第5節(jié)空間向量的概念及運(yùn)算【課標(biāo)要求】（1）了解空間向量的概念，了解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.知識點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量長度相等而方向相反的向量共線向量（或平行向量）表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量共面向量平行于同一個平面的向量2.空間向量的線性運(yùn)算加法、減法數(shù)乘幾何形式代數(shù)形式OB＝OA＋OC＝a＋b，CA＝OA－OC＝a－b當(dāng)λ＞0時，λa＝λOA＝PQ；當(dāng)λ＜0時，λa＝λOA＝MN；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c結(jié)合律：λ（μa）＝（λμ）a；分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb（1）（人A選一P10習(xí)題5題改編）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，則下列向量中與BM相等的向量是（AA.－12a＋12b＋c B.12a＋1C.－12a－12b＋c D.12a－1解析：（1）由題意，得BM＝BB1＋B1M＝AA1＋12（AD－AB）＝c＋12（b－a）＝－（2）如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).化簡A1O－12AB－12AD＝A1A；用AB，AD，AA1表示OC1，解析：（2）A1O－12AB－12AD＝A1O－12（AB＋AD）＝A1O－AO＝A1O＋OA＝A1A；∵OC＝12AC＝12（AB＋AD），∴OC規(guī)律方法空間向量線性運(yùn)算中的三個關(guān)鍵點(diǎn)練1（1）已知a＝（2，3，－4），b＝（－4，－3，－2），b＝12x－2a，則x＝（BA.（0，3，－6） B.（0，6，－20）C.（0，6，－6） D.（6，6，－6）（2）（蘇教選二P8練習(xí)3題改編）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn)，且AP＝AD＋xAB＋yAA1，則實(shí)數(shù)x＋y＝（CA.12 B.C.32 D.解析：（1）∵b＝12x－2a，∴x＝4a＋2b＝4（2，3，－4）＋2（－4，－3，－2）＝（0，6，－20）.故選B（2）AP＝AD＋DD1＋D1P＝AD＋AA1＋12AB＝AD＋xAB＋yAA1，故x＝12，知識點(diǎn)二共線、共面向量定理及應(yīng)用共線向量定理對任意兩個空間向量a，b（b≠0），a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb共面向量定理如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x，y），使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝1結(jié)論（1）三點(diǎn)共線：在平面中A，B，C三點(diǎn)共線?OA＝xOB＋yOC（其中x＋y＝1），O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)；（2）四點(diǎn)共面：在空間中P，A，B，C四點(diǎn)共面?OP＝xOA＋yOB＋zOC（其中x＋y＋z＝1），O為空間中任意一點(diǎn).（1）（蘇教選二P15練習(xí)2題改編）下列命題正確的是（C）A.若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B.向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C.若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D.若a，b，c共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對（x，y），使得a＝xb＋yc解析：（1）若b＝0，則滿足a與b共線，b與c共線，但是a與c不一定共線，故A錯誤；因?yàn)橄蛄渴强梢砸苿拥牧?，所以向量a，b，c共面，但它們所在的直線不一定共面，故B錯誤；假設(shè)a，b，c至少有一個為0，則空間向量a，b，c共面，故假設(shè)不成立，故C正確；假設(shè)b＝0，若a，c共線，則存在無數(shù)個實(shí)數(shù)對（x，y），使得a＝xb＋yc，若a，c不共線，則不存在實(shí)數(shù)對（x，y），使得a＝xb＋yc，故D錯誤.（2）（蘇教選二P17習(xí)題6題改編）已知空間中A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)P為空間中任意一點(diǎn)，若BD＝6PA－4PB＋λPC，則λ＝（B）A.2 B.－2C.1 D.－1解析：（2）BD＝6PA－4PB＋λPC，即PD－PB＝6PA－4PB＋λPC，整理得PD＝6PA－3PB＋λPC，由A，B，C，D四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.規(guī)律方法證明三點(diǎn)共線和空間四點(diǎn)共面的方法比較練2（1）（2025·淮安模擬）設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，已知三點(diǎn)A（1，5，－2），B（2，4，1），C（x，3，y＋2）在同一條直線上，則x＋y＝（D）A.2 B.3C.4 D.5（2）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O為平面ABC外任意一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足OM＝15OA＋45OB＋25BC，則點(diǎn)M∈（填“∈”或解析：（1）由已知可得AB＝（1，－1，3），AC＝（x－1，－2，y＋4）.因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得AC＝λAB，所以x－1=λ，－2=－λ，（2）OM＝15OA＋45OB＋25BC＝15OA＋45OB＋25（OC－OB）＝15OA＋25OB＋25OC，∵15＋25＋知識點(diǎn)三空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用1.兩個非零空間向量的數(shù)量積（1）a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞；（2）a⊥b?a·b＝0；（3）設(shè)a＝（x，y，z），則｜a｜2＝a2，｜a｜＝x22.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R向量和a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）向量差a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）數(shù)乘向量λa＝（λa1，λa2，λa3）續(xù)表a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（b≠0）垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a≠0，b≠0）夾角公式cos＜a，b＞＝a（人A選一P13例2、例3改編）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求線段AC1的長；解：（1）設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c則｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因?yàn)锳C1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋所以｜AC1｜＝｜a＋b＋c｜＝（a＝1+1+4+0－2－2＝2，所以線段AC1（2）求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；解：（2）因?yàn)锳C1＝a＋b＋c，A1D＝b所以AC1·A1D＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋1－4｜A1D｜＝｜b－c＝｜b｜2＋｜設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜AC1，A1D＞｜＝｜AC1即異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147（3）求證：AA1⊥BD.解：（3）證明：因?yàn)锳A1＝c，BD＝b－a所以AA1·BD＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝－1＋1＝0，即AA1⊥所以AA1⊥BD.規(guī)律方法空間向量數(shù)量積的3個應(yīng)用（1）求夾角：設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝a·b｜（2）求長度（距離）：利用公式｜a｜2＝a·a，可將線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題；（3）解決垂直問題：利用a⊥b?a·b＝0（a≠0，b≠0），可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.練3（1）（2025·益陽模擬）在正三棱錐P-ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則PO·PA＝（D）A.59 B.C.423 D（2）（人B選一P29習(xí)題B12題改編）已知A（－1，2，1），B（－1，5，4），C（1，3，4），則AC在AB上的投影向量為（A）A.（0，2，2） B.（2，0，2）C.（2，2，0） D.（0，0，2）（3）（2025·南京六校第一次聯(lián)考）已知：a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，其中a，b，c，x，y，z均為實(shí)數(shù).則ax＋by＋cz的取值范圍為[－1，1].解析：（1）∵P-ABC為正三棱錐，O為△ABC的中心，∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥AO，∴PO·OA＝0，｜AO｜＝23·｜AB｜·sin60°＝233，故PO·PA＝PO·（PO＋OA）＝｜PO｜2＝｜AP｜2－｜AO｜2＝4－4（2）因?yàn)锳C＝（2，1，3），AB＝（0，3，3），所以AC·AB＝0＋1×3＋3×3＝12.因?yàn)椋麬B｜＝32，｜AC｜＝14，所以cos＜AC，AB＞＝AC·AB｜AC||AB｜＝1214×32＝277，所以AC在AB上的投影向量為｜AC｜c(diǎn)os＜AC，AB＞·AB｜AB（3）構(gòu)造向量α＝（a，b，c），β＝（x，y，z），則由題設(shè)知｜α｜2＝1，｜β｜2＝1.令α，β的夾角為θ，則θ∈[0，π]，∴cosθ＝α·β｜α｜·｜β｜＝α·β＝ax＋by＋cz.∵－1≤cosθ≤1，∴－1一、單項(xiàng)選擇題1.已知a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），c＝（1，4，λ），若（a＋b）∥c，則實(shí)數(shù)λ＝（）A.1 B.2C.3 D.4解析：B由a＝（2，－1，4），b＝（－1，5，－2），得a＋b＝（1，4，2），又c＝（1，4，λ），且（a＋b）∥c，則11＝44＝λ2，所以λ＝2.2.（2025·濰坊開學(xué)考試）如圖所示，在四面體A-BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記AB＝a，AC＝b，AD＝c，則BE＝（）A.－a＋12b＋1B.a－12b＋1C.12a－b＋1D.－12a＋b＋1解析：A連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，AC＝b，AD＝c，∴AE＝12（AC＋AD）＝12（b＋c）.在△ABE中，BE＝BA＋AE＝－AB＋AE，又AB＝a，∴BE＝－a＋12（b＋c）＝－a＋12b＋12c3.已知向量a＝（2，1，3），｜a＋b｜＝｜3a－b｜，則a·b＝（）A.492 B.C.14 D.35解析：B因?yàn)椋黙＋b｜＝｜3a－b｜，所以｜a＋b｜2＝｜3a－b｜2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，則a·b＝a2，因?yàn)閍＝（2，1，3），所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14.故選B.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P-ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若DE＝xAB＋yAC＋zAP，則x＋y＋z＝（）A.1 B.2C.13 D.解析：A∵EC＝2PE，∴PE＝13PC，∴DE＝AE－AD＝AP＋PE－AD＝AP＋13PC－AD＝AP＋13（AC－AP）－AD＝23AP＋13AC－AD＝23AP＋13AC－BC＝23AP＋13AC－（AC－AB）＝23AP－23AC＋AB，∴x＝5.（2025·大連模擬）若點(diǎn)A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），則｜AB｜的取值范圍是（）A.[0，5] B.[1，5]C.（1，5） D.[1，25]解析：B因?yàn)锳B＝（2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0），所以｜AB｜2＝（2cosθ－3cosα）2＋（2sinθ－3sinα）2＝4＋9－12（cosθcosα＋sinθsinα）＝13－12cos（θ－α）.因?yàn)椋?≤cos（θ－α）≤1，所以1≤｜AB｜2≤25，即1≤｜AB｜≤5.6.如圖，在一個120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且均與棱AB垂直，若AB＝2，AC＝1，BD＝2，則CD的長為（）A.2 B.3C.23 D.4解析：B∵CD＝CA＋AB＋BD，∴CD2＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·AB＋2A·BD＋2AB·BD，∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴CA·AB＝0，BD·AB＝0，CA·BD＝｜CA｜｜BD｜c(diǎn)os（180°－120°）＝12×1×2＝1.∴CD2＝1＋2＋4＋2×1＝7.已知點(diǎn)P為棱長等于1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)部一動點(diǎn)，且｜PA｜＝1，則PC1·PD1的值達(dá)到最小時，PC1A.－1 B.0C.12 D.解析：B取線段C1D1的中點(diǎn)E，則PC1＝PE＋EC1，PD1＝PE＋ED1＝PE－EC1，因?yàn)椋黀A｜＝1，所以點(diǎn)P在以A為球心的正方體內(nèi)部的球面上，所以PC1·PD1＝（PE＋EC1）·（PE－EC1）＝PE2－EC12＝｜PE｜2－14，當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時，PC1·PD1取最小值，此時｜PE｜min＝｜AE｜－1＝12＋12＋（1二、多項(xiàng)選擇題8.下列說法中正確的是（）A.｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜是a，b共線的充要條件B.若AB，CD共線，則AB∥CDC.A，B，C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，則P，D.若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共線），則λ＋μ＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件解析：CD由｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，可知向量a，b的方向相反，此時向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時，不能得到｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜，所以A不正確；若AB，CD共線，則AB∥CD或A，B，C，D四點(diǎn)共線，所以B不正確；由A，B，C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)O，若OP＝34OA＋18OB＋18OC，因?yàn)?4＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四點(diǎn)共面，所以C正確；若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有PA＝λPB＋μPC（PB，PC不共線），當(dāng)λ＋μ＝1時，即μ＝1－λ，可得PA－PC＝λ（PB－PC），即CA＝λCB，所以A，B，C三點(diǎn)共線，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，9.（2025·邢臺模擬）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)AB＝a，AC＝b，AA1＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，則下列說法中正確的是（A.MN＝13a＋13b＋B.｜MN｜＝5C.A1BD.cos＜AB1，B解析：BD因?yàn)锽M＝2A1M，C1N＝2B1N，所以A1M＝13A1B＝13（AB－AA1），A1N＝A1B1＋B1N＝AB＋13B1C1＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC，所以MN＝A1N－A1M＝23AB＋13AC－13（AB－AA1）＝13AB＋13AC＋13AA1＝13a＋13b＋13c，故A錯誤；因?yàn)椋黙｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a·b＝0，a·c＝b·c＝12，所以MN2＝19（a＋b＋c）2＝19（a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c）＝19（3＋2）＝59，所以｜MN｜＝53，故B正確；因?yàn)锳1B＝AB－AA1＝a－c，A1C1＝b，所以A1B·A1C1＝（a－c）·b＝a·b－b·c＝0－1×1×12＝－12≠0，故C錯誤；因?yàn)锳B1＝AB＋AA1＝a＋c，BC1＝BC＋BB1＝AC－AB＋AA1＝b＋c－a，所以AB1·BC1＝（a＋c）·（b＋c－a）＝a·b＋b·c－a2＋c2＝12，因?yàn)锳B12＝（三、填空題10.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），若a，b，c共面，則λ＝－9.解析：由題意知c＝xa＋yb，即（7，6，λ）＝x（2，1，－3）＋y（－1，2，3），∴2x－y=7，11.已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，VP＝13VC，VM＝23VB，VN＝23VD.則VA與平面解析：如圖，設(shè)VA＝a，VB＝b，VC＝c，則VD＝a＋c－b，由題意知PM＝23b－13c，PN＝23VD－13VC＝23a－23b＋13c.因此VA＝32PM＋32PN，∴VA，PM，PN共面.12.（2025·金華模擬）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，且滿足DE＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，則｜DE｜的最小值是3解析：因?yàn)镈E＝xDA＋yDC＋（1－x－y）DD1，由空間向量的共面定理可知，E，A，C，D1四點(diǎn)共面，即點(diǎn)E在平面ACD1上，所以｜DE｜的最小值即為點(diǎn)D到平面ACD1的距離d，由正方體的棱長為1，可得△ACD1是邊長為2的等邊三角形，則S△ACD1＝12×（2）2×sinπ3＝32，S△ACD＝12×1×1＝12，由等體積法得V三棱錐D-ACD1＝V三棱錐D1-ACD，所以13四、解答題13.已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），設(shè)a＝AB，b＝AC.（1）若｜c(diǎn)｜＝3，且c∥BC，求c；（2）求a與b夾角的余弦值；（3）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.解：（1）∵c∥BC，∴設(shè)c＝mBC＝m（－2，－1，2）＝（－2m，－m，2m）.∴｜c(diǎn)｜＝(?2m）2＋(?m）∴m＝±1.∴c＝（－2，－1，2）或c＝（2，1，－2）.（2）∵a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），∴a·b＝（1，1，0）·（－1，0，2）＝－1，又｜a｜＝12＋1｜b｜＝(?1）2∴cos＜a，b＞＝a·b｜a||∴a與b夾角的余弦值為－1010（3）∵ka＋b＝（k－1，k，2），ka－2b＝（k＋2，k，－4），ka＋b與ka－2b互相垂直，∴（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52即當(dāng)ka＋b與ka－2b互相垂直時，k＝2或k＝－5214.如圖，正四面體ABCD的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中其所在棱的中點(diǎn)，設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，試采用向量法解決下列問題：（1）求EF的模長；（2）求EF與GH的夾角.解：（1）因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中其所在棱的中點(diǎn)，AB＝a，AC＝b，AD＝c，所以BE＝12BC＝12（AC－AB）＝12（AF＝12AD＝1所以EF＝EB＋BA＋AF＝－12（b－a）－a＋12c＝12（c－a所以｜EF｜2＝14（c－a－b）2＝14（c2＋a2＋b2－2a·c＋2a·b－2b·c）＝14×（1＋1＋1－2×1×1×cos60°＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos