第2節(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）；（3）會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，求參數(shù)的取值范圍等.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性01.課時(shí)跟蹤檢測(cè)02.PART01知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)f'（x）＞0f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)

?

?f'（x）＜0f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)

?

?f'（x）＝0f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是

?單調(diào)遞增

單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)2.

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f（x）的

?；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f'（x）的

?；第3步，用f'（x）的零點(diǎn)將f（x）的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f'

（x）在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性.定義域

零點(diǎn)

（1）（人A選二P86例2改編）f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f'（x）的圖象如圖所示，則f（x）的圖象可能是（

C

）C解析：由f'（x）的圖象知，當(dāng)x∈（－∞，0）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）單調(diào)遞增.故選C.

（1，＋∞）規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法（1）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，求出單

調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)方程f'（x）＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，依照實(shí)根把函數(shù)的定義

域劃分為幾個(gè)區(qū)間，確定各區(qū)間f'（x）的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間；（3）若導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f'（x）的結(jié)構(gòu)特征，

利用圖象與性質(zhì)確定f'（x）的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.提醒

若所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用“∪”及

“或”連接，只能用“，”“和”隔開(kāi).

A.

雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù)B.

雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.

雙曲正切函數(shù)是增函數(shù)D.tanh（x＋y）＝

ACD

（2）（蘇教選一P213例2改編）已知定義在區(qū)間（0，π）上的函數(shù)f（x）

＝x＋2cos

x，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為

?.

（2023·新高考Ⅰ卷19題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝a（ex＋a）－x，

討論f（x）的單調(diào)性.提能點(diǎn)1含參函數(shù)的單調(diào)性

規(guī)律方法解決含參函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的注意點(diǎn)（1）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)

行分類(lèi)討論；（2）劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為

零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).

①當(dāng)a≤0時(shí)，由f'（x）＜0得0＜x＜1；由f'（x）＞0得x＞1.所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）＜0得a＜x＜1；由f'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1.所以f（x）在（0，a）和（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)

遞減；③當(dāng)a＝1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)；④當(dāng)a＞1時(shí)，由f'（x）＜0得1＜x＜a；由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a.所以f（x）在（0，1）和（a，＋∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)

遞減.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）

上單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，a）和（1，＋∞）上單調(diào)遞增，在（a，

1）上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1）和（a，＋∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）

上單調(diào)遞減.提能點(diǎn)2函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1

比較大小

A.

a＜b＜cB.

a＜c＜bC.

c＜b＜aD.

b＜c＜aD

A.

a＞b＞cB.

a＞c＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞a

A規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵是判斷已知（或構(gòu)造后）函數(shù)的單調(diào)性，

利用其單調(diào)性比較大小.角度2

解不等式

（1）函數(shù)f（x）＝ex－e－x＋sin

x，則不等式f（x）＞0的解集是

（

A

）A.

（0，＋∞）B.（－∞，0）C.

（0，π）D.（－π，0）

A

A.

x1＜x2B.

x1＞x2C.

x1＋x2＜0D.

＜

D

規(guī)律方法

解函數(shù)不等式，如果直接求解比較煩瑣時(shí)，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

單調(diào)性，得出函數(shù)的極值、最值等性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式

的解集.角度3

求參數(shù)的取值范圍若可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈（a，b）

時(shí)，f'（x）＞0有解；若可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上存在單調(diào)遞減區(qū)

間，則當(dāng)x∈（a，b）時(shí)，f'（x）＜0有解.

A.

（－1，＋∞）B.（0，＋∞）C.

（－∞，－1）D.（－∞，0）C解析：函數(shù)f（x）的定義域是R，f'（x）＝ex＋a－x.由結(jié)論知，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，則g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故選C.

（2）（2023·新高考Ⅱ卷6題）已知函數(shù)f（x）＝aex－ln

x在區(qū)間（1，

2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

C

）A.e2B.eC.e－1D.e－2C

規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路（1）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增（減）可知f'（x）≥0（f'

（x）≤0）在區(qū)間[a，b]上恒成立，列出不等式；（2）利用分離參數(shù)法或函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問(wèn)題；（3）對(duì)等號(hào)單獨(dú)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f'（x）在整個(gè)區(qū)間恒等于

0.若f'（x）恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去；若只有在個(gè)別點(diǎn)處有f'

（x）＝0，則參數(shù)可取這個(gè)值.提醒

當(dāng)已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)時(shí)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程在該區(qū)

間上有解問(wèn)題.練3（1）（2025·四川模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）＝x2＋（x－2）ex－

2x＋5在區(qū)間（3m－1，m＋2）上不單調(diào)，則m的取值范圍是

?

?；

（

－1，

（2）（2025·成都調(diào)研）已知函數(shù)f（x）＝ex－e－x－2x＋1，則不等式

f（2x－3）＋f（x）＞2的解集為

?.

（1，＋∞）

PART02課時(shí)跟蹤檢測(cè)

A.

（－1，4）B.（0，1）C.

（4，＋∞）D.（0，4）

12345678910111213141516√2.

（2025·宜春模擬）“函數(shù)y＝ax－sin

x在R上是增函數(shù)”是“a＞0”

的（

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件解析：

因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax－sin

x是增函數(shù)，所以y'＝a－cos

x≥0恒成立，即a≥cos

x恒成立，所以a≥1＞0，反之a(chǎn)＞0，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不一定大于0.故“函數(shù)y＝ax－sin

x在R上是增函數(shù)”是“a＞0”的充分不必要條件.故選A.

√12345678910111213141516

A.

a＜b＜cB.

c＜b＜aC.

b＜a＜cD.

b＜c＜a

√123456789101112131415164.

（2025·馬鞍山一模）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且函數(shù)f

（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝xf'（x）的圖象可能是（

）√12345678910111213141516解析：

由圖可知函數(shù)f（x）在（－∞，－1）上單調(diào)遞減，在（－1，

＋∞）上單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈（－∞，－1）時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（－

1，＋∞）時(shí)，f'（x）＞0，且f'（－1）＝0.對(duì)于函數(shù)y＝xf'（x），當(dāng)x∈

（－∞，－1）時(shí)，xf'（x）＞0，當(dāng)x∈（－1，0）時(shí)，xf'（x）＜0，當(dāng)

x∈（0，＋∞）時(shí)，xf'（x）＞0，且當(dāng)x＝－1時(shí)，xf'（x）＝0，當(dāng)x＝0

時(shí)，xf'（x）＝0，顯然選項(xiàng)C符合，故選C.

12345678910111213141516

A.

（－∞，1]B.（0，1]C.

[1，

]D.[，＋∞）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（－1，0）B.

（0，1）C.

（－∞，－1）∪（0，＋∞）D.

（－1，1）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（

－∞，

）B.（

0，

）C.

（

，1）D.（1，＋∞）√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

－4B.－3C.3D.4√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增B.

在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞減C.

在區(qū)間（1，

）上單調(diào)遞減D.

在區(qū)間（

，4）上單調(diào)遞減√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題10.

函數(shù)f（x）＝e－x

cos

x（x∈（0，π））的單調(diào)遞增區(qū)間為

?.

12345678910111213141516

（－∞，0）∪（4，＋∞）

1234567891011121314151612.

（2025·貴陽(yáng)適應(yīng)性考試）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且y＝

f'（x）＋ex也是偶函數(shù)，若f（a）＞f（2a－1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為

?.

12345678910111213141516

①若a≥0，則當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞3時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上單調(diào)遞增，在（3，＋∞）上單調(diào)遞減；12345678910111213141516②若－3＜a＜0，由f'（x）＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f'（x）＞0，得

－a＜x＜3，∴f（x）在（0，－a），（3，＋∞）上單調(diào)遞減，在（－a，3）上單調(diào)

遞增；③若a＝－3，則f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減；④若a＜－3，由f'（x）＜0，得0＜x＜3或x＞－a，由f'（x）＞0，得3＜x＜－a，∴f（x）在（0，3），（－a，＋∞）上單調(diào)遞減，在（3，－a）上單調(diào)

遞增.1234567891011121314151614.

（2025·廈門(mén)模擬）已知函數(shù)f（x）＝aln

x－ax－3（a∈R）.（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151615.

（2025·蘇州一模）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)存在，且

f'（x）＜g'（x），則當(dāng)x∈（a，b）時(shí)（

）A.

f（x）＜g（x）B.

f（x）＞g（x）C.

f（x）＋g（a）＜g（x）＋f（a）D.

f（x）＋g（b）＜g（x）＋f（b）