第6節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布【課標(biāo)要求】（1）通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（2）通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（3）通過(guò)誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；通過(guò)具體實(shí)例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.知識(shí)點(diǎn)一伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn).2.二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p（0＜p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p）.3.二項(xiàng)分布的均值、方差若X～B（n，p），則E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.角度1n重伯努利試驗(yàn)及其概率（1）下列事件是n重伯努利試驗(yàn)的是（D）A.運(yùn)動(dòng)員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員各射擊一次，“甲、乙都射中目標(biāo)”與“甲、乙都沒(méi)射中目標(biāo)”D.在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標(biāo)（2）在4重伯努利試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為13解析：（1）選項(xiàng)A、C為互斥事件，不符合n重伯努利試驗(yàn)的定義，選項(xiàng)B雖然是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，但是“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”的概率不一定相同，因此不是n重伯努利試驗(yàn)，選項(xiàng)D中，甲射擊10次，每次擊中與否是相互獨(dú)立的，且在相同條件下，符合n重伯努利試驗(yàn).（2）設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，由題意得1－C40p0（1－p）4＝6581，所以1－p＝23，規(guī)律方法n重伯努利試驗(yàn)的判斷及相應(yīng)概率的求解策略（1）符合n重伯努利試驗(yàn)必須滿(mǎn)足的兩個(gè)特征：①每次試驗(yàn)的條件完全相同，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立；（2）在求n重伯努利試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n，p和k的值，再準(zhǔn)確利用公式P（X＝k）＝Cnkpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n角度2二項(xiàng)分布（人B選二P74情景與問(wèn)題改編）已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器有三臺(tái)設(shè)備，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.如果三臺(tái)設(shè)備各自能正常工作的概率都為0.8，它們之間互相不影響.設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為X.（1）求X的分布列；（2）求E（X）和D（X）；（3）求計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)斷掉的概率.解：（1）由題意得X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.8），P（X＝0）＝C30×0.80×（1－0.8）3＝0.P（X＝1）＝C31×0.81×（1－0.8）2＝0.P（X＝2）＝C32×0.82×（1－0.8）1＝0.P（X＝3）＝C33×0.83×（1－0.8）0＝0.所以X的分布列如下.X0123P0.0080.0960.3840.512（2）因?yàn)閄～B（3，0.8），所以E（X）＝3×0.8＝2.4，D（X）＝3×0.8×（1－0.8）＝0.48.（3）要使得計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)斷掉，也就是要求能正常工作的設(shè)備至少有一臺(tái)，即X≥1，因此所求概率為P（X≥1）＝1－P（X＜1）＝1－P（X＝0）＝1－0.008＝0.992.規(guī)律方法二項(xiàng)分布問(wèn)題的解題關(guān)鍵（1）定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同；②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.（2）定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率.練1某種專(zhuān)業(yè)技能資格考核分A，B，C三個(gè)項(xiàng)目考核，三個(gè)項(xiàng)目考核全部通過(guò)即可獲得資格證書(shū)，無(wú)需費(fèi)用，否則需要對(duì)未通過(guò)的項(xiàng)目進(jìn)行較長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)培訓(xùn)后才能獲得資格證書(shū)，且每個(gè)項(xiàng)目的培訓(xùn)費(fèi)用為1000元.已知每個(gè)參加考核的人通過(guò)A，B，C三個(gè)項(xiàng)目考核的概率分別為34，23，12，且每個(gè)項(xiàng)目考核是否通過(guò)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙（1）求甲獲得資格證書(shū)所花費(fèi)用不超過(guò)1000元的概率；（2）記甲、乙、丙中不需要培訓(xùn)就獲得資格證書(shū)的人數(shù)為X，求X的分布列與期望.解：（1）甲三個(gè)項(xiàng)目全部通過(guò)，所花費(fèi)用為0元，概率P1＝34×23×12甲三個(gè)項(xiàng)目有一個(gè)沒(méi)有通過(guò)，需要參加一次學(xué)習(xí)培訓(xùn)，所花費(fèi)用為1000元，概率P2＝14×23×12＋34×13×12＋34所以甲獲得資格證書(shū)所花費(fèi)用不超過(guò)1000元的概率為P1＋P2＝1724（2）由（1）知，不需要培訓(xùn)就獲得資格證書(shū)的概率為14X的可能取值為0，1，2，3，顯然X～B（3，14），P（X＝0）＝（34）3＝27P（X＝1）＝C31×14×（34）P（X＝2）＝C32×（14）2×3P（X＝3）＝（14）3＝1所以X的分布列為：X0123P272791期望E（X）＝3×14＝3知識(shí)點(diǎn)二超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）＝CMkCN－Mn－kCNn，k＝其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.提醒超幾何分布中的隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).主要特征為：（1）考察對(duì)象分兩類(lèi)；（2）已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù)；（3）從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.結(jié)論對(duì)于超幾何分布X～H（n，M，N），則E（X）＝nMN（2024·安康模擬）某農(nóng)場(chǎng)收獲的蘋(píng)果按A，B，C三個(gè)等級(jí)進(jìn)行裝箱，已知蘋(píng)果的箱數(shù)非常多，且A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋(píng)果的箱數(shù)之比為6∶3∶1.（1）現(xiàn)從這批蘋(píng)果中隨機(jī)選出3箱，若選到任何一箱蘋(píng)果是等可能的，求至少選到2箱A級(jí)蘋(píng)果的概率；（2）若用分層隨機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋(píng)果中選取10箱蘋(píng)果，假設(shè)某游客要從這10箱蘋(píng)果中隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)3箱，記購(gòu)買(mǎi)的A級(jí)蘋(píng)果有X箱，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)事件M＝“至少選到2箱A級(jí)蘋(píng)果”，由題意知選到1箱A級(jí)蘋(píng)果的概率為610＝35，選到1箱非A級(jí)蘋(píng)果的概率為3+110所以P（M）＝C32（35）2×（25）1＋C33（故至少選到2箱A級(jí)蘋(píng)果的概率為81125（2）法一因?yàn)橛梅謱与S機(jī)抽樣的方法從該農(nóng)場(chǎng)收獲的A，B，C三個(gè)等級(jí)蘋(píng)果中選取10箱蘋(píng)果，所以A級(jí)蘋(píng)果有6箱，B，C級(jí)蘋(píng)果共有4箱，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，則P（X＝0）＝C60C43P（X＝1）＝C61C42P（X＝2）＝C62C41P（X＝3）＝C63C40所以X的分布列為X0123P1311E（X）＝0×130＋1×310＋2×12＋3×1法二由題意X服從參數(shù)N＝10，M＝6，n＝3的超幾何分布，所以E（X）＝nMN＝3×6規(guī)律方法求超幾何分布的分布列的步驟練2為營(yíng)造濃厚的全國(guó)文明城市創(chuàng)建氛圍，積極響應(yīng)創(chuàng)建全國(guó)文明城市號(hào)召，提高對(duì)創(chuàng)城行動(dòng)的責(zé)任感和參與度，學(xué)校號(hào)召師生利用周末參與創(chuàng)城志愿活動(dòng).高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng).（1）求在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生參加活動(dòng)的概率；（2）記參加活動(dòng)的女生人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X），方差D（X）.解：（1）設(shè)“有女生參加活動(dòng)”為事件A，“恰有一名女生參加活動(dòng)”為事件B.則P（AB）＝C41C21C62＝815所以P（B｜A）＝P（AB）P（（2）依題意知X服從超幾何分布，且P（X＝k）＝C2kC42－kC6P（X＝0）＝C42C62＝25，P（X＝1）＝C41·C21C所以X的分布列為X012P281E（X）＝0×25＋1×815＋2×115＝23，D（X）＝25×（0－23）2＋815×（1－23）2＋115×知識(shí)點(diǎn)三正態(tài)分布1.定義：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－μ）22σ2.2.正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)（1）曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x＝μ對(duì)稱(chēng)；（3）曲線(xiàn)在x＝μ處達(dá)到峰值1σ2（4）曲線(xiàn)與x軸之間的面積為1；（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線(xiàn)的位置由μ確定，曲線(xiàn)隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由σ確定，σ越小，曲線(xiàn)越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線(xiàn)越“矮胖”，表示總體的分布越分散.3.正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)（1）P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827；（2）P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545；（3）P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.（1）〔多選〕（2024·新高考Ⅰ卷9題）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x＝2.1，樣本方差s2＝0.01.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（x，s2），則（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Z＜μ＋σ）≈0.8413）（BC）A.P（X＞2）＞0.2 B.P（X＞2）＜0.5C.P（Y＞2）＞0.5 D.P（Y＞2）＜0.8（2）（2025·石家莊一模）某市教育局為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，組織了一次摸底考試，共有50000名考生參加這次考試，數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布，其正態(tài)密度函數(shù)為f（x）＝1σ2πe－（x－90）22σ2，x∈R且P（70≤X≤110解析：（1）法一依題可知，x＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N（2.1，0.12），故P（Y＞2）＝P（Y＞2.1－0.1）＝P（Y＜2.1＋0.1）≈0.8413＞0.5，C正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)閄～N（1.8，0.12），所以P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1），因?yàn)镻（X＜1.8＋0.1）≈0.8413，所以P（X＞1.8＋0.1）≈1－0.8413＝0.1587＜0.2，而P（X＞2）＝P（X＞1.8＋2×0.1）＜P（X＞1.8＋0.1）＜0.2，B正確，A錯(cuò)誤，故選B、C.法二由P（Z＜μ＋σ）≈0.8413，得P（μ－σ＜Z＜μ＋σ）≈0.6826，又Y～N（2.1，0.12），X～N（1.8，0.12），則P（X＞2）＝1－P（μ－2σ＜Z＜μ+2σ）2≈1－0.95442＝0.0228＜0.5，P（Y＞2）＝0.5＋P（μ－σ＜Z＜μ（2）由題易知均值μ＝90，由正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知P（X＞110）＝0.5－12P（70≤X≤110）＝0.5－0.4＝0.1，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)110分的考生人數(shù)約為0.1×50000＝5000規(guī)律方法解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）對(duì)稱(chēng)軸x＝μ；（2）標(biāo)準(zhǔn)差σ；（3）分布區(qū)間.利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.練3（1）〔多選〕（2024·南京模擬）已知三個(gè)密度函數(shù)fi（x）＝1σi2πe－（x－μi）22σi2（x∈RA.μ1＝μ2＞μ3B.σ1＝σ2＜σ3C.若X～N（1，σ12），P（X＜2）＝0.7，則P（0＜X＜2）＝0D.若X～N（μ2，σ22），Y～N（μ3，σ32），則存在實(shí)數(shù)x0，使得P（X＜x0）＝P（Y（2）（2024·南通三模）已知隨機(jī)變量X～N（4，42）.若P（X＜3）＝0.3，則P（3＜X＜5）＝0.4，若Y＝2X＋1，則Y的方差為64.解析：（1）根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)關(guān)于x＝μ對(duì)稱(chēng)，且μ越大曲線(xiàn)越靠近右邊，則μ1＜μ2＝μ3，故A錯(cuò)誤；又σ越小數(shù)據(jù)越集中，曲線(xiàn)越瘦高，則σ1＝σ2＜σ3，故B正確；X～N（1，σ12），P（X＜2）＝0.7，則P（X＞2）＝1－0.7＝0.3?P（1＜X＜2）＝0.5－0.3＝0.2，所以P（0＜X＜2）＝2×0.2＝0.4，C正確；若X～N（μ2，σ22），Y～N（μ3，σ32），μ2＝μ3，則存在實(shí)數(shù)x0＝μ2＝μ3，使P（X＜x0）＝P（Y＜x0），D正確.故選（2）由題意可知μ＝4，σ＝4，即D（X）＝16，所以D（Y）＝4D（X）＝64；因?yàn)?＋5＝2μ，且P（X＜3）＝0.3，所以P（3＜X＜5）＝1－2P（X＜3）＝0.4.提能點(diǎn)二項(xiàng)分布與超幾何分布的辨析在一個(gè)不透明的密閉紙箱中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的小球，其中8個(gè)白球，2個(gè)黑球.小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球觀察其顏色，連續(xù)摸4次，記隨機(jī)變量X為小張摸出白球的個(gè)數(shù).（1）若小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后放回紙箱，求E（X）和D（X）；（2）若小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后不放回紙箱，求X的分布列和E（X）.解：（1）由小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球觀察其顏色，連續(xù)摸4次，且每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后放回紙箱，所以X～B（4，0.8），所以E（X）＝4×0.8＝3.2，D（X）＝4×0.8×（1－0.8）＝0.64.（2）由小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球觀察其顏色，連續(xù)摸4次，且每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后不放回紙箱，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則P（X＝k）＝C8kC24－kC10可得P（X＝2）＝C82CP（X＝3）＝C83CP（X＝4）＝C84C所以X的分布列為X234P281E（X）＝2×215＋3×815＋4×13＝165＝規(guī)律方法辨別是超幾何分布還是二項(xiàng)分布，有兩點(diǎn)，其一是看總體數(shù)大小，其二是有無(wú)放回.當(dāng)總體數(shù)目較大或者沒(méi)有給出時(shí)，或者是無(wú)放回抽取時(shí)，屬于二項(xiàng)分布，反之，為超幾何分布.練4為慶祝建軍節(jié)的到來(lái)，某校舉行“強(qiáng)國(guó)強(qiáng)軍”知識(shí)競(jìng)賽.該校某班經(jīng)過(guò)層層篩選，還有最后一個(gè)參賽名額要在A，B兩名學(xué)生中產(chǎn)生，班委設(shè)計(jì)了一個(gè)選拔方案：A，B兩名學(xué)生各自從6個(gè)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題作答.已知這6個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生A能正確回答其中的4個(gè)問(wèn)題，而學(xué)生B能正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率均為23.A，B兩名學(xué)生對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確與否都是相互獨(dú)立的（1）分別求A，B兩名學(xué)生恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率；（2）設(shè)A答對(duì)的題數(shù)為X，B答對(duì)的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會(huì)選擇哪名學(xué)生？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意，知A恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率為P1＝C42CB恰好答對(duì)2個(gè)問(wèn)題的概率為P2＝C32（23）2（13）（2）X的可能取值為1，2，3，則P（X＝1）＝C41CP（X＝2）＝C42CP（X＝3）＝C43C所以E（X）＝1×15＋2×35＋3×15D（X）＝（1－2）2×15＋（2－2）2×35＋（3－2）2×15易知Y～B（3，23），所以E（Y）＝3×23＝D（Y）＝3×23×13＝因?yàn)镋（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），所以A與B答題的平均水平相當(dāng)，但A比B更穩(wěn)定，所以選擇學(xué)生A.一、單項(xiàng)選擇題1.若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率為（）A.0.1×0.93 B.C41×0.13×0C.0.13×0.93 D.C41×0.1×0.解析：D在他連續(xù)4次射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率為C41×0.1×0.93.故選2.已知隨機(jī)變量ξ～B（12，p），且E（2ξ－3）＝5，則D（3ξ）＝（）A.83 B.C.12 D.24解析：D因?yàn)镋（2ξ－3）＝2E（ξ）－3＝2×12p－3＝5，所以p＝13，故D（3ξ）＝32D（ξ）＝9×12×13×（1－13）3.若隨機(jī)變量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2）＝p，則P（Y＞4）＝（）A.0.2 B.0.3C.0.7 D.0.8解析：A由題意，P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）3＝0.657，解得p＝0.3，則P（0＜Y＜2）＝0.3，所以P（Y＞4）＝P（Y＜0）＝0.5－P（0＜Y＜2）＝0.2.4.（2025·江門(mén)一模）一箱蘋(píng)果共有12個(gè)，其中有n（2＜n＜7）個(gè)是爛果，從這箱蘋(píng)果中隨機(jī)抽取3個(gè)，恰有2個(gè)爛果的概率為3n55，則n＝（A.3 B.4C.5 D.6解析：B依題意可得Cn2C12－n1C123＝3n55，即n（n－1)(12－n）212×11×106＝3n55，整理得n25.某校高一有學(xué)生980人，在一次模擬考試中這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（100，σ2），已知P（90＜X≤100）＝0.1，則該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)大約為（）A.784 B.490C.392 D.294解析：C因?yàn)閄～N（100，σ2），且P（90＜X≤100）＝0.1，所以P（100＜X≤110）＝P（90＜X≤100）＝0.1，所以P（X＞110）＝0.5－P（100＜X≤110）＝0.5－0.1＝0.4，又因?yàn)楦咭挥袑W(xué)生980人，所以該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)大約為980×0.4＝392.故選C.6.袋中有10個(gè)大小相同的球，其中6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量X為其中白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量Y為其中黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分，則P（｜Z－6｜≤1）＝（）A.93105 B.C.96105 D.解析：B由題意可知X，Y均服從超幾何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，由｜Z－6｜≤1，得5≤Z≤7，所以Z＝5，Z＝6，Z＝7，因?yàn)镻（Z＝5）＝P（X＝1，Y＝3）＝C41C63C104＝821，P（Z＝6）＝P（X＝2，Y＝2）＝C42C62C104＝37，P（Z＝7）＝P（X＝3，Y＝1）＝C43C61C104＝435，所以P（｜Z－6｜≤1）＝P（7.小華與另外4名同學(xué)進(jìn)行“手心手背”游戲，規(guī)則是：5人同時(shí)隨機(jī)選擇手心或手背其中一種手勢(shì)，規(guī)定相同手勢(shì)人數(shù)更多者每人得1分，其余每人得0分.現(xiàn)5人共進(jìn)行了3次游戲，記小華3次游戲得分之和為X，則E（X）＝（）A.1516 B.C.158 D.解析：B設(shè)0表示手背，1表示手心，用5位的二進(jìn)制數(shù)表示所有可能的結(jié)果，其中第一位表示小華所出的手勢(shì)，后四位表示其余四人的手勢(shì)，如表所示，0000000001000100001100100001010011000111010000100101010010110110001101011100111110000100011001010011101001010110110101111100011001110101101111100111011111011111由古典概型計(jì)算公式可知，每次比賽小華得分的概率P＝2232＝1116，X可能的取值為0，1，2，3，且X服從二項(xiàng)分布，P（X＝0）＝C30×（516）3×（1116）0，P（X＝1）＝C31×（516）2×（1116）1，P（X＝2）＝C32×（516）1×（1116）2，P（X＝3）＝C33×（516）0×（1116）3，則均值E（X）＝C31×（516）2×（1116）1＋2×C32×（516）1二、多項(xiàng)選擇題8.（2025·寧德質(zhì)檢）某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶.根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量（單位：克）分別為X，Y，且X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），其密度曲線(xiàn)如圖所示，A.Y的數(shù)據(jù)較X更集中B.P（X≤c）＜P（Y≤c）C.甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過(guò)μ2的概率大于1D.P（X＞c）＋P（Y≤c）＝1解析：ABC對(duì)于A，Y的密度曲線(xiàn)更瘦高，即數(shù)據(jù)更集中，正確；對(duì)于B，∵c，μ2與Y的密度曲線(xiàn)圍成的面積S1大于c，μ1與X的密度曲線(xiàn)圍成的面積S2，P（Y≤c）＝12＋S1，P（X≤c）＝12＋S2，∴P（X≤c）＜P（Y≤c），正確；對(duì)于C，∵μ2＜μ1，∴甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過(guò)μ2的概率P＝P（X＞μ2）＞12，正確；對(duì)于D，由B知，P（X＞c）＝12－S2，P（Y≤c）＝12＋S1，∴P（X＞c）＋P（Y≤c）＝1＋S1－S29.（2025·武漢調(diào)研）已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），其中n∈N*，0＜p＜1.記X為奇數(shù)的概率為a，X為偶數(shù)的概率為b，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.a＋b＝1B.當(dāng)p＝12時(shí)，a＝C.當(dāng)0＜p＜12時(shí)，a隨著nD.當(dāng)12＜p＜1時(shí)，a隨著n解析：ABC對(duì)于A，由概率的基本性質(zhì)可知a＋b＝1，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)p＝12時(shí)，離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，12），則P（X＝k）＝Cnk（12）k（1－12）n－k（k＝0，1，2，3，…，n），所以a＝（12）n（Cn1＋Cn3＋Cn5＋…）＝（12）n×2n－1＝12，b＝（12）n（Cn0＋Cn2＋Cn4＋…）＝（12）n×2n－1＝12，所以a＝b，故B正確；對(duì)于C，D，a＝Cn1p1（1－p）n－1＋Cn3p3（1－p）n－3＋…＝[(1－p）＋p]n?[(1－p)?p]n2＝三、填空題10.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是12.則質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)（2，3）的概率是516解析：由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，移?dòng)五次后位于點(diǎn)（2，3），所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為C53（12）3（12）2＝C53（11.低碳行動(dòng)引領(lǐng)時(shí)尚生活，新能源汽車(chē)成為人們代步車(chē)的首選.某工廠(chǎng)生產(chǎn)的新能源汽車(chē)某一部件的質(zhì)量指標(biāo)ξ服從正態(tài)分布N（80，σ2）（σ＞0），檢驗(yàn)員根據(jù)該部件的質(zhì)量指標(biāo)將產(chǎn)品分為正品和次品，其中指標(biāo)ξ∈（79.94，80.06）的部件為正品，其他為次品，要使次品率不高于0.27%，則σ的一個(gè)值可以為0.01（答案不唯一，小于等于0.02即可）.（參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.9973）解析：依題意可得μ＝80，要使次品率不高于0.27%，則正品率不低于99.73%，又根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的特征知，｜ξ－80｜＜3σ，所以ξ∈（80－3σ，80＋3σ）?（79.94，80.06），所以80－3σ≥79.94，80+3σ≤80.06，解得12.為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷(xiāo)售，否則不能銷(xiāo)售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為16，第二輪檢測(cè)不合格的概率為110，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響.若產(chǎn)品可以銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷(xiāo)售，則每件產(chǎn)品虧損80元.已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則P（X≥－80）＝243解析：由題意得該產(chǎn)品能銷(xiāo)售的概率為（1－16）×（1－110）＝34，易知X的所有可能取值為－320，－200，－80，40，160，設(shè)ξ表示一箱產(chǎn)品中可以銷(xiāo)售的件數(shù)，則ξ～B（4，34），所以P（ξ＝k）＝C4k（34）k（14）4－k，所以P（X＝－80）＝P（ξ＝2）＝C42（34）2（14）2＝27128，P（X＝40）＝P（ξ＝3）＝C43（34）3（14）1＝2764，P（X＝160）＝P（ξ＝4）＝C44（34）4（14）0＝81256，故P（X四、解答題13.已知某客運(yùn)輪渡最大載客質(zhì)量為4000kg，且乘客的體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N（60，100）.（1）記X為任意兩名乘客中體重超過(guò)70kg的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望（所有結(jié)果均精確到0.001）；（2）設(shè)隨機(jī)變量Xi（i＝1，2，…，n）相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（μ，σ2），記ξ＝∑i=1nXi－nμnσ，則當(dāng)n≥20時(shí)，可認(rèn)為ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，附：若隨機(jī)變量η服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ＜η＜μ＋σ）＝0.6826；若ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則P（ξ＜2）＝0.977；0.15872≈0.0252，0.84132≈0.7078，0.1587×0.8413≈0.1335.解：（1）由乘客的體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N（60，100）可得μ＝60，σ＝10，則可得P（X＞70）＝P（X＞μ＋σ）＝1－P（μ－σ＜X＜即任意一名乘客體重大于70kg的概率為0.1587，則X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝（1－0.1587）2≈0.708，P（X＝1）＝C21（1－0.1587）×0.1587≈0.P（X＝2）＝0.15872≈0.025.所以X的分布列為X012P0.7080.2670.025期望值為E（X）≈0×0.708＋1×0.267＋2×0.025＝0.317.（2）設(shè)Xi為第i（i＝1，2，…，n）位乘客的體重，則Xi～N（μ，σ2），其中μ＝60，σ＝10，所以P（∑i=1nXi≤4000）＝P（ξ≤4000－由P（ξ＜2）＝0.977可得4000－即3n＋n－200≤0，可得（3n＋25）（n－8）≤0，即n≤8，n≤64.故最多可運(yùn)載64名乘客.14.某地為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項(xiàng)活動(dòng)中的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）“單板滑雪”參與人數(shù)超過(guò)45的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)?！?，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)選出3所，記X為選出可作“基地學(xué)?！钡膶W(xué)校個(gè)數(shù)，求X的分布列和均值；（2）現(xiàn)在有一個(gè)“單板滑雪”集訓(xùn)營(yíng)，對(duì)“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個(gè)動(dòng)作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測(cè)試.規(guī)定：在一輪