七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)與練習(xí)題集一、有理數(shù)：數(shù)系擴(kuò)展與運(yùn)算基礎(chǔ)有理數(shù)是初中數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，也是后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)的基石。其核心是數(shù)的分類、數(shù)軸表示、絕對(duì)值意義及運(yùn)算規(guī)則。（一）學(xué)習(xí)重點(diǎn)解析1.有理數(shù)分類：有理數(shù)分為整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）。注意：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；π等無(wú)理數(shù)不屬于有理數(shù)。2.數(shù)軸三要素：數(shù)軸是表示數(shù)的工具，需具備原點(diǎn)（0的位置）、正方向（通常向右）、單位長(zhǎng)度（統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn)）。數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對(duì)應(yīng)（后續(xù)擴(kuò)展到實(shí)數(shù)）。3.絕對(duì)值的意義：幾何意義：數(shù)軸上表示數(shù)\(a\)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離（非負(fù)性，\(|a|\geq0\)）。代數(shù)意義：\(|a|=\begin{cases}a&(a\geq0)\\-a&(a<0)\end{cases}\)。4.有理數(shù)運(yùn)算規(guī)則：加減：同號(hào)相加取原符號(hào)，絕對(duì)值相加；異號(hào)相加取絕對(duì)值大的符號(hào)，絕對(duì)值相減；減去一個(gè)數(shù)等于加上其相反數(shù)（如\(a-b=a+(-b)\)）。乘除：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，絕對(duì)值相乘除；除以一個(gè)數(shù)等于乘其倒數(shù)（\(a\divb=a\times\frac{1}\)，\(b\neq0\)）。運(yùn)算順序：先乘方（后續(xù)學(xué)習(xí)），再乘除，后加減；有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)（小→中→大）。（二）針對(duì)性練習(xí)題1.基礎(chǔ)題（鞏固概念與基本運(yùn)算）（1）將下列數(shù)分類：\(-5\)，\(0\)，\(\frac{3}{4}\)，\(-0.2\)，\(7\)，\(-\frac{1}{3}\)，\(\sqrt{2}\)（注：\(\sqrt{2}\)不是有理數(shù)）。答案：整數(shù)：\(-5\)，\(0\)，\(7\)；分?jǐn)?shù)：\(\frac{3}{4}\)，\(-0.2\)，\(-\frac{1}{3}\)；有理數(shù)：除\(\sqrt{2}\)外所有數(shù)。（2）數(shù)軸上表示\(-3\)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______，表示\(2\)的點(diǎn)到表示\(-1\)的點(diǎn)的距離是______。答案：\(3\)；\(3\)（解析：\(|2-(-1)|=3\)）。（3）計(jì)算：\(|-4|+(-3)-(-2)=\______\)。答案：\(3\)（解析：\(4+(-3)+2=3\)）。（4）計(jì)算：\((-6)\times\frac{1}{2}\div(-3)=\______\)。答案：\(1\)（解析：先算乘法得\(-3\)，再除以\(-3\)得\(1\)）。2.提升題（綜合應(yīng)用與思維拓展）（1）若\(|x-1|+|y+2|=0\)，求\(x+y\)的值。思路：絕對(duì)值非負(fù)性，兩個(gè)非負(fù)數(shù)相加為0，則各自為0，得\(x=1\)，\(y=-2\)，故\(x+y=-1\)。答案：\(-1\)。（2）計(jì)算：\((-2)^2\times3-(-8)\div2+(-1)\)（注：\((-2)^2=4\)）。思路：先算乘方得\(4\)，再算乘除：\(4\times3=12\)，\(-8\div2=-4\)，故\(12-(-4)+(-1)=15\)。答案：\(15\)。（3）已知\(a\)、\(b\)互為相反數(shù)，\(c\)、\(d\)互為倒數(shù)，\(|m|=3\)，求\(a+b+cd-m\)的值。思路：相反數(shù)和為0（\(a+b=0\)），倒數(shù)積為1（\(cd=1\)），\(|m|=3\)則\(m=\pm3\)。代入得\(0+1-m\)，故值為\(-2\)或\(4\)。答案：\(-2\)或\(4\)。二、整式的加減：代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)整式是代數(shù)的基本語(yǔ)言，其核心是同類項(xiàng)合并與去括號(hào)法則，是后續(xù)學(xué)習(xí)方程、函數(shù)的基礎(chǔ)。（一）學(xué)習(xí)重點(diǎn)解析1.整式的概念：?jiǎn)雾?xiàng)式：數(shù)字與字母的乘積（單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式，如\(5\)、\(x\)）。多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和（如\(3x^2-2x+1\)）。注：分母含字母的式子不是整式（如\(\frac{1}{x}\)）。2.單項(xiàng)式的系數(shù)與次數(shù)：系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)（包括符號(hào)，如\(-2xy^2\)的系數(shù)是\(-2\)）。次數(shù)：所有字母的指數(shù)和（如\(-2xy^2\)的次數(shù)是\(1+2=3\)）。3.多項(xiàng)式的項(xiàng)與次數(shù)：項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式（包括符號(hào)，如\(3x^2-2x+1\)的項(xiàng)是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(1\)）。次數(shù)：次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)（如\(3x^2-2x+1\)是二次三項(xiàng)式）。4.同類項(xiàng)與合并法則：同類項(xiàng)：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)（如\(2xy\)與\(-3xy\)是同類項(xiàng)，\(2x^2y\)與\(3xy^2\)不是）。合并法則：系數(shù)相加，字母和指數(shù)不變（如\(3x+2x=5x\)，\(-xy+4xy=3xy\)）。5.去括號(hào)法則：括號(hào)前是“\(+\)”：去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)不變（如\(a+(b-c)=a+b-c\)）。括號(hào)前是“\(-\)”：去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)改變（如\(a-(b-c)=a-b+c\)）。（二）針對(duì)性練習(xí)題1.基礎(chǔ)題（鞏固概念與基本運(yùn)算）（1）下列式子中，屬于整式的是（）（多選）。A.\(2x\)B.\(\frac{1}{x}\)C.\(-3xy^3\)D.\(x+\frac{1}{y}\)答案：A、C。（2）單項(xiàng)式\(-\frac{1}{2}x^3y\)的系數(shù)是______，次數(shù)是______；多項(xiàng)式\(x^3-2x^2+5\)的次數(shù)是______，常數(shù)項(xiàng)是______。答案：\(-\frac{1}{2}\)；\(4\)；\(3\)；\(5\)。（3）合并同類項(xiàng)：\(4x^2-3x+7x^2+5x=\______\)。答案：\(11x^2+2x\)（解析：\(4x^2+7x^2=11x^2\)，\(-3x+5x=2x\)）。（4）去括號(hào)：\(3(a-2b)-(2a+3b)=\______\)。答案：\(a-9b\)（解析：\(3a-6b-2a-3b=a-9b\)）。2.提升題（綜合應(yīng)用與思維拓展）（1）化簡(jiǎn)求值：\(2(x^2-xy)-3(xy-x^2)+1\)，其中\(zhòng)(x=-1\)，\(y=2\)。思路：先去括號(hào)得\(2x^2-2xy-3xy+3x^2+1=5x^2-5xy+1\)，代入\(x=-1\)、\(y=2\)得\(5\times1-5\times(-1)\times2+1=5+10+1=16\)。答案：\(16\)。（2）若\(3x^2y^m\)與\(-2x^ny^3\)是同類項(xiàng)，求\(m+n\)的值。思路：同類項(xiàng)字母相同且指數(shù)相同，得\(n=2\)，\(m=3\)，故\(m+n=5\)。答案：\(5\)。（3）已知\(A=x^2+2xy-1\)，\(B=-2x^2+xy+3\)，求\(2A-B\)的值。思路：\(2A=2x^2+4xy-2\)，\(-B=2x^2-xy-3\)，相加得\(4x^2+3xy-5\)。答案：\(4x^2+3xy-5\)。三、一元一次方程：代數(shù)方程的入門與應(yīng)用一元一次方程是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，其核心是解方程步驟與實(shí)際問(wèn)題建模，培養(yǎng)邏輯思維與應(yīng)用能力。（一）學(xué)習(xí)重點(diǎn)解析1.一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程（如\(3x+5=14\)）。2.解方程的步驟：去分母：兩邊乘各分母的最小公倍數(shù)（注意不含分母的項(xiàng)也要乘）。去括號(hào)：按去括號(hào)法則進(jìn)行（注意符號(hào)）。移項(xiàng)：把含未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊（移項(xiàng)要變號(hào)，如\(3x+5=14\)→\(3x=14-5\)）。合并同類項(xiàng)：把方程化為\(ax=b\)（\(a\neq0\)）的形式。系數(shù)化為1：兩邊除以\(a\)（如\(3x=9\)→\(x=3\)）。3.實(shí)際應(yīng)用類型：行程問(wèn)題：相遇（路程和=總路程）、追及（路程差=初始距離）。工程問(wèn)題：工作總量=工作效率×工作時(shí)間（通常設(shè)工作總量為1）。利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本，利潤(rùn)率=（利潤(rùn)/成本）×100%。濃度問(wèn)題：溶質(zhì)=溶液×濃度（如鹽水的溶質(zhì)是鹽，溶液是鹽+水）。（二）針對(duì)性練習(xí)題1.基礎(chǔ)題（鞏固解方程步驟）（1）解方程：\(2x-3=7\)。步驟：移項(xiàng)得\(2x=10\)，系數(shù)化為1得\(x=5\)。答案：\(x=5\)。（2）解方程：\(3(x-2)+1=4x-5\)。步驟：去括號(hào)得\(3x-6+1=4x-5\)→\(3x-5=4x-5\)；移項(xiàng)得\(-x=0\)→\(x=0\)。答案：\(x=0\)。（3）解方程：\(\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{2}=1\)。步驟：去分母（乘6）得\(2(x-1)+3(x+2)=6\)；去括號(hào)得\(2x-2+3x+6=6\)；合并同類項(xiàng)得\(5x+4=6\)；移項(xiàng)得\(5x=2\)；系數(shù)化為1得\(x=\frac{2}{5}\)。答案：\(x=\frac{2}{5}\)。2.提升題（實(shí)際應(yīng)用與思維拓展）（1）行程問(wèn)題：甲、乙兩人從相距\(80\)千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是每小時(shí)\(5\)千米，乙的速度是每小時(shí)\(3\)千米，問(wèn)幾小時(shí)后兩人相遇？思路：等量關(guān)系：甲的路程+乙的路程=總路程。設(shè)\(t\)小時(shí)后相遇，列方程\(5t+3t=80\)→\(8t=80\)→\(t=10\)。答案：\(10\)小時(shí)。（2）工程問(wèn)題：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要\(15\)天完成，乙單獨(dú)做需要\(10\)天完成，兩人合作需要幾天完成？思路：設(shè)工作總量為1，甲的效率為\(\frac{1}{15}\)，乙的效率為\(\frac{1}{10}\)，合作效率為\(\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}\)。設(shè)合作需要\(x\)天完成，列方程\(\frac{1}{6}x=1\)→\(x=6\)。答案：\(6\)天。（3）利潤(rùn)問(wèn)題：某商品的進(jìn)價(jià)為每件\(150\)元，售價(jià)為每件\(180\)元，求該商品的利潤(rùn)率。若要使利潤(rùn)率達(dá)到\(20\%\)，則售價(jià)應(yīng)定為多少元？思路：第一問(wèn)：利潤(rùn)=____=30元，利潤(rùn)率=（30/150）×100%=20%；第二問(wèn)：設(shè)售價(jià)為\(x\)元，利潤(rùn)=\(x-150\)，利潤(rùn)率=（\(x-150\)/150）×100%=20%，解得\(x=180\)。答案：\(20\%\)；\(180\)元。四、幾何初步：圖形的認(rèn)識(shí)與度量幾何初步是初中數(shù)學(xué)的另一個(gè)核心板塊，其核心是圖形分類、線段與角的度量及基本性質(zhì)，培養(yǎng)空間觀念與圖形意識(shí)。（一）學(xué)習(xí)重點(diǎn)解析1.圖形的分類：立體圖形：如正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐（具有三維空間）。平面圖形：如直線、射線、線段、角（具有二維空間）。2.直線、射線、線段的區(qū)別：直線：沒(méi)有端點(diǎn)，無(wú)限長(zhǎng)（如直線\(AB\)）。射線：有一個(gè)端點(diǎn)，無(wú)限長(zhǎng)（如射線\(OA\)）。線段：有兩個(gè)端點(diǎn)，有限長(zhǎng)（如線段\(AB\)，可度量）。3.線段的中點(diǎn)：把線段分成相等兩段的點(diǎn)（如點(diǎn)\(M\)是線段\(AB\)的中點(diǎn)，則\(AM=MB=\frac{1}{2}AB\)）。4.角的定義與度量：定義：由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形（靜態(tài)）；或一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形（動(dòng)態(tài)）。度量：\(1\)周角\(=360^\circ\)，\(1\)平角\(=180^\circ\)，\(1\)直角\(=90^\circ\)，\(1^\circ=60'\)，\(1'=60''\)（60進(jìn)制）。5.角的平分線：從角的頂點(diǎn)出發(fā)，把角分成相等兩個(gè)角的射線（如\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，則\(\angleAOC=\angleCOB=\frac{1}{2}\angleAOB\)）。6.余角與補(bǔ)角：余角：和為\(90^\circ\)的兩個(gè)角（如\(\angle\alpha=30^\circ\)，則余角為\(60^\circ\)）。補(bǔ)角：和為\(180^\circ\)的兩個(gè)角（如\(\angle\alpha=30^\circ\)，則補(bǔ)角為\(150^\circ\)）。性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等。（二）針對(duì)性練習(xí)題1.基礎(chǔ)題（鞏固圖形認(rèn)識(shí)與度量）（1）下列圖形中，屬于線段的是（）。A.直線\(AB\)B.射線\(OA\)C.線段\(CD\)D.角\(AOB\)答案：\(C\)。（2）線段\(AB=10\)cm，點(diǎn)\(C\)是\(AB\)的中點(diǎn)，點(diǎn)\(D\)是\(AC\)的中點(diǎn)，則\(BD=\______\)cm。思路：\(AC=CB=5\)cm，\(AD=DC=2.5\)cm，\(BD=BC+CD=5+2.5=7.5\)cm。答案：\(7.5\)。（3）計(jì)算：\(25^\circ30'+35^\circ45'=\______\)；\(180^\circ-60^\circ15'=\______\)。答案：\(61^\circ15'\)；\(119^\circ45'\)（解析：\(30'+45'=75'=1^\circ15'\)，\(25^\circ+35^\circ+1^\circ15'=61^\circ15'\)；\(180^\circ=179^\circ60'\)，\(179^\circ60'-60^\circ15'=119^\circ45'\)）。（4）若\(\angle\alpha=40^\circ\)，則\(\angle\alpha\)的余角是______，補(bǔ)角是______。答案：\(50^\circ\)；\(140^\circ\)（解析：余角\(=90^\circ-40^\circ=50^\circ\)，補(bǔ)角\(=180^\circ-40^\circ=140^\circ\)）。2.提升題（綜合應(yīng)用與思維拓展）（1）如圖，點(diǎn)\(A\)、\(B\)、\(C\)在同一直線上，點(diǎn)\(M\)是\(AB\)的中點(diǎn)，點(diǎn)\(N\)是\(AC\)的中點(diǎn)，若\(AB=8\)cm，\(BC=4\)cm，求\(MN\)的長(zhǎng)度。（注：可畫(huà)線段圖輔助）思路：\(AC=AB+BC=12\)cm，\(AM=MB=4\)cm，\(AN=NC=6\)cm，\(MN=AN-AM=6-4=2\)cm（或\(MN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{1}{2}BC=2\)cm）。答案：\(2\)cm。（2）已知\(\angleAOB=90^\circ\)，\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，\(OD\)是\(\angleAOC\)的平分線，求\(\angleBOD\)的度數(shù)。思路：\(OC\)平分\(\angleAOB\)，故\(\angleAOC=\angleCOB=45^\circ\)；\(OD\)平分\(\angleAOC\)，故\(\angleAOD=\angleDOC=22.5^\circ\)；\(\angleBOD=\angleCOB+\angleDOC=45^\circ+22.5^\circ=67.5^\circ\)。答案：\(67.5^\circ\)（或\(67^\circ30'\)）。（3）一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角大\(30^\circ\)，求這個(gè)角的度數(shù)。思路：設(shè)這個(gè)角為\(x^\circ\)，補(bǔ)角為\((180-x)^\circ\)，余角為\((90-x)^\circ\)，列方程\((180-x)-(90-x)