

（2）（2023·新高考Ⅱ卷8題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝

－5，S6＝21S2，則S8＝（

C

）A.120B.85C.

－85D.－120C

規(guī)律方法

恰當(dāng)?shù)厥褂玫缺葦?shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，如當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為

奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列等，可以避繁就簡(jiǎn)，

運(yùn)算簡(jiǎn)便的同時(shí)避免了對(duì)公比q的討論.但須注意性質(zhì)的使用條件，并結(jié)合

題設(shè)尋找使用性質(zhì)的切入點(diǎn).練2（1）〔多選〕（2025·成都一模）設(shè)公比為q的等比數(shù)列{an}的前n

項(xiàng)積為Tn，若a2a8＝16，則（

BC

）A.

a5＝4B.

當(dāng)a1＝1時(shí)，q＝±

C.log2｜T9｜＝18D.

＋

≥36BC

50

提能點(diǎn)1等比數(shù)列的判定與證明

2.

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝cqn（c，q為常數(shù)且不為0），則數(shù)列

{an}是等比數(shù)列.3.

數(shù)列{an}是等比數(shù)列?Sn＝Aqn－A（A，q為常數(shù)，且A≠0，q≠0，

1）.

（1）〔多選〕設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是

（

AD

）A.

數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列B.

數(shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C.

數(shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D.

數(shù)列

是公比為

的等比數(shù)列AD

（2）（2024·重慶九校聯(lián)考）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為

{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為已知條件，證明

另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③

a2＝2a1.注：如果選擇多個(gè)組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

規(guī)律方法

等比數(shù)列的判定與證明除用通項(xiàng)公式法與前n項(xiàng)和公式法外，還可用

定義法與等比中項(xiàng)法：

提醒

（1）在解答題中證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，一般用定義法；（2）如果要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)的三項(xiàng)不

成等比數(shù)列即可.

（1）證明：Sn＋1＝2Sn＋λ；

（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{an}為等比數(shù)列？若存在，求出λ；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

提能點(diǎn)2等比數(shù)列中的最值問(wèn)題

A.

q＞1B.0＜a6a8＜1C.

Sn的最大值為S7D.

Tn的最大值為T6BD

2

規(guī)律方法

涉及等比數(shù)列的最值問(wèn)題，一般要討論其單調(diào)性，并要考慮公比與首

項(xiàng)的符號(hào).練4

（2024·徐州適應(yīng)性測(cè)試）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3Sn＝

2an＋1，n∈N*.若Sk≥2

024，則正整數(shù)k的最小值為（

）A.11B.12C.13D.14√

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題

A.

B.

C.

D.

12345678910111213141516√

A.2B.

C.

D.

√123456789101112131415163.

在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步

不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”.其大意是有人要去某關(guān)

口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路

程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后三天所走的

里程數(shù)為（

）A.6B.12C.18D.42√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶

＝－126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1＝（

）A.1B.2C.3D.4

√123456789101112131415165.

已知Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S10＝20，則S30－2S20＋S10的

最小值為（

）A.

－5B.－1C.1D.5

√123456789101112131415166.

數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－

25，則k＝（

）A.2B.3C.4D.5

√123456789101112131415167.

設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.若存

在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)k，使Sk≤0，則q的取值范圍是（

）A.

（－∞，1）B.（－∞，－1]C.

[－1，0）D.（0，1）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

（2025·太原模擬）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，以下結(jié)論正確的是

（

）A.

{

}是等比數(shù)列B.

若a3＝2，a7＝32，則a5＝±8C.

若a1＜a2＜a3，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列D.

若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋r，則r＝－1√√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其公差d＞0，{bn}是等比數(shù)列，若

a1＝b1，a2

024＝b2

024，則（

）A.

a100＞b100B.

a100＜b100C.

a2

025＞b2

025D.

a2

025＜b2

025√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

（2025·聊城一模）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，若a1＝1，且ln

an＋1

＝ln

an＋1（n∈N*），則{an}的通項(xiàng)公式為

?.

an＝en－1

1234567891011121314151611.

設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若{Sn＋1}也是

等比數(shù)列，則q＝

?.

2

1234567891011121314151612.

將正整數(shù)按照如圖所示方式排列：12

34

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15…

…

…試問(wèn)2

025是表中第

行的第

個(gè)數(shù).11

1

002

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋2.（1）證明數(shù)列{an＋2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

12345678910111213141516（2）求數(shù)列{an}落入?yún)^(qū)間（10，2

026）的所有項(xiàng)的和.

1234567891011121314151614.

（2025·邯鄲模擬）已知數(shù)列{an}的前n