第6節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布高中總復習·數(shù)學課標要求（1）通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題；（2）通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題；（3）通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.目錄CONTENTS知識點一伯努利試驗與二項分布01.知識點二超幾何分布02.知識點三正態(tài)分布03.課時跟蹤檢測04.PART01知識點一伯努利試驗與二項分布1.

伯努利試驗只包含

可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立

地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為

?.2.

二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p（0＜

p＜1），用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X＝k）

＝

，k＝0，1，2，…，n.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分

布，記作

?.3.

二項分布的均值、方差若X～B（n，p），則E（X）＝

，D（X）＝

?.兩個

n重伯努利試驗

X～B（n，p）

np

np（1－p）

角度1

n重伯努利試驗及其概率

（1）下列事件是n重伯努利試驗的是（

D

）A.

運動員甲射擊一次，“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”B.

甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”C.

甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射

中目標”D.

在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標D解析：

選項A、C為互斥事件，不符合n重伯努利試驗的定義，選項B

雖然是相互獨立的兩個事件，但是“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”的概

率不一定相同，因此不是n重伯努利試驗，選項D中，甲射擊10次，每次

擊中與否是相互獨立的，且在相同條件下，符合n重伯努利試驗.

規(guī)律方法n重伯努利試驗的判斷及相應概率的求解策略（1）符合n重伯努利試驗必須滿足的兩個特征：①每次試驗的條件完全相

同，有關(guān)事件的概率保持不變；②各次試驗的結(jié)果互不影響，即各次試驗

相互獨立；

角度2

二項分布

（人B選二P74情景與問題改編）已知某計算機網(wǎng)絡的服務器有三臺

設備，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡就不會斷掉.如果三臺設備各

自能正常工作的概率都為0.8，它們之間互相不影響.設能正常工作的設備

數(shù)為X.

（1）求X的分布列；

X0123P0.0080.0960.3840.512（2）求E（X）和D（X）；解：

因為X～B（3，0.8），所以E（X）＝3×0.8＝2.4，D（X）

＝3×0.8×（1－0.8）＝0.48.（3）求計算機網(wǎng)絡不會斷掉的概率.解：

要使得計算機網(wǎng)絡不會斷掉，也就是要求能正常工作的設備至

少有一臺，即X≥1，因此所求概率為P（X≥1）＝1－P（X＜1）＝1－P（X＝0）＝1－

0.008＝0.992.規(guī)律方法二項分布問題的解題關(guān)鍵（1）定型：①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同；②各次試驗中的

事件是相互獨立的；③在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與

不發(fā)生.（2）定參：確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗

中事件發(fā)生的概率.

（2）記甲、乙、丙中不需要培訓就獲得資格證書的人數(shù)為X，求X的分布

列與期望.

X0123P?

?

?

?

所以X的分布列為：PART02知識點二超幾何分布一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機

抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布

列為P（X＝k）＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝

min{n，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量

X服從超幾何分布.

（2024·安康模擬）某農(nóng)場收獲的蘋果按A，B，C三個等級進行裝

箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且A，B，C三個等級蘋果的箱數(shù)之比為

6∶3∶1.（1）現(xiàn)從這批蘋果中隨機選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求

至少選到2箱A級蘋果的概率；

（2）若用分層隨機抽樣的方法從該農(nóng)場收獲的A，B，C三個等級蘋果中

選取10箱蘋果，假設某游客要從這10箱蘋果中隨機購買3箱，記購買的A級

蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學期望.

X0123P?

?

?

?

所以X的分布列為規(guī)律方法求超幾何分布的分布列的步驟練2

為營造濃厚的全國文明城市創(chuàng)建氛圍，積極響應創(chuàng)建全國文明城市號

召，提高對創(chuàng)城行動的責任感和參與度，學校號召師生利用周末參與創(chuàng)城

志愿活動.高二（1）班某小組有男生4人，女生2人，現(xiàn)從中隨機選取2人

作為志愿者參加活動.（1）求在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生參加活動的概率；

（2）記參加活動的女生人數(shù)為X，求X的分布列及期望E（X），方差D

（X）.

X012P?

?

?

PART03知識點三正態(tài)分布

（1）曲線位于x軸

，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線

對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值

?；（4）曲線與x軸之間的面積為

?；（5）當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平

移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示

總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.上方

x＝μ

1

2.

正態(tài)曲線的特點3.

正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)（1）P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682

7；（2）P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954

5；（3）P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997

3.

A.

P（X＞2）＞0.2B.

P（X＞2）＜0.5C.

P（Y＞2）＞0.5D.

P（Y＞2）＜0.8BC

5

000規(guī)律方法解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點（1）對稱軸x＝μ；（2）標準差σ；（3）分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)

化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.

A.

μ1＝μ2＞μ3B.σ1＝σ2＜σ3C.

若X～N（1，

），P（X＜2）＝0.7，則P（0＜X＜2）＝0.4D.

若X～N（μ2，

），Y～N（μ3，

），則存在實數(shù)x0，使得P

（X＜x0）＝P（Y＜x0）BCD

（2）（2024·南通三模）已知隨機變量X～N（4，42）.若P（X＜3）＝

0.3，則P（3＜X＜5）＝

，若Y＝2X＋1，則Y的方差為

?.解析：

由題意可知μ＝4，σ＝4，即D（X）

＝16，所以D（Y）＝4D（X）＝64；因為3＋5＝

2μ，且P（X＜3）＝0.3，所以P（3＜X＜5）＝

1－2P（X＜3）＝0.4.0.464提能點二項分布與超幾何分布的辨析

在一個不透明的密閉紙箱中裝有10個大小、形狀完全相同的小球，

其中8個白球，2個黑球.小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球觀察其顏

色，連續(xù)摸4次，記隨機變量X為小張摸出白球的個數(shù).（1）若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后放回紙箱，求E（X）和D

（X）；解：

由小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球觀察其顏色，連續(xù)摸4

次，且每次從紙箱中隨機摸出一個小球后放回紙箱，所以X～B（4，

0.8），所以E（X）＝4×0.8＝3.2，D（X）＝4×0.8×（1－0.8）＝0.64.（2）若小張每次從紙箱中隨機摸出一個小球后不放回紙箱，求X的分布列

和E（X）.

X234P?

?

?

規(guī)律方法

辨別是超幾何分布還是二項分布，有兩點，其一是看總體數(shù)大小，其

二是有無放回.當總體數(shù)目較大或者沒有給出時，或者是無放回抽取時，

屬于二項分布，反之，為超幾何分布.

（1）分別求A，B兩名學生恰好答對2個問題的概率；

（2）設A答對的題數(shù)為X，B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選

手，你會選擇哪名學生？請說明理由.

PART04課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

若某射手每次射擊擊中目標的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨立，

則在他連續(xù)4次射擊中，恰好有一次未擊中目標的概率為（

）A.0.1×0.93B.

×0.13×0.9C.0.13×0.93D.

×0.1×0.93

12345678910111213141516√2.

已知隨機變量ξ～B（12，p），且E（2ξ－3）＝5，則D（3ξ）＝

（

）A.

B.8C.12D.24

√123456789101112131415163.

若隨機變量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），P（X≥1）＝0.657，

P（0＜Y＜2）＝p，則P（Y＞4）＝（

）A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8解析：

由題意，P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－（1－p）3＝

0.657，解得p＝0.3，則P（0＜Y＜2）＝0.3，所以P（Y＞4）＝P（Y

＜0）＝0.5－P（0＜Y＜2）＝0.2.√12345678910111213141516

A.3B.4C.5D.6

√123456789101112131415165.

某校高一有學生980人，在一次模擬考試中這些學生的數(shù)學成績X服從

正態(tài)分布

N（100，σ2），已知

P（90＜X≤100）＝0.1，則該校高一學生

數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)大約為（

）A.784B.490C.392D.294解析：

因為X～N（100，σ2），且P（90＜X≤100）＝0.1，所以P

（100＜X≤110）＝P（90＜X≤100）＝0.1，所以P（X＞110）＝0.5－

P（100＜X≤110）＝0.5－0.1＝0.4，又因為高一有學生980人，所以該

校高一學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)大約為980×0.4＝392.故選C.

√123456789101112131415166.

袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任取4個

球，記隨機變量X為其中白球的個數(shù)，隨機變量Y為其中黑球的個數(shù)，若

取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得

分，則P（｜Z－6｜≤1）＝（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

小華與另外4名同學進行“手心手背”游戲，規(guī)則是：5人同時隨機選擇

手心或手背其中一種手勢，規(guī)定相同手勢人數(shù)更多者每人得1分，其余每

人得0分.現(xiàn)5人共進行了3次游戲，記小華3次游戲得分之和為X，則E

（X）＝（

）A.

B.

解析：

設0表示手背，1表示手心，用5位的二進制數(shù)表示所有可能的結(jié)

果，其中第一位表示小華所出的手勢，后四位表示其余四人的手勢，如下表所示，√C.

D.

12345678910111213141516000000000100010000110010000101001100011101000010010101001011011000110101110011111000010001100101001110100101011011010111110001100111010110111110011101111101111112345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題

A.

Y的數(shù)據(jù)較X更集中B.

P（X≤c）＜P（Y≤c）C.

甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過μ2的概率大于

D.

P（X＞c）＋P（Y≤c）＝1√√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·武漢調(diào)研）已知離散型隨機變量X服從二項分布B（n，

p），其中n∈N*，0＜p＜1.記X為奇數(shù)的概率為a，X為偶數(shù)的概率為

b，則下列說法中正確的有（

）A.

a＋b＝1B.

當p＝

時，a＝bC.

當0＜p＜

時，a隨著n的增大而增大D.

當

＜p＜1時，a隨著n的增大而減小√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151611.

低碳行動引領(lǐng)時尚生活，新能源汽車成為人們代步車的首選.某工廠生

產(chǎn)的新能源汽車某一部件的質(zhì)量指標ξ服從正態(tài)分布N（80，σ2）（σ＞

0），檢驗員根據(jù)該部件的質(zhì)量指標將產(chǎn)品分為正品和次品，其中指標ξ∈

（79.94，80.06）的部件為正品，其他為次品，要使次品率不高于

0.27%，則σ的一個值可以為

?

?.（參考數(shù)據(jù)：若ξ～N（μ，σ2），則P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954

5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997

3）0.01（答案不唯一，小于等于0.02即

可）12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

已知某客運輪渡最大載客質(zhì)量為4

000

kg，且乘客的體重（單位：kg）

服從正態(tài)分布N（60，100）.（1）記X為任意兩名乘客中體重超過70

kg的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學

期望（所有結(jié)果均精確到0.001）；

12345678910111213141516X012P0.7080.2670.025期望值為E（X）≈0×0.708＋1×0.267＋2×0.025＝0.317.

1234567891