第4節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的

垂直關(guān)系；（2）掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直01.知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直1.

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，我們就說直

線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做

直線l的垂面.任意一條

文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面

內(nèi)的兩條

?直線垂

直，那么該直線與此平面

垂直

?

?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條

直線

?

?

?a∥b相交

2.

直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

平行

結(jié)論

（1）若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這

個(gè)平面；（2）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也

垂直；（4）三垂線定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，

l⊥CO，則l⊥PC；（5）三垂線定理的逆定理：若PO⊥α，PC在平面α內(nèi)的射影為CO，l?α，l⊥PC，則l⊥CO.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn).證明：（1）CD⊥AE；證明：在四棱錐P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.

又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）PD⊥平面ABE.

證明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC.

由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.

又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面ABE，∴PD⊥平面ABE.

規(guī)律方法證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳

遞性（a∥b，a⊥α?b⊥α）；③面面平行的性質(zhì)（a⊥α，

α∥β?a⊥β）；④面面垂直的性質(zhì)；（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面

垂直的性質(zhì).練1（1）（人A必修二P162習(xí)題1（2）題改編）已知直線m，n和平面

α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分又不必要條件√解析：

n?α，m⊥n

m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n?α，則m⊥n，必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分條件.（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，

EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.解析：證明：如圖所示，連接A1C1，C1D，B1D1，BD.

∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1?平面A1C1D，∴EF⊥平面A1C1D，

①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1.∵四邊形A1B1C1D1為正方形，∴A1C1⊥B1D1，又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D，而BD1?平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，

②由①②可知EF∥BD1.PART02知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直1.

平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個(gè)平面

互相垂直.直二面角

2.

平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定

理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平

面的

，那么這兩

個(gè)平面垂直

?α⊥β垂線

文字語言圖形語言符號(hào)語言性質(zhì)定

理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)

平面內(nèi)有一直線垂直于這

兩個(gè)平面的

，那

么這條直線與另一個(gè)平面

垂直

?l⊥α交線結(jié)論兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三

個(gè)平面.

（2023·全國(guó)甲卷文18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.（1）證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；解：證明：因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC.

因?yàn)椤螦CB＝90°，所以AC⊥BC.

因?yàn)锳C∩A1C＝C，AC，A1C?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.

（2）設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高.解：如圖，取棱AA1的中點(diǎn)D，連接BD，CD.

因?yàn)锳B＝A1B，所以AA1⊥BD.

因?yàn)锽C⊥平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以

BC⊥AA1.因?yàn)锽C∩BD＝B，BC，BD?平面BCD，所以AA1⊥平面BCD.

因?yàn)镃D?平面BCD，所以AA1⊥CD.

因?yàn)锳A1∥CC1，所以CD⊥CC1.又因?yàn)镃D⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1?平面

BB1C1C，所以CD⊥平面BB1C1C.

因?yàn)锳A1＝2，所以CD＝1.易知AA1∥平面BB1C1C，所以四棱錐A1-BB1C1C的高為CD＝1.規(guī)律方法1.

判定面面垂直的常用方法（1）面面垂直的定義；（2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）.2.

已知面面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交

線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.練2（1）（蘇教必修二P195練習(xí)4題改編）已知直線a，b與平面α，β，

γ，能使α⊥β的充分條件是（

D

）A.

α⊥γ，β⊥γB.

α∩β＝a，b⊥a，b?βC.

a∥β，a∥αD.

a∥α，a⊥β解析：α⊥γ，β⊥γ?α與β相交或平行，故A不正確；因?yàn)棣痢搔拢絘，b⊥a，b?β，所以β可以繞交線a任意旋轉(zhuǎn)，所以不能得到α⊥β，故B不正確；a∥β，a∥α?α與β相交或平行，故C不正確；當(dāng)a⊥β，a∥α，過直線a作平面與平面α交于直線b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β

，又b?α，所以α⊥β，故D正確.D（2）〔多選〕（人A必修二P165習(xí)題20題改編）如圖，PA垂直于以AB為

直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，AE⊥PC，垂足

為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中正確的是（

ABD

）A.

BC⊥平面PACB.

AE⊥EFC.

AC⊥PBD.

平面AEF⊥平面PBCABD解析：對(duì)于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，而BC?底面圓面，則PA⊥BC，又由圓的性質(zhì)，可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC，所以A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可知，BC⊥AE，由題意可知，AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF?平面PBC，所以AE⊥EF，所以B

正確；對(duì)于C，若AC⊥PB，因?yàn)锳C⊥BC，BC∩PB＝B，BC，PB?

平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又PC?平面PBC，則AC⊥PC，與

AC⊥PA矛盾，所以AC⊥PB不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B項(xiàng)可知，

AE⊥平面PBC，AE?平面AEF，由面面垂直的判定定理，可得平面

AEF⊥平面PBC，所以D正確.故選A、B、D.

提能點(diǎn)平行與垂直的綜合問題

（2025·石家莊模擬）如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在

的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E為線段AB上的一

點(diǎn).（1）若OE∥平面D1BC，求證：E為AB的中點(diǎn)；解：證明：因?yàn)樗倪呅蜛A1D1D為正方形，A1D∩AD1＝O，所以O(shè)

為AD1的中點(diǎn).又因?yàn)镺E∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE?平面

ABD1，所以O(shè)E∥BD1.又因?yàn)镺為AD1的中點(diǎn)，所以E為AB的中點(diǎn).（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，

求出AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

規(guī)律方法1.

垂直與平行的綜合問題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直性質(zhì)及判定的綜

合應(yīng)用.2.

對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，

利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.

（2）若∠POF＝120°，求三棱錐P-ABC的體積.解：由（1）得FO∥AB，因?yàn)锳B⊥BC，所以FO⊥BC.

又PO⊥BC，所以∠POF是二面角P-BC-F的平面角，所以二面角P-BC-F的大小為120°.如圖，過點(diǎn)P作PM⊥平面ABC于點(diǎn)M，連接MO，MB，則∠POM是二面角P-BC-M的平面角，所以∠POM＝60°.

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

（2024·天津高考6題）若m，n為兩條直線，α為一個(gè)平面，則下列

結(jié)論中正確的是（

）A.

若m∥α，n∥α，則m⊥nB.

若m∥α，n∥α，則m∥nC.

若m∥α，n⊥α，則m⊥nD.

若m∥α，n⊥α，則m與n相交解析：對(duì)于A、B，若m∥α，n∥α，則m與n可能平行、相交或異面，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，若m∥α，n⊥α，則m⊥n，m與n可能相交垂直，也可能異面垂直，故C正確，D錯(cuò)誤.12345678910111213141516√2.

如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1

在底面ABC上的射影H必在（

）A.

直線AB上B.

直線BC上C.

直線AC上D.

△ABC內(nèi)部解析：

連接AC1（圖略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，

AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面

ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.√12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√123456789101112131415164.

（2025·景德鎮(zhèn)開學(xué)考試）已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩

個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A.

若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB.

若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC.

若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD.

若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n√12345678910111213141516解析：

由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一

個(gè)平面的兩條直線相互平行，故A正確；由于α∥β，

m⊥α，所以m⊥β，又因?yàn)閚∥β，則m⊥n，故B正

確；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故

C錯(cuò)誤；如圖，設(shè)α∩β＝l，在平面β內(nèi)作直線c⊥l，

又因?yàn)棣痢挺?，則c⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因?yàn)?/p>

n⊥β，c?β，所以n⊥c，從而有m⊥n，故D正確.

123456789101112131415165.

在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則

△ABC的形狀是（

）A.

銳角三角形B.

直角三角形C.

鈍角三角形D.

不能確定√12345678910111213141516解析：作AE⊥BD，交BD于E，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，

∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，又

∵AE∩AD＝A，AE，AD?平面ABD，∴BC⊥平面ABD，而AB?平面

ABD，∴BC⊥AB，即△ABC為直角三角形.123456789101112131415166.

（2025·東營(yíng)模擬）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱

DD1和線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足與DD1垂直的直線MN（

）A.

有且僅有1條B.

有且僅有2條C.

有且僅有3條D.

有無數(shù)條√12345678910111213141516解析：

如圖，過點(diǎn)N作NE⊥BC，垂足為E，連接DE，當(dāng)M，N高度一樣，即MD＝NE時(shí)，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，所以四邊形MDEN為平行

四邊形，所以MN∥DE.

因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，所以DD1⊥DE，則DD1⊥MN.

所以當(dāng)M，N高度一樣，即MD＝NE時(shí)，一定有DD1⊥MN，此時(shí)滿足條件的直線MN有無數(shù)條.

123456789101112131415167.

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，D是A1B1的

中點(diǎn)，點(diǎn)F在BB1上，記B1F＝λBF，若AB1⊥平面C1DF，則實(shí)數(shù)λ的值

為（

）A.

B.

C.

D.1√12345678910111213141516解析：

由題意可得C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，A1B1∩AA1

＝A1，A1B1，AA1?平面AA1B1B，所以C1D⊥平面AA1B1B，又AB1?平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1，作DF⊥AB1交BB1于點(diǎn)F（如圖），連接FC1，A1B，此時(shí)AB1⊥平面C1DF，在矩形A1B1BA中，AB＝A1A，所以四邊形A1B1BA是正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF∥A1B，又D為A1B1的中點(diǎn)，所以F為BB1的中點(diǎn)，所以B1F＝BF，因?yàn)锽1F＝λBF，所以λ＝1.

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是（

）解析：對(duì)于A，顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于B，因?yàn)锳B⊥CE，AB⊥ED，且CE∩

ED＝E，所以AB⊥平面CDE；對(duì)于C，顯然AB與CE不垂直，所以直線AB與平面CDE不垂直；對(duì)于D，因?yàn)镋D⊥平面ABC，則ED⊥AB，同理CE⊥AB，因?yàn)镋D∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.

√√123456789101112131415169.

（2025·武漢模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥

平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

（

）A.

CD⊥PDB.

AB⊥PCC.

平面PBD⊥平面PACD.

E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面√√12345678910111213141516解析：

如圖所示，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以

CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正確；因?yàn)镃D∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB與PC不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BD與AC不一定垂直，則BD與平面PAC不一定垂直，所以平面PBD與平面PAC不一定垂直，故C錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面，故D正確.

12345678910111213141516三、填空題10.

（2025·泉州質(zhì)檢）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各

邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足

?

時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.

解析：由題知△PAB≌△PAD，所以PB＝PD，易知△PDC≌△PBC，當(dāng)BM⊥PC時(shí)，則有DM⊥PC，又BM∩DM＝M，此時(shí)PC⊥平面MBD，PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.

BM⊥PC（或

DM⊥PC）1234567891011121314151611.

如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在該正方體中，棱

?

所在的直線與棱AB所在的直線是異面

直線且互相垂直.（注：填上你認(rèn)為正確的一條棱即可，不必考慮所有可

能的情況）CG，

DH，EH，F(xiàn)G（任選一個(gè)作答）

解析：如圖，結(jié)合平面圖形還原出正方體，結(jié)合正方體性質(zhì)易

知，棱CG，DH，EH，F(xiàn)G所在的直線與棱AB所在的直線是

異面直線且互相垂直.

1234567891011121314151612.

（2025·威海模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面四邊形ABCD

為矩形，SA⊥平面ABCD，P，Q分別是線段BS，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)R在線

段SD上.若AS＝4，AD＝2，AR⊥PQ，則AR＝

.

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形，

AB∥CD，AD⊥PC.

（1）求證：AD⊥平面PDC；12345678910111213141516證明：在平面PCD中過點(diǎn)D作DH⊥DC，交PC于H，因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面PCD，DH?平面PCD，平面

ABCD∩平面PCD＝CD，所以DH⊥平面ABCD，因?yàn)锳D?平面ABCD，所以DH⊥AD，又AD⊥PC，且PC∩DH＝H，PC，DH?平面PCD，所以AD⊥平面PCD.

12345678910111213141516（2）若M是棱PA的中點(diǎn)，求證：對(duì)于棱BC上任意一點(diǎn)F，MF與PC都

不平行.證明：法一假設(shè)棱BC上存在點(diǎn)F，使得

MF∥PC，顯然F與點(diǎn)C不重合，所以P，M，F(xiàn)，C四點(diǎn)共面于α，所以FC?α，PM?α，所以B∈FC?α，A∈PM?α，所以α就是點(diǎn)A，B，C確定的平面，所以P∈α，這與P-ABCD為四棱錐矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即問題得證.12345678910111213141516法二假設(shè)棱BC上存在點(diǎn)F，使得MF∥PC，連接AC，取其中點(diǎn)N，在△PAC中，因?yàn)镸，N分別為PA，CA的中點(diǎn)，所以MN∥PC，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)只有一條直線和已知直線平行，所以MF與MN重合，所以點(diǎn)F在線段AC上，所以F是AC，B