第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）能根據(jù)給定的直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；（2）能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系01.知識(shí)點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系02.課時(shí)跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

?個(gè)

個(gè)

?個(gè)判定方

法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝

d

rd

rd

r代數(shù)法：由

消元得到一元二次方程根的判別式ΔΔ

0Δ

0Δ

02

1

0

＜

＝

＞

＞

＝

＜

（1）（北師選一P35練習(xí)2題改編）直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2

－2x－8＝0的位置關(guān)系為（

C

）A.

相切B.

相交或相切C.

相交D.

相交、相切或相離C

（2）（人A選一P99習(xí)題13題改編）若圓C：（x－1）2＋（y－b）2＝9上恰有4個(gè)點(diǎn)到直線3x－4y＝0的距離為2，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

?

?.（－

規(guī)律方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷；（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷；（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線

與圓相交.提醒

上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直

線問題.練1（1）（2025·長(zhǎng)春3月調(diào)研）“a＝3”是“直線y＝x＋4與圓（x－

a）2＋（y－3）2＝8相切”的（

A

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件

A（2）（2025·溫州一模）若直線x－y＋1＝0與圓（x－a）2＋y2＝2有公

共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

?.

[－3，1]PART02知識(shí)點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系圓與圓位置關(guān)系的判定（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的

位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示

d與r1，r2的關(guān)系

?

?

?

?

?

?d＝

?（r1≠r2）0≤d＜

?（r1≠r2）d＞r1＋r2d＝r1＋r2｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2｜r1－r2｜｜r1－r2｜

提醒

兩圓相切應(yīng)注意是內(nèi)切還是外切.

結(jié)論圓系方程（1）同心圓系方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中a，b

是定值，r是參數(shù)；（2）過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方

程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ∈R）；（3）過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋

F2＝0交點(diǎn)的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y

＋F2）＝0（λ≠－1）（該圓系不含圓C2，解題時(shí)注意檢驗(yàn)圓C2是否滿足

題意，以防漏解）.

（1）（人A選一P96例5改編）已知圓C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0與

圓C2：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16，則圓C1與圓C2的位置關(guān)系為

（

A

）A.

相交B.

外切C.

外離D.

內(nèi)含

A（2）（2025·重慶模擬）圓A：x2＋y2＝4與圓B：x2＋y2－4x＋4y－12

＝0的公共弦所在直線的方程為（

A

）A.

x－y＋2＝0B.

x－y－2＝0C.

x＋y＋2＝0D.

x＋y－2＝0解析：

將兩圓方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.因此，兩

圓的公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0.A規(guī)律方法圓與圓位置關(guān)系相關(guān)問題的求解策略（1）判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與

兩圓半徑之間的關(guān)系；（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消

去x2，y2項(xiàng)得到.練2（1）（2025·新鄉(xiāng)一模）過兩圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0和x2＋y2－

4x＋2y＋2＝0的交點(diǎn)且圓心在直線x＋2y＋2＝0上的圓的方程為

?

?；

x2＋y2

－8x＋6y＋6＝0（2）已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－

2my＋m2－3＝0.①若圓C1與圓C2外切，則m＝

?；②若圓C1與圓C2內(nèi)含，則m的取值范圍為

?.2或－5（－2，－1）

綜上所述，當(dāng)m＝－5或m＝2時(shí)，C1與C2外切；當(dāng)－2＜m＜－1時(shí)，C1

與C2內(nèi)含.提能點(diǎn)1弦長(zhǎng)問題

（1）（2024·全國(guó)甲卷理12題）已知b是a，c的等差中項(xiàng)，直線ax

＋by＋c＝0與圓x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜的最小值

為（

C

）A.1B.2CC.4D.

2

x＝－2或

3x＋4y＋6＝0

規(guī)律方法直線被圓截得的弦長(zhǎng)的兩種求法練3（1）（2025·豐臺(tái)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：ax＋by

＝1上有且僅有一點(diǎn)P，使｜OP｜＝1，則直線l被圓C：x2＋y2＝4截得的

弦長(zhǎng)為（

D

）A.1B.

C.2D.

2

D（2）（2025·德州模擬）已知圓M：x2＋（y＋1）2＝4與圓N：x2＋y2－

2mx－2y＋1＝0（m＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AMB為直角三角形

時(shí)，m的值為

?.

2提能點(diǎn)2切線問題

圓的切線方程常用結(jié)論（1）過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方程為x0x＋y0y＝

r2；（2）過圓（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線方

程為（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2；（3）過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在

直線方程為x0x＋y0y＝r2.

（1）（2025·衡水模擬）已知P為直線l：x－y＋1＝0上一點(diǎn)，過

點(diǎn)P作圓C：（x－1）2＋y2＝1的一條切線，切點(diǎn)為A，則｜PA｜的最小

值為（

A

）A.1B.

C.

D.2

A（2）（2025·臨沂模擬）過點(diǎn)（1，0）且與圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0相

切的直線方程為

?.

3x－4y－3＝0或x＝1變式本例（1）變?yōu)椋阂阎狿為直線l：x－y＋1＝0上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓

C：（x－1）2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則｜AB｜的最小值

為

?.

規(guī)律方法解決直線與圓相切問題的策略練4

（1）（2025·天津和平一模）過直線y＝x上的點(diǎn)P作圓C：（x＋

3）2＋（y－5）2＝4的兩條切線l1，l2，當(dāng)直線l1，l2關(guān)于直線y＝x對(duì)稱

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

A

）A.

（1，1）B.

（

，

）C.

（

，

）D.

（

，

）A

（2）（2024·洛陽模擬）已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0，圓C2：x2

＋y2－2x－6y＋9＝0，直線l分別與圓C1和圓C2切于M，N兩點(diǎn)，則線段

MN的長(zhǎng)度為

?.

PART03課時(shí)跟蹤檢測(cè)

A.

x＋

y－10＝0B.

x－2y＋10＝0C.

x－

y＋10＝0D.

2x＋

y－10＝0

12345678910111213141516√

A.

B.

√C.

D.

12345678910111213141516

A.

外切B.

相交C.

內(nèi)切D.

沒有公共點(diǎn)

√123456789101112131415164.

過點(diǎn)P（1，1）的直線，將圓形區(qū)域{（x，y）｜x2＋y2≤4}分為兩部

分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（

）A.

x＋y－2＝0B.

y－1＝0C.

x－y＝0D.

x＋3y－4＝0解析：

大的面積越大，小的面積越小，兩部分的面積之差越大.達(dá)到最

大時(shí)，弦垂直于過點(diǎn)P（1，1）的直徑，圓心C（0，0），kPC＝1，所以

所求直線的斜率k＝－1，所求直線的方程為y－1＝－（x－1），即x＋y

－2＝0，故選A.

√123456789101112131415165.

（2023·新高考Ⅰ卷6題）過點(diǎn)（0，－2）與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的

兩條直線的夾角為α，則sin

α＝（

）A.1B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

已知圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0與圓C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所

在直線恒過點(diǎn)P（a，b），且點(diǎn)P在直線mx－ny－2＝0上，則mn的取值

范圍是（

）A.

（－∞，1]B.

（

，1］C.

［

，＋∞）D.

（－∞，

］√12345678910111213141516解析：

由圓C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圓C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得

圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程為k（x＋y）－2y－2＝0，求得定點(diǎn)

P（1，－1），又P（1，－1）在直線mx－ny－2＝0上，則m＋n＝2，

即n＝2－m.所以mn＝（2－m）m＝－（m－1）2＋1，所以mn的取值

范圍是（－∞，1].12345678910111213141516

A.

（－

，0）B.

［－

，

）C.

［－1，－

）D.

（－∞，－

］√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

已知圓O1：x2＋y2－2x－3＝0和圓O2：x2＋y2－2y－1＝0的交點(diǎn)為

A，B，則（

）A.

兩圓的圓心距｜O1O2｜＝2B.

直線AB的方程為x－y＋1＝0C.

圓O2上存在兩點(diǎn)P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜D.

圓O1上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2＋

√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·廣東百校聯(lián)考）已知圓Cn：（x－n）2＋y2＝n2（n＞0），則

下列結(jié)論正確的是（

）A.

無論n為何值，圓Cn都與y軸相切B.

存在整數(shù)n，使得圓Cn與直線y＝x＋2相切C.

當(dāng)n＝5時(shí)，圓Cn上恰有11個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）D.

若圓Cn上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝x的距離為

，則2

－2＜n＜2

＋2√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

1

1234567891011121314151611.

（2024·麗水、湖州、衢州教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知圓C：mx2＋（2m－

1）y2－2ax－a－2＝0，若對(duì)于任意的a∈R，存在一條直線被圓C所截得

的弦長(zhǎng)為定值n，則m＋n＝

?.

1234567891011121314151612.

（2025·北京西城一模）若直線kx－y＋k＝0與☉C：（x－1）2＋y2

＝4交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為

，滿足“△ABC面積

最大”的k的一個(gè)值為

?.21（±1均可）12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題

12345678910111213141516（2）若圓O2過點(diǎn)C（4，0