第8節(jié)函數(shù)的圖象【課標要求】（1）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；（2）會畫簡單的函數(shù)圖象；（3）會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.知識點作函數(shù)的圖象1.利用描點法作函數(shù)圖象的步驟2.函數(shù)圖象的變換作出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝2x＋1－1；（2）y＝｜lg（x－1）｜.解：（1）將y＝2x的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖1所示.（2）首先作出y＝lgx的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg（x－1）的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝｜lg（x－1）｜的圖象，如圖2所示（實線部分）.規(guī)律方法作函數(shù)圖象的常用方法（1）直接法：當函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本初等函數(shù)時，可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出；（2）轉化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉化為分段函數(shù)來畫；（3）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.提醒（1）畫函數(shù)的圖象時一定要注意定義域；（2）利用圖象變換法時要注意變換順序.練1作出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝x2－2｜x｜－3；（2）y＝2x解：（1）y＝x2－2｜x｜－3＝x2－2x（2）y＝2x－1x－1＝2＋1x－1，故函數(shù)的圖象可由y＝1x的圖象向右平移1提能點1函數(shù)圖象的識別（1）（2024·全國甲卷理7題）函數(shù)y＝－x2＋（ex－e－x）sinx在區(qū)間[－2.8，2.8]的圖象大致為（）（2）（2023·天津高考4題）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能為（）A.f（x）＝5（ex－e－x）C.f（x）＝5（ex＋e－x）答案：（1）B（2）D解析：（1）由題知函數(shù)y＝f（x）的定義域為R，關于原點對稱，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）sinx＝f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y軸對稱，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－1e）sin1＞－1＋（e－1e）sinπ6＝－1＋e2－12e＞0，（2）由題圖可知函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù).對于A，f（x）＝5（ex－e－x）x2+2，定義域為R，f（－x）＝5（e－x－ex）x2+2＝－f（x），所以函數(shù)f（x）＝5（ex－e－x）x2+2是奇函數(shù)，所以排除A；對于B，f（x）＝5sinxx2+1，定義域為R，f（－x）＝5sin(?x）x2+1＝－5sinxx2+1＝－f（x），所以函數(shù)f（x）＝5sinxx2+1是奇函數(shù)，所以排除B；對于C，f（x）＝5（ex＋e－x）x2+2變式已知函數(shù)f（x）＝ex＋e－x，記f'（x）為f（x）的導函數(shù)，已知函數(shù)F（x）的大致圖象如圖所示，則函數(shù)F（x）的解析式可能為（）A.F（x）＝f（x）f'(x） C.F（x）＝f（x）·f'（x） D.F（x）＝f（x）＋f'（x）解析：B求導得f'（x）＝ex－e－x，則f（x）f'(x）＝ex＋e－xex－e－x，此時函數(shù)在x＝0處無意義，A錯誤；f（x）·f'（x）＝（ex＋e－x）（ex－e－x）＝e2x－1e2x，此時當x趨近于正無窮時，函數(shù)趨近于正無窮規(guī)律方法函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（5）從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復；（6）從函數(shù)的特殊點，排除不合要求的圖象.練2（1）（2025·濮陽模擬）函數(shù)f（x）＝6x－6－x｜解析：（1）由題意知函數(shù)f（x）的定義域為{x｜x≠±12}，因為f（－x）＝6－x－6x｜4x2－1｜＝－f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，故排除A；因為f（1）＝3518＞0，故排除B；因為（2）函數(shù)f（x）＝ax＋b（x＋c）2A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0解析：（2）函數(shù)在點P處無意義，由題圖可知，點P在y軸右邊，所以－c＞0，則c＜0；f（0）＝bc2＞0，則b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，則x＝－ba，根據(jù)題圖得，－ba＞0，則a＜0.綜上，a＜0，b＞0，c＜0提能點2函數(shù)圖象的應用角度1研究函數(shù)的性質(zhì)〔多選〕（2025·鹽城模擬）對任意兩個實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b，若f（x）＝2－x2，g（x）＝x2，下列關于函數(shù)F（x）＝min{f（A.函數(shù)F（x）是偶函數(shù)B.方程F（x）＝0有三個解C.函數(shù)F（x）在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增D.函數(shù)F（x）有4個單調(diào)區(qū)間解析：ABD根據(jù)函數(shù)f（x）＝2－x2與g（x）＝x2，畫出函數(shù)F（x）＝min{f（x），g（x）}的圖象，如圖.由圖象可知，函數(shù)F（x）＝min{f（x），g（x）}關于y軸對稱，所以A項正確；函數(shù)F（x）的圖象與x軸有三個交點，所以方程F（x）＝0有三個解，所以B項正確；函數(shù)F（x）在（－∞，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以C項錯誤，D項正確.故選A、B、D.規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)的方法（1）觀察函數(shù)圖象是否連續(xù)，左右范圍以及最高點和最低點，確定定義域、值域；（2）觀察函數(shù)圖象是否關于原點或y軸對稱，確定函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)函數(shù)圖象上升和下降的情況，確定單調(diào)性.角度2解方程（不等式）（2025·南通調(diào)研）已知函數(shù)y＝f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當x∈（0，3）∪（3，＋∞）時，f（－x）＞2f（x），f（3）＝0，則不等式f（x）＞0的解集為.答案：（－∞，－3）∪（－3，0）解析：依題意知，f（0）＝0，當x∈（0，3）∪（3，＋∞）時，f（－x）＞2f（x），即－f（x）＞2f（x），得f（x）＜0，由f（3）＝0，得f（－3）＝－f（3）＝0，由此畫出f（x）的大致圖象如圖所示，由圖可知，不等式f（x）＞0的解集為（－∞，－3）∪（－3，0）.規(guī)律方法利用函數(shù)圖象研究不等式問題的方法當不等式問題不能用代數(shù)法直接求解但其與函數(shù)有關時，可將不等式問題轉化為兩函數(shù)圖象（圖象易得）的上、下關系問題，利用圖象法求解.若函數(shù)為抽象函數(shù)，可根據(jù)題目畫出大致圖象，再結合圖象求解.角度3求參數(shù)的取值范圍（2025·保定聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）＝｜3x+1－1|,x≤0，lnx，x>0，若函數(shù)g（xA.（0，1） B.（0，2]C.（2，＋∞） D.（1，＋∞）解析：A要使函數(shù)g（x）＝f（x）－a有三個零點，則f（x）＝a有三個不相等的實根，即y＝f（x）與y＝a的圖象有三個交點，當x≤－1時，f（x）＝1－3x＋1在（－∞，－1]上單調(diào)遞減，f（x）∈[0，1）；當－1＜x≤0時，f（x）＝3x＋1－1在（－1，0]上單調(diào)遞增，f（x）∈（0，2]；當x＞0時，f（x）＝lnx在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（x）∈R.作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示.由y＝f（x）與y＝a的圖象有三個交點，結合函數(shù)圖象可得a∈（0，1）.規(guī)律方法利用函數(shù)圖象求參數(shù)問題，一般先準確地作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象的直觀性，結合其性質(zhì)，求解參數(shù).練3（1）（2025·泉州一模）若函數(shù)f（x）＝x（｜x｜－2）在[m，n]上的最小值是－1，最大值是3，則n－m的最大值為（D）A.2 B.22C.4 D.4＋2解析：（1）作出函數(shù)f（x）＝x（｜x｜－2）＝x（x－2),x≥0，x(?x－2),x<0的圖象，如圖所示，當x≥0時，令x（x－2）＝3，得x1＝－1（舍），x2＝3，當x＜0時，令x（－x－2）＝－1，得x3＝－1－2，x4＝－1＋2（舍），結合圖象可得（n－m）max＝（2）（2025·南京外國語學校模擬）設函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x）＝2f（x－2），且當x∈（0，2]時，f（x）＝x（2－x），若對任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，則實數(shù)m的取值范圍是（－∞，92］解析：（2）因為函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x）＝2f（x－2），且當x∈（0，2]時，f（x）＝x（2－x），所以當x∈（2，4]時，f（x）＝2（x－2）[2－（x－2）]＝2（x－2）（4－x），當x∈（4，6]時，f（x）＝4[（x－2）－2][4－（x－2）]＝4（x－4）（6－x），函數(shù)部分圖象如圖所示，由4（x－4）（6－x）＝3，得4x2－40x＋99＝0，解得x＝92或x＝112，因為對任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，所以由圖可知m≤9一、單項選擇題1.（2025·東營一模）把函數(shù)y＝（x－2）2＋2的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式是（）A.y＝（x－3）2＋3 B.y＝（x－3）2＋1C.y＝（x－1）2＋3 D.y＝（x－1）2＋1解析：C把函數(shù)y＝（x－2）2＋2的圖象向左平移1個單位長度后得到y(tǒng)＝[（x＋1）－2]2＋2＝（x－1）2＋2的圖象，再將y＝（x－1）2＋2的圖象向上平移1個單位長度后得到y(tǒng)＝（x－1）2＋3的圖象.故選C.2.（2025·沈陽質(zhì)檢）若函數(shù)f（x）＝ax＋b，x＜－1，lnA.－12 B.－C.－1 D.－2解析：C∵f（－1）＝0，∴l(xiāng)n（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b過點（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.3.（2022·全國甲卷理5題）函數(shù)y＝（3x－3－x）cosx在區(qū)間－π2，π解析：A法一（特值法）取x＝1，則y＝3－13cos1＝83cos1＞0；取x＝－1，則y＝13－3cos（－1）＝－83cos法二令y＝f（x），則f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cosx＝－f（x），所以函數(shù)y＝（3x－3－x）·cosx是奇函數(shù)，排除B、D；取x＝1，則y＝3－13cos1＝83cos1＞0，排除C4.（2025·重慶調(diào)研）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式可能為（）A.f（x）＝xB.f（x）＝4C.f（x）＝xD.f（x）＝4解析：D由圖知f（x）的定義域為{x｜x≠0}，圖象關于原點對稱，所以f（x）是奇函數(shù)，且f（1）＜0.A項，f（x）的定義域為R，A錯誤；B項，f（1）＝4＋4－1＝174＞0，B錯誤；C項，因為f（－x）＝(?x）54－x－4x＝x54x－45.（2025·北京平谷模擬）已知函數(shù)f（x）＝log2（x＋1）－｜x｜，則不等式f（x）＞0的解集是（）A.（－1，1） B.（0，1）C.（－1，0） D.?解析：B不等式f（x）＞0?log2（x＋1）＞｜x｜，分別畫出函數(shù)y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜的圖象，由圖象可知y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜有兩個交點，分別是（0，0）和（1，1），由圖象可知log2（x＋1）＞｜x｜的解集是（0，1），即不等式f（x）＞0的解集是（0，1），故選B.6.已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖1所示，則圖2對應的函數(shù)有可能是（）A.y＝x2f（x） B.y＝fC.y＝xf（x） D.y＝xf2（x）解析：C對于A，當x＜0時，f（x）＜0，所以x2f（x）＜0，故A不符合題意；對于B，當x＜0時，f（x）＜0，所以f（x）x2＜0，故B不符合題意；對于C，當x＜0時，f（x）＜0，所以xf（x）＞0，且x→－∞時，f（x）→－∞，xf（x）→＋∞；當x＞0時，f（x）＞0，所以xf（x）＞0，且x→＋∞時，f（x）→0，xf（x）→0，故C符合題意；對于D，當x＜0時，f（x）＜0，則f2（x）＞0，所以xf2（x）＜07.（2025·天津模擬）定義：設不等式F（x）＜0的解集為M，若M中只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解.若關于x的不等式｜x2－2x－3｜－mx＋2＜0有最優(yōu)解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.（23，7B.［－72，－2C.［－72，－2］∪［23，D.［－72，－2）∪（23，解析：D｜x2－2x－3｜－mx＋2＜0可轉化為｜x2－2x－3｜＜mx－2，在同一平面直角坐標系中分別作出函數(shù)f（x）＝｜x2－2x－3｜，g（x）＝mx－2的圖象，如圖所示.易知當m＝0時不滿足題意.當m＞0時，要存在唯一的整數(shù)x0，滿足f（x0）＜g（x0），則f（2）≥g（2),f（3）＜g（3),f（4）≥g（4),即3≥2m－2，0<3m－2，5≥4m－2，解得23＜m≤74.當m＜0時，要存在唯一的整數(shù)x0，二、多項選擇題8.已知函數(shù)f（x）＝－2x(?1≤解析：ABC當－1≤x≤0時，f（x）＝－2x，表示一條線段，且線段經(jīng)過（－1，2）和（0，0）兩點.當0＜x≤1時，f（x）＝x，表示一段曲線.函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示.f（x－1）的圖象可由f（x）的圖象向右平移1個單位長度得到，故A正確；f（－x）的圖象可由f（x）的圖象關于y軸對稱后得到，故B正確；由于f（x）的值域為[0，2]，故f（x）＝｜f（x）｜，故｜f（x）｜的圖象與f（x）的圖象完全相同，故C正確；很明顯D中f（｜x｜）的圖象不正確.9.（2025·沈陽一模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1＋x）＝f（1－x）.當0＜x＜1時，f（x）＝3x－1，則（）A.f（x）是周期為2的周期函數(shù)B.f（x）的值域為[－2，2]C.x＝3是f（x）圖象的一條對稱軸D.f（x）的圖象關于點（－2，0）對稱解析：BCD因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x），又f（1＋x）＝f（1－x），所以f（1＋x）＝f（1－x）＝－f（x－1），所以f（x）＝－f（x＋2），故f（x）＝f（x＋4），所以f（x）是周期為4的周期函數(shù)，故選項A錯誤；由f（1＋x）＝f（1－x）可知f（x）關于直線x＝1對稱，則可作出f（x）的圖象如圖所示，由f（x）的圖象可得f（x）的值域為[－2，2]，其中x＝3是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，f（x）的圖象關于點（－2，0）對稱，故選項B、C、D正確.故選B、C、D.三、填空題10.（2025·濟南一模）已知偶函數(shù)y＝f（x＋1）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f（x－1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，2].解析：因為偶函數(shù)y＝f（x＋1）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以y＝f（x＋1）在區(qū)間（－∞，0]上單調(diào)遞增，又因為f（x－1）＝f（（x－2）＋1），則函數(shù)f（x－1）的圖象是由函數(shù)f（x＋1）的圖象向右平移2個單位長度得到的，所以函數(shù)f（x－1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，2].11.函數(shù)f（x）＝x+1x的圖象與直線y＝kx＋1交于不同的兩點（x1，y1），（x2，y2），則y1＋y2＝2解析：因為f（x）＝x+1x＝1x＋1，所以f（x）的圖象關于點（0，1）對稱，而直線y＝kx＋1過點（0，1），故兩圖象的交點（x1，y1），（x2，y2）關于點（0，1）對稱，所以y1＋y22＝1，即12.（2025·揚州一模）已知函數(shù)f（x）＝｜x－2｜＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（12，1）解析：先作出函數(shù)f（x）＝｜x－2｜＋1的圖象，如圖所示，由圖可知，k＞0，當直線g（x）＝kx與直線AB平行時，斜率為1，當直線g（x）＝kx過點A時，斜率為12，故當f（x）＝g（x）有兩個不相等的實數(shù)根時，實數(shù)k的取值范圍為（12，1）四、解答題13.已知函數(shù)f（x）＝x（1）若a＝0，作出f（x）的函數(shù)圖象并求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）討論關于x的方程f（x）＝0的解的個數(shù).解：（1）當a＝0時，f（x）＝x2－2x，x>0，0，x=0，－x2－2x，（2）當x＝0時，f（x）＝0，∴x＝0是方程f（x）＝0的一個解；由f（x）＝0（x≠0）得：a＝－令g（x）＝－x2+2x，x>0，－x2－2x，x<0，則方程f（x作出g（x）的圖象如圖所示，結合圖象可知，當a∈（－∞，0]∪{1}時，g（x）與y＝a有兩個不同的交點；當a∈（0，1）時，g（x）與y＝a有四個不同的交點；當a∈（1，＋∞）時，g（x）與y＝a無交點；綜上所述：當a∈（－∞，0]∪{1}時，方程f（x）＝0有三個解；當a∈（0，1）時，方程f（x）＝0有五個解；當a∈（1，＋∞）時，方程f（x）＝0有唯一解.14.（2025·臨川一中期末）已知函數(shù)f（x）＝2x－ax＋1（a∈R）.（1）若a∈Z，且f（4）＞0，求a的最大值；（2）當a＝3時，直接寫出函數(shù)f（x）的零點；（3）若對任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，求a的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)f（x）＝2x－ax＋1，所以f（4）＝24－4a＋1＞0，即a＜174，又a∈Z，所以a的最大值為4（2）當a＝3時，f（x）＝2x－3x＋1，由f（x）＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函數(shù)y＝2x與y＝3x－1的圖象，由圖可知y＝2x與y＝3x－1有兩個交點，即函數(shù)f（x）有兩個零點，又因為f（1）＝2－3＋1＝0，f（3）＝23－3×3＋1＝0，故函數(shù)的零點為1，3.（3）因為對任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，所以2x＞ax－1在（－∞，1）上恒成立，即x∈（－∞，1）時，函數(shù)y＝2x的圖象恒在直線y＝ax－1的上方，作出函數(shù)y＝2x，x∈（－∞，1）與