微突破數(shù)列的重組問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)

重組數(shù)列是指由已知數(shù)列通過插項、去項或由已知的兩個數(shù)列的公共

項得到新數(shù)列，解決此類問題要弄清楚重組數(shù)列與已知數(shù)列的關(guān)系，確定

重組數(shù)列的特征，以此來解決問題.一、公共項與并項問題

（1）（2025·漳州第一次質(zhì)量檢測）將數(shù)列{3n－1}與{2n}的公共

項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則a20＝（

C

）A.237B.238C.239D.240

C（2）若數(shù)列{4n－3}和{3n}的所有項分別構(gòu)成集合A，B，將A∪B的元

素按從小到大的順序依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列{cn}，則c1＋c2＋c3＋…＋

c20＝

?.

660

規(guī)律方法1.

兩個等差數(shù)列的公共項是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公

倍數(shù)；兩個等比數(shù)列的公共項是等比數(shù)列，公比是兩個等比數(shù)列公比的最

小公倍數(shù)；等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項是等比數(shù)列.2.

解決兩數(shù)列并項問題的關(guān)鍵是正確理解A∪B中的元素特征并準(zhǔn)確找出

兩個數(shù)列的公共項.二、增、減項問題

（2025·濱州一模）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a4＝7，

S5＝25.（1）求{an}的通項公式；解：因為{an}為等差數(shù)列，則S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2（n－1）＝2n－1.（2）保持?jǐn)?shù)列{an}中各項先后順序不變，在ak與ak＋1（k＝1，2，…）之

間插入2k－1個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列{bn}，求{bn}的

前150項和T150.

規(guī)律方法

解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀理解題意，弄清楚增加了（減少了）

多少項，增加（減少）的項有什么特征，在求新數(shù)列的和時，一般采用分

組求和法，即把原數(shù)列部分和增加（減少）部分分別求和，再相加（相

減）即可.三、區(qū)間取值數(shù)列

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a2，a5－1成等比數(shù)列.給

定k∈N*，記集合{n｜k≤an≤2k，n∈N*}的元素個數(shù)為bk.（1）求b1，b2的值；

（2）求最小自然數(shù)n的值，使得b1＋b2＋…＋bn＞2

025.

規(guī)律方法

“區(qū)間取值數(shù)列問題”：記數(shù)列{an}落在區(qū)間（0，g（k）]的個數(shù)

為bk，討論數(shù)列{bk}的性質(zhì).求解這類問題的關(guān)鍵就是利用數(shù)列自變量n的

計數(shù)功能，通過不等式0＜an≤g（k）?n，由于n為正整數(shù)，從而實現(xiàn)對

自變量n的計數(shù).此類題目的計算背景主要分布在解下面三個不等式：

（1）qm＜kn＋b＜qm＋1；（2）tm＜qn＜tm＋1；（3）tk＋b＜qn＜t（k

＋i）＋b.

2.

已知an＝3n＋1，bn＝2n＋1，將數(shù)列{an}和{bn}的項從小到大依次排列

（相等項計兩項）得到新數(shù)列{cn}，則{cn}的前50項的和為

?.

3

266

3.

已知數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋n，在等比數(shù)列{an}中，a1

＝b1，a4＝b8.（1）求{bn}與{an}的通項公式；解：∵Sn＝n2＋n，∴當(dāng)n≥2且n∈N*時，bn＝Sn－Sn－1＝2n.又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n.∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比數(shù)列{an}的公比為2，∴an＝2n.（2）若{bn}中去掉{an}的項后余下的項按原順序組成數(shù)列{cn}，求{cn}

的前20項和.

4.

已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.（1）求{an}的通項公式；

（2）記bm為{an}在區(qū)間（0，m]（m∈N*）中的項的個數(shù)，求數(shù)列{bm}

的前100項和S100.解：由題意知，2n≤m，即n≤log2m，當(dāng)m＝1時，b1＝0.當(dāng)m∈[2k，2k＋1）時，bm＝k，k∈N*，則S100＝b1＋（b2＋b3）＋（b4＋b5＋b6＋b7）＋…＋（