平面向量與三角形的“四心”在三角形中，重心、內(nèi)心、垂心和外心簡(jiǎn)稱“四心”，它們與向量知識(shí)的整合，既自然又表達(dá)形式多樣，在新高考試題中，總會(huì)出現(xiàn)一些與“四心”相關(guān)的既新穎又別致的試題，不僅考查了向量的表示與運(yùn)算、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，而且培養(yǎng)了考生“以向量為工具”的邏輯推理能力.一、平面向量與三角形的重心（1）已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的（D）A.外心 B.內(nèi)心C.垂心 D.重心解析：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足OP＝OA＋λ（AB＋AC）（λ≥0），所以AP＝λ（AB＋AC），取BC中點(diǎn)D（圖略），則AP＝2λAD，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)△ABC的重心，故選D.（2）在△ABC中，O為△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，則λ－2μ＝－43解析：（2）設(shè)AC的中點(diǎn)為D，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以BO＝23BD＝23（BA＋AD）＝－23AB＋23×12AC＝－23AB＋13AC，所以λ＝－23規(guī)律方法設(shè)O是△ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論：（1）OA＋OB＋OC＝0；（2）PO＝13（PA＋PB＋PC（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足AP＝λ（AB＋AC）或OP＝OA＋λ（AB＋AC），λ∈[0，＋∞），則動(dòng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)三角形的重心.二、平面向量與三角形的垂心（1）P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，則P是△ABC的（D）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心解析：（1）由PA·PB＝PB·PC，得PA·PB－PB·PC＝0，即PB·（PA－PC）＝0，即PB·CA＝0，則PB⊥CA，同理可證PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心，故選D.（2）已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP＝OA＋λAB｜AB｜c(diǎn)osB＋AC｜AC｜c(diǎn)osC（λ≥0A.重心 B.外心C.垂心 D.內(nèi)心解析：（2）OP－OA＝λ（AB｜AB｜c(diǎn)osB＋AC｜AC｜c(diǎn)osC），AP＝λ（AB｜AB｜c(diǎn)osB＋AC｜AC｜c(diǎn)osC），BC·AP＝λ（BC·AB｜AB｜c(diǎn)osB＋BC·AC｜AC｜c(diǎn)osC）＝λ（規(guī)律方法設(shè)O是△ABC的垂心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論：（1）OA·OB＝OB·OC＝OC·OA；（2）｜OA｜2＋｜BC｜2＝｜OB｜2＋｜CA｜2＝｜OC｜2＋｜AB｜2；（3）動(dòng)點(diǎn)P滿足AP＝λ（AB｜AB｜c(diǎn)osB＋AC｜AC｜c(diǎn)osC）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜c(diǎn)osB三、平面向量與三角形的內(nèi)心（1）若△ABC的三邊為a，b，c，有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，則O為△ABC的（B）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心解析：（1）∵OB＝OA＋AB，OC＝OA＋AC，∴a·OA＋b·OB＋c·OC＝a·OA＋b（OA＋AB）＋c（OA＋AC）＝（a＋b＋c）·OA＋b·AB＋c·AC＝0，∴AO＝bca＋b＋c（ABc＋ACb），∵ABc，ACb分別是AB，AC方向上的單位向量，∴向量ABc＋ACb平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠（2）在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝15，O是△ABC的內(nèi)心，若OP＝xOB＋yOC，其中x，y∈[0，1]，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為（BA.1063 B.1463C.43解析：（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC面積的2倍.在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則12bcsinA＝12（a＋b＋c）r，解得r＝263，所以S△BOC＝12×a×r＝12×7×263＝763.規(guī)律方法設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論：（1）｜AB｜·OC＋｜BC｜·OA＋｜CA｜·OB＝0（或aOA＋bOB＋cOC＝0，其中a，b，c分別是△ABC的三邊BC，AC，AB的長(zhǎng)）；（2）動(dòng)點(diǎn)P滿足AP＝λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）或OP＝OA＋λ（AB｜AB｜＋AC｜AC｜）四、平面向量與三角形的外心（1）在△ABC中，設(shè)AC2－AB2＝2AM·BC，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的（CA.垂心 B.內(nèi)心C.外心 D.重心（2）已知點(diǎn)G是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D是△ABC的底邊BC的中點(diǎn)，滿足GD·GB＝GD·GC，則點(diǎn)G的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的外心（填：重心、內(nèi)心、垂心或外心）.解析：（1）如圖所示，設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則AB＋AC＝2AD，∵AC2－AB2＝2AM·BC，∴（AC＋AB）·（AC－AB）＝2AM·BC，∴BC·（AB＋AC－2AM）＝0，∴BC·MD＝0，即MD⊥BC且平分BC.因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的外心，故選C（2）由GD·GB＝GD·GC?GD·GB－GD·GC＝0?GD·（GB－GC）＝0，GD·CB＝0，則點(diǎn)G的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的外心.規(guī)律方法設(shè)O是△ABC的外心，則有以下結(jié)論：（1）｜OA｜＝｜OB｜＝｜OC｜?OA2＝OB2＝（2）（OA＋OB）·AB＝（OB＋OC）·BC＝（OA＋OC）·AC＝0.△△△1.已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則AP＝（）A.16AB＋16AC C.23AC＋13BC 解析：D設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是△ABC的重心，則P在AD上，且AP＝23AD＝23×12（AB＋AC）＝13（2AB＋BC）＝23AB＋13BC＝23（AC＋CB）＋13BC＝23AC－13BC2.（2025·貴陽(yáng)模擬）已知在△ABC中，H為△ABC的垂心，O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且OA＋OB＝CH，則以下正確的是（）A.點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心B.點(diǎn)O為△ABC的外心C.∠ACB＝90°D.△ABC為等邊三角形解析：B在△ABC中，由H為△ABC的垂心，得CH⊥AB，由OA＋OB＝CH，得（OA＋OB）·（OA－OB）＝CH·（OA－OB）＝CH·BA＝0，則OA2＝OB2，即｜OA｜＝｜OB｜，又AH＝AO＋OC＋CH＝AO＋OC＋（OA＋OB）＝OC＋OB，顯然AH⊥BC，同理得｜OC｜＝｜OB｜，因此點(diǎn)O為△ABC的外心，B正確，無(wú)法判斷A、C、D成立的條件.故選3.（2025·淮北一模）已知點(diǎn)A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的外心，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：OP＝13[（1－λ）OA＋（1－λ）OB＋（1＋2λ）OC]（λ∈R，λ≠0），則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的（A.內(nèi)心 B.垂心C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)解析：D取AB的中點(diǎn)D，連接OD，則2OD＝OA＋OB，∵OP＝13[（1－λ）OA＋（1－λ）OB＋（1＋2λ）OC]，∴OP＝2（1－λ）3·OD＋1+2λ3OC＝2－2λ3（OC＋CD）＋1+2λ3OC＝OC＋2－2λ3CD，則OP－OC＝2－2λ3CD，即CP＝4.〔多選〕數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O，G，H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（）A.OH＝OA＋OB＋OCB.S△ABG＝S△BCG＝S△ACGC.AH＝3OMD.AB＋AC＝4OM＋2HM解析：ABDA項(xiàng)，因?yàn)镺G＝12GH，所以O(shè)G＝13OH，因?yàn)镚為重心，所以GA＋GB＋GC＝0，所以O(shè)A－OG＋OB－OG＋OC－OG＝0，所以O(shè)G＝13（OA＋OB＋OC），所以13OH＝13（OA＋OB＋OC），所以O(shè)H＝OA＋OB＋OC，所以該選項(xiàng)正確.B項(xiàng)，S△BCG＝12×BC×h1，S△ABC＝12×BC×h2，由于G是重心，所以h1＝13h2，所以S△BCG＝13S△ABC，同理S△ABG＝13S△ABC，S△ACG＝13S△ABC，所以S△ABG＝S△BCG＝S△ACG，所以該選項(xiàng)正確.C項(xiàng)，AH＝AG＋GH＝2GM＋2OG＝2（OG＋GM）＝2OM，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.D項(xiàng)，因?yàn)镺H＝3OG，所以MG＝23MO＋13MH，所以G