第4節(jié)向量中的最值（范圍）問(wèn)題【重點(diǎn)解讀】平面向量中的最值（范圍）問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)，此類問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，多與其他知識(shí)交匯命題.其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的最值（范圍），比如向量的模、數(shù)量積、夾角、系數(shù)的最值（范圍）等.提能點(diǎn)1與系數(shù)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題（2025·安徽六校第一次素養(yǎng)測(cè)試）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，四個(gè)半圓的圓心均為正方形ABCD各邊的中點(diǎn)（如圖），若P在BC上，且AP＝λAB＋μAD，則λ＋μ的最大值為3+22.解析：如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（cosθ，sinθ），θ∈[π，2π]，又A（－1，2），B（－1，0），C（1，0），D（1，2），則AP＝（cosθ＋1，sinθ－2），AD＝（2，0），AB＝（0，－2），∵AP＝λAB＋μAD，即（cosθ＋1，sinθ－2）＝λ（0，－2）＋μ（2，0），∴cosθ+1=2μ，sinθ－2=－2λ，解得μ＝cosθ+12，λ＝2－sinθ2，λ＋μ＝2－sinθ2＋cosθ+12＝12（cosθ－sinθ＋3）＝12［2cos（θ＋π4）＋3］，∵θ∈[π，2π]，則θ＋規(guī)律方法系數(shù)最值（范圍）問(wèn)題的解法（1）利用向量的運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；（2）運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.練1（2025·長(zhǎng)春模擬）在△ABC中，E為AC上一點(diǎn)，AC＝3AE，P為BE上任意一點(diǎn)，若AP＝mAB＋nAC（m＞0，n＞0），則3m＋1n的最小值是（A.4 B.8C.12 D.16解析：C因?yàn)锳C＝3AE，P為BE上任意一點(diǎn)，AP＝mAB＋nAC＝mAB＋3nAE，因?yàn)镻，B，E三點(diǎn)共線，所以m＋3n＝1，m＞0，n＞0，則3m＋1n＝（3m＋1n）（m＋3n）＝6＋9nm＋mn≥6＋29nm·mn＝12，當(dāng)且僅當(dāng)9nm＝mn且m＋3n＝1，即m＝12，提能點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題（2024·天津高考14題）在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE＝12DE，BE＝λBA＋μBC，則λ＋μ＝43；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為AF中點(diǎn)，則AF·DG的最小值為－518解析：法一因?yàn)镃E＝12DE，即CE＝13BA，則BE＝BC＋CE＝13BA＋BC，可得λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43；由題意可知：｜BC｜＝｜BA｜＝1，BA·BC＝0，因?yàn)镕為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BF＝kBE＝13kBA＋kBC，k∈[0，1]，則AF＝AB＋BF＝AB＋kBE＝（13k－1）BA＋kBC，又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則DG＝DA＋AG＝－BC＋12AF＝12（13k－1）BA＋（12k－1）BC，可得AF·DG＝［（13k－1）·BA＋kBC］·［12（13k－1）BA＋（12k－1）BC］＝12（13k－1）2＋k（12k－1）＝59（k－65）2－3法二以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（23，1），所以BE＝（－13，1），BA＝（－1，0），BC＝（0，1），因?yàn)锽E＝λBA＋μBC，所以（－13，1）＝λ（－1，0）＋μ（0，1），所以λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43.由B（1，0），E（23，1）可得直線BE的方程為y＝－3（x－1），設(shè)F（a，3－3a）（23≤a≤1），則G（a2，3－3a2），所以AF＝（a，3－3a），DG＝（a2，1－3a2），所以AF·DG＝a·a2＋（3－3a）·1－3a2＝5a2－6a＋32＝5（a規(guī)律方法向量數(shù)量積的最值（范圍）問(wèn)題的解法（1）坐標(biāo)法：通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理；（2）向量法：運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、幾何意義等向量有關(guān)知識(shí)解決.練2（2024·商洛模擬）在Rt△ABC中，B＝90°，AB＝7，BC＝2，若動(dòng)點(diǎn)P滿足｜AP｜＝2，則BP·CP的最大值為（）A.16 B.17C.18 D.19解析：B如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC的方向分別為x軸、y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則B（0，0），A（7，0），C（0，2）.設(shè)P（x，y），則BP·CP＝x2＋y2－2y＝x2＋（y－1）2－1.因?yàn)椋麬P｜＝2，所以P是圓A：（x－7）2＋y2＝2上的點(diǎn).又點(diǎn)P與點(diǎn)（0，1）距離的最大值為2＋7+1＝32，即x2＋（y－1）2≤（32）2＝18，所以BP·CP≤17.故BP提能點(diǎn)3與模有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題（2024·南通模擬）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，若向量c滿足｜a＋b－2c｜＝1，則｜c(diǎn)｜的取值范圍是［5－12，5+1解析：法一由｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝0，得｜a＋b｜＝5，又｜｜a＋b｜－｜2c｜｜≤｜a＋b－2c｜＝1，即5－1≤｜2c｜≤5＋1，即｜c(diǎn)｜∈［5－12，法二由題意可設(shè)a＝（0，1），b＝（2，0），c＝（x，y），則a＋b－2c＝（2－2x，1－2y），由｜a＋b－2c｜＝1，可得（2－2x）2＋（1－2y）2＝1，化簡(jiǎn)可得（x－1）2＋（y－12）2＝（12）2，該方程表示以（1，12）為圓心，以12為半徑的圓，則｜c(diǎn)｜表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)的距離d＝12＋（12）2＝52，所以｜規(guī)律方法求向量模的最值（范圍）的方法（1）代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示，構(gòu)造不等式、三角函數(shù)等求解；也可直接應(yīng)用平面向量模的三角不等式：｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜求解；（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法）：弄清所求的模表示的幾何特征，注意題目中所給的垂直、平行，以及其他數(shù)量關(guān)系合理的轉(zhuǎn)化，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.練3（2025·泉州模擬）設(shè)向量a與單位向量e滿足對(duì)任意t∈R，都有｜a－te｜≥｜a－e｜，則｜a＋e｜的最小值為（）A.3 B.2C.3 D.4解析：B由｜a－te｜≥｜a－e｜，可得a2－2ta·e＋t2e2≥a2－2a·e＋e2，即t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0對(duì)任意t∈R恒成立，則滿足Δ＝（－2a·e）2－4×（2a·e－1）≤0，即（a·e－1）2≤0，所以a·e＝1，設(shè)向量a與e的夾角為θ，可得a·e＝｜a｜｜e｜·cosθ＝｜a｜c(diǎn)osθ＝1，所以｜a｜＝1cosθ，則｜a＋e｜＝｜a｜2+2a·e＋｜e｜2＝1cos2θ+3，當(dāng)cos提能點(diǎn)4與夾角有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題已知平面向量a，b滿足｜a｜＝｜b｜，且｜a－3b｜＝1，則cos＜b，3b－a＞的最小值是223解析：由｜a－3b｜＝1兩邊平方得a2－6a·b＋9b2＝1.又因?yàn)椋黙｜＝｜b｜，所以a·b＝10a2－16，所以cos＜b，3b－a＞＝b·（3b－a）｜b｜·｜3b－a｜＝3b2－a·b｜b｜＝18b2?(10a2－1規(guī)律方法求夾角的最值（范圍）要根據(jù)夾角余弦值的表達(dá)式，利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.練4已知｜a｜＝2｜b｜，｜b｜≠0，且關(guān)于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有實(shí)根，則a與b的夾角θ的取值范圍是［π3，π］解析：因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2＋｜a｜x＋a·b＝0有實(shí)根，所以Δ＝｜a｜2－4a·b＝｜a｜2－4｜a｜·｜b｜·cosθ＝4｜b｜2－8｜b｜2·cosθ≥0，所以cosθ≤12，又θ∈[0，π]，所以π3≤θ≤π，即a與b的夾角θ的取值范圍是［π3，一、單項(xiàng)選擇題1.（2025·揚(yáng)州開(kāi)學(xué)考試）已知向量a＝（3，1），b＝（1，3），則｜λa－b｜（λ∈R）的最小值為（）A.2 B.3C.1 D.3解析：C由題意可得λa－b＝λ（3，1）－（1，3）＝（3λ－1，λ－3），所以｜λa－b｜2＝（3λ－1）2＋（λ－3）2＝4λ2－43λ＋4＝4（λ－32）2＋1，故當(dāng)λ＝32時(shí)，｜λa－b｜取得最小值1.故選2.已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a·b＝1.若｜c(diǎn)｜＝2，則（a＋b）·c的最大值為（）A.25 B.10C.2 D.5解析：A設(shè)a＋b，c的夾角為θ，則（a＋b）·c＝｜a＋b｜·｜c(diǎn)｜c(diǎn)osθ≤｜a＋b｜·｜c(diǎn)｜＝｜a｜2＋｜b｜2+2a·b·｜c(diǎn)｜＝25，當(dāng)a＋b，3.（2025·泉州模擬）已知平面向量a，b滿足｜a｜＝32，｜b｜＝1，并且當(dāng)λ＝－4時(shí)，｜a＋λb｜取得最小值，則sin＜a，b＞＝（）A.223 B.C.154 D.解析：B平面向量a，b滿足｜a｜＝32，｜b｜＝1，則a·b＝32cos＜a，b＞，｜a＋λb｜2＝｜a｜2＋2λa·b＋λ2｜b｜2＝λ2＋62λcos＜a，b＞＋18，則λ＝－32cos＜a，b＞時(shí)，｜a＋λb｜2取得最小值，即｜a＋λb｜取得最小值，故－32cos＜a，b＞＝－4，則有cos＜a，b＞＝223，又＜a，b＞∈[0，π]，則sin＜a，b＞＝1－（224.（2025·綿陽(yáng)一模）已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則（PA＋PB）·（PC＋PD）的最小值為（）A.－1 B.－2C.－4 D.－6解析：C建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），設(shè)P（x，y），則PA＝（－x，－y），PB＝（2－x，－y），PC＝（2－x，2－y），PD＝（－x，2－y），所以（PA＋PB）·（PC＋PD）＝（2－2x，－2y）·（2－2x，4－2y）＝（2－2x）2＋4y2－8y＝4（x－1）2＋4（y－1）2－4.所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1時(shí)，PA＋PB·PC＋PD取得最小值－4.5.（2025·沈陽(yáng)模擬）已知單位向量a，b，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，｜xa＋b｜≥32恒成立，則向量a，b的夾角的取值范圍為（A.［π4，3π4］ B.［πC.［π4，π2］ D.［π3解析：B已知a，b是單位向量，由｜xa＋b｜≥32，得（xa＋b）2≥34，則x2＋2（a·b）x＋14≥0，依題意，不等式x2＋2（a·b）x＋14≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則Δ＝4（a·b）2－1≤0，解得－12≤a·b≤12，而cos＜a，b＞＝a·b｜a||b｜＝a·b，則－12≤cos＜a，b＞≤12，又0≤＜a，b＞≤π，函數(shù)y＝cosx在[0，π]上單調(diào)遞減，所以π3≤＜a6.如圖，在△ABC中，cos∠BAC＝14，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝3DC，AD＝152，則△ABC的面積的最大值為（A.15 B.17C.215 D.217解析：A設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，因?yàn)锽D＝3DC，所以AD＝14AB＋34AC，又AD＝152，cos∠BAC＝14，所以AD2＝（14AB＋34AC）2＝116c2＋916b2＋38bccos∠BAC＝116c2＋916b2＋332bc，則154＝116c2＋916b2＋332bc＝（14c）2＋（34b）2＋332bc≥2×14c·34b＋332bc＝1532bc，當(dāng)且僅當(dāng)c＝3b時(shí)，等號(hào)成立.所以bc≤二、多項(xiàng)選擇題7.（2025·晉中模擬）在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)且滿足AD＝12DC，若P為BD上一點(diǎn)，且滿足AP＝λAB＋μAC，λ，μ為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（A.λμ的最小值為1 B.λμ的最大值為1C.1λ＋13μ的最大值為12 D.1λ解析：BD因?yàn)锳D＝12DC，所以AC＝3AD，又AP＝λAB＋μAC＝λAB＋3μAD，因?yàn)镻，B，D三點(diǎn)共線，所以λ＋3μ＝1，又λ，μ為正實(shí)數(shù)，所以λμ＝13λ×3μ≤13×（λ+3μ2）2＝112，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝3μ，即λ＝12，μ＝16時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤，B正確；1λ＋13μ＝（1λ＋13μ）（λ＋3μ）＝2＋3μλ＋λ3μ≥2＋23μλ·λ3μ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)8.已知a，b是單位向量，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，（c－a－b）·（c－2a）＝0，則下列說(shuō)法正確的是（）A.a·b＝0B.若a·k＝n·a，則n＝kC.｜c(diǎn)｜的最大值為2D.c·b的最小值是1解析：ACD∵｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴（a＋b）2＝（a－b）2，a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，故A正確；由a·k＝n·a，可得｜a｜·｜k｜c(diǎn)os＜a，k＞＝｜n｜·｜a｜c(diǎn)os＜n，a＞，即｜k｜c(diǎn)os＜a，k＞＝｜n｜c(diǎn)os＜n，a＞，則n＝k不一定成立，故B錯(cuò)誤；又a，b是單位向量，a·b＝0，不妨設(shè)a＝（1，0），b＝（0，1），設(shè)c＝（x，y），又（c－a－b）·（c－2a）＝0，∴（x－1，y－1）·（x－2，y）＝0，（x－1）·（x－2）＋y（y－1）＝0，∴x2－3x＋2＋y2－y＝0，即（x－32）2＋（y－12）2＝12，其表示圓心為D（32，12），半徑為22的圓，∴｜c(diǎn)｜max＝｜OD｜＋22＝（32）2＋（12）2＋22＝2＋102，故C正確；由上可知，（y－12）2≤12三、填空題9.（2025·綿陽(yáng)模擬）已知圓C的方程為（x－1）2＋（y－1）2＝2，點(diǎn)P在直線y＝x＋3上，線段AB為圓C的直徑，則｜PA＋PB｜的最小值為32.解析：因?yàn)镃為AB的中點(diǎn)，所以PA＋PB＝2PC，從而｜PA＋PB｜＝｜2PC｜＝2｜PC｜，可知｜PC｜的最小值為點(diǎn)C到直線y＝x＋3的距離，d＝｜1－1+3｜2＝322，所以｜PA＋PB｜min＝210.（2025·秦皇島一模）定義在[x1，x2]上的函數(shù)y＝f（x）的圖象為C，M是C上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量OA＝（x1，f（x1）），OB＝（x2，f（x2）），OM＝（x，y），且實(shí)數(shù)λ滿足x＝λx1＋（1－λ）x2，此時(shí)向量ON＝λOA＋（1－λ）OB.若｜MN｜≤K恒成立，則稱函數(shù)y＝f（x）在[x1，x2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似，其中K是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).已知函數(shù)f（x）＝x2－2x在[1，2]上可在標(biāo)準(zhǔn)K下線性近似，那么K的最小值是14解析：由ON＝λOA＋（1－λ）OB得點(diǎn)N在直線AB上，又因?yàn)閤＝λx1＋（1－λ）x2，所以點(diǎn)M與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相等.由f（x）＝x2－2x（x∈[1，2]）得A（1，－1），B（2，0），則直線AB的方程為y＝x－2，則｜MN｜＝｜x－2－（x2－2x）｜＝｜－x2＋3x－2｜＝｜－（x－32）2＋14｜，x∈[1，2]，所以當(dāng)x＝32時(shí)，｜MN｜取得最大值14，又因?yàn)椋麺N｜≤K恒成立，所以K≥14，四、解答題11.設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，求PA12＋PA22解：如圖，連接OP，OA2，OA6，根據(jù)題意及向量加法的平行四邊形法則可得PA22＋PA62＝（OA2－OP）2＋（OA易知OA2與OA6反向共線，所以PA22＋PA62＝12[（2OP）2＋（2OA2）2]＝2OP2＋2，同理得，PA12＋PA52＝12[（2OPPA42＋PA82＝12[（2OP）2＋（2OA4）2]PA32＋PA72＝12[（2OP）2＋（2OA3）2]所以PA12＋PA22＋…＋PA82在△OA1A2中，易知1·cosπ8≤｜OP｜≤1所以12＋22≤8OP2＋8≤16，所以PA12＋PA22＋…＋PA82的取值范圍為[1212.（2025·邵陽(yáng)開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），作OM＝m，ON＝n，當(dāng)m，n不共線時(shí)，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S（m，n）＝｜x1y2－x2y1｜；當(dāng)m，n共線時(shí)，易知S（m，n）＝0.（1）分別根據(jù)下列已知條件求S（m，n）；①m＝