重難專攻（四）函數(shù)的零點問題高中總復習·數(shù)學重點解讀利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題是高考的熱點，主要涉及判斷、證明或討論函數(shù)零點的個數(shù)、已知函數(shù)零點存在情況求參數(shù)及由函數(shù)零點性質(zhì)研究其他問題等，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度較大.目錄CONTENTS提能點1數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點01.提能點2利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點02.提能點3構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點03.課時跟蹤檢測04.PART01提能點1數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點

（2025·南昌模擬節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝x2＋bex（b∈R），若

函數(shù)y＝f（x）有3個零點，求b的取值范圍.

規(guī)律方法

含參數(shù)的函數(shù)零點個數(shù)，可轉(zhuǎn)化為方程解的個數(shù)，若能分離參數(shù)，可

將參數(shù)分離出來后，用自變量x表示不含參數(shù)的函數(shù)，作出該函數(shù)的圖

象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)范圍.

PART02提能點2利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點

規(guī)律方法

利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)零點，主要是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最

值或極值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，此類問題在求解過程中可以通過數(shù)

形結(jié)合的方法確定函數(shù)存在零點的條件.

（2）若f（x）只有一個零點，求a的取值范圍.

PART03提能點3構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點

已知函數(shù)f（x）＝ex＋x＋4ln（2－x），判斷函數(shù)f（x）的零點個

數(shù)，并說明理由.

規(guī)律方法

涉及函數(shù)的零點（方程的根）問題，主要利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間和極值點，根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端

點的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求得參數(shù)的取值范圍.

＋∞）.（2）若曲線y＝f（x）與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍.

PART04課時跟蹤檢測

（1）若a＝0，求f（x）的最大值；

1234（2）若0＜a＜1，求證：f（x）有且只有一個零點.

1234

1234

1234（2）當a＝0，b＝－1時，方程f（x）＝mx在區(qū)間[1，e2]上有唯一實數(shù)

解，求實數(shù)m的取值范圍.

1234

1234

1234

1234（2）若方程f（x）＋a＝0有三個不同的實根，求a的取值范圍.解：因為f（x）＋a＝（x－1）[ex－a（x＋1）]，所以x＝1為f

（x）＋a＝0的一個根，故ex－a（x＋1）＝0有兩個不同于1的實根，令g（x）＝ex－a（x＋1），則g'（x）＝ex－a，①當a≤0時，g'（x）＞0，故g（x）在R上是增函數(shù)，不符合題意；②當a＞0時，令g'（x）＝0，得x＝ln

a，當x＞ln

a時，g'（x）＞0，故g（x）在區(qū)間（ln

a，＋∞）上單調(diào)遞增，當x＜ln

a時，g'（x）＜0，故g（x）在區(qū)間（－∞，ln

a）上單調(diào)遞減，并且當x→－∞時，g（x）→＋∞；當x→＋∞時，g（x）→＋∞；1234

1234

1234

1234（2）令h（x）＝x2－4x

sin

x－4cos

x＋4，試判斷h（x）在R上零點的

個數(shù).解：h（x）在R上有三個零點，理由如下：h（x）＝x2－4x

sin

x－4cos

x＋4，因為h（0）＝0，所以x＝0是h（x）的一個零點.h（－x）＝（－x）2－4（－x）sin（－x）－4cos（－x）＋4＝x2－

4x

sin

x－4cos

x＋4＝h（x），所以h（x）是偶函數(shù)，即要確定h（x）在R上的零點個數(shù)，只需確定x＞

0時，h（x）的零點個數(shù)即