圓錐曲線中的二級結(jié)論圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強(qiáng)，因而解題時需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解.一、橢圓、雙曲線的焦半徑（1）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓x24＋y2＝1的兩焦點(diǎn)，P為橢圓上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，∠F1PF2的平分線PM與長軸交于點(diǎn)M（m，0），則m的取值范圍是（2）已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1（－7，0），F(xiàn)2（7，0），過F2的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn).若AF2＝2F2B，｜AB｜＝｜F1B｜，則雙曲線C的方程為聽課記錄必記結(jié)論1.若點(diǎn)P（x0，y0）在橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，則｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a2.若點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）右支上，則｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a3.焦半徑的數(shù)量關(guān)系式：直線l過焦點(diǎn)F與橢圓（雙曲線）相交于A，B兩點(diǎn)，則1｜AF｜＋1二、橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)弦（1）已知F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓C的焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且｜AB｜＝3，則C的方程為（）A.x22＋y2＝1B.x23C.x24＋y23＝1 D.x（2）過雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB為等腰直角三角形聽課記錄必記結(jié)論1.在橢圓中，焦點(diǎn)弦中通徑（垂直于長軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長lmin＝2b2.在雙曲線中，同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑（過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦），其長為2b2a，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為

三、圓錐曲線的垂徑定理（1）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)（3，0）是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為M（－12，－15），則E的方程為（）A.x23－y26＝1 B.xC.x26－y23＝1 D.x（2）設(shè)過點(diǎn)P（0，32）的直線l與橢圓x23＋y2＝1交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B為該橢圓的下頂點(diǎn)且｜BM｜＝｜BN｜，則直線l聽課記錄必記結(jié)論1.若AB是橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M（x0，y0）為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝e2.若AB是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M（x0，y0）為AB的中點(diǎn)，則kOM·kAB＝e四、圓錐曲線的第二定義（1）雙曲線x2－y23＝1的右支上一點(diǎn)P，到左焦點(diǎn)F1與到右焦點(diǎn)F2的距離之比為2∶1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2）已知點(diǎn)A（－2，3），設(shè)點(diǎn)F為橢圓x216＋y212＝1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓上一動點(diǎn)，則｜MA｜＋2｜MF聽課記錄必記結(jié)論圓錐曲線的第二定義是到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.當(dāng)0＜e＜1時為橢圓；當(dāng)e＝1時為拋物線；當(dāng)e＞1時為雙曲線.其中定點(diǎn)為圓錐曲線的交點(diǎn)，定直線為圓錐曲線的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線的準(zhǔn)線方程為x＝±a2c；焦點(diǎn)在y軸上的圓錐曲線的準(zhǔn)線方程為y＝±五、圓錐曲線的第三定義已知橢圓C：x22＋y2＝1，A，B為長軸端點(diǎn)，點(diǎn)M1，M2，…，M5是AB的六等分點(diǎn)，分別過這五點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的一組平行線，交橢圓C于P1，P2，…，P10，則直線AP1，AP2，…，AP10這10條直線的斜率乘積為（A.－116 B.－C.164 D.聽課記錄必記結(jié)論已知點(diǎn)P為橢圓（雙曲線）上異于A，B的任一點(diǎn)，A，B為長軸（實(shí)軸）端點(diǎn)，則橢圓中kPA·kPB＝－b2a2，雙曲線中kPA·kPB六、拋物線的焦點(diǎn)弦（1）過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，若｜AF｜＝3，則△AOB的面積為（）A.22B.2C.322D（2）〔多選〕（2025·撫順一模）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x＝－1，過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.｜AB｜的最小值為4B.設(shè)Q（3，2），則△QAF周長的最小值為4C.以AF為直徑的圓與y軸相切D.若BF＝2FA，則直線l的斜率為22或－22聽課記錄必記結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），則（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）焦半徑｜AF｜＝x1＋p2＝p1－cosα，｜BF｜＝x2＋p2＝p1+cosα（（3）弦長｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α（α為弦AB的傾斜角），且1（4）S△OAB＝p22sinα（（5）通徑：過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點(diǎn)最短的弦；（6）若AF＝λFB，則｜c(diǎn)osα｜＝｜1－（7）中點(diǎn)弦斜率：若AB斜率為k，C（x0，y0）為AB的中點(diǎn)，則k＝py（8）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；以MN為直徑的圓與AB切于焦點(diǎn)F；以焦半徑AF（BF）為直徑的圓與y軸相切.1.（2025·重慶模擬）如圖，A，B分別是橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上（點(diǎn)P異于A，B兩點(diǎn)），線段AP與橢圓C交于另一點(diǎn)Q，若直線BP的斜率是直線BQ的斜率的4倍，A.33 B.C.32 D.2.已知P為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）右支上一點(diǎn)，A為其左頂點(diǎn)，F(xiàn)（43，0）為其右焦點(diǎn)，滿足｜AF｜＝｜PF｜，∠PFA＝60°，則點(diǎn)FA.532 BC.732 D3.〔多選〕（2025·瀘州階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線的右支交與A，BA.弦AB的最小值為2B.若｜AB｜＝m，則△F1AB的周長為2m＋4aC.若AB的中點(diǎn)為M，且AB的斜率為k，則kOM·k＝bD.若直線AB的斜率為3，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞）4.〔多選〕（2023·新高考Ⅱ卷10題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y＝－3（x－1）過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（）A.p＝2B.｜MN｜＝8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形5.已知橢圓C：x