引言八年級幾何是初中數(shù)學的核心板塊，既是七年級圖形認識的深化，也是九年級四邊形、圓等復雜幾何學習的基礎。本專題聚焦三角形全等、等腰三角形與軸對稱、勾股定理、平行四邊形四大核心內容，通過知識梳理、易錯點提醒、經典例題解析構建系統(tǒng)復習框架，并配套梯度測試卷，幫助學生鞏固基礎、突破難點，提升幾何推理與應用能力。專題一：三角形全等的判定與性質1.知識梳理定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形（記作“≌”）。性質：①對應邊相等（如△ABC≌△DEF，則AB=DE，BC=EF，AC=DF）；②對應角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F）；③對應中線、高、角平分線相等；④周長、面積相等。判定定理（關鍵：“對應”）：定理條件適用場景SSS（邊邊邊）|三邊對應相等|已知三邊長度|SAS（邊角邊）|兩邊及其夾角對應相等|已知兩邊及夾角|ASA（角邊角）|兩角及其夾邊對應相等|已知兩角及夾邊|AAS（角角邊）|兩角及其中一角的對邊對應相等|已知兩角及一邊|HL（斜邊直角邊）|斜邊和一條直角邊對應相等（僅適用于直角三角形）|已知直角三角形的斜邊和一直角邊|2.易錯點提醒誤區(qū)1：SSA不能判定全等（如兩邊及其中一邊的對角相等，兩個三角形可能不全等）；誤區(qū)2：對應邊/角識別錯誤（需根據(jù)全等三角形的字母順序判斷，如△ABC≌△DEF，則A對應D，B對應E）；誤區(qū)3：忽略三角形三邊關系（如用SSS判定時，需確保三邊能構成三角形）。3.經典例題解析例1（SAS判定）：已知AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，求證△ABC≌△ADE。思路：找“兩邊及其夾角”——AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE（夾角），符合SAS。證明：在△ABC和△ADE中，\[\begin{cases}AB=AD\\∠BAC=∠DAE\\AC=AE\end{cases}\]∴△ABC≌△ADE（SAS）。例2（HL判定）：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF，求證△ABC≌△DEF。思路：直角三角形用HL——AB=DE（斜邊），BC=EF（直角邊）。證明：∵∠C=∠F=90°，∴△ABC和△DEF均為直角三角形。在Rt△ABC和Rt△DEF中，\[\begin{cases}AB=DE\\BC=EF\end{cases}\]∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。例3（輔助線：倍長中線）：已知AD是△ABC的BC邊上的中線，求證AB+AC>2AD。思路：倍長中線構造全等三角形，將分散的邊集中到一個三角形中。證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE。∵AD是BC中線，∴BD=CD。在△ADC和△EDB中，\[\begin{cases}AD=ED\\∠ADC=∠EDB\\CD=BD\end{cases}\]∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE。在△ABE中，AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊），∴AB+AC>2AD（AE=2AD，BE=AC）。專題二：等腰三角形與軸對稱1.知識梳理軸對稱性質：①對稱軸垂直平分對應點連線；②對應線段、對應角相等；③軸對稱圖形的對稱軸是對應點連線的垂直平分線。等腰三角形：①性質：等邊對等角（AB=AC→∠B=∠C）；三線合一（頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）；②判定：等角對等邊（∠B=∠C→AB=AC）。等邊三角形：①性質：三邊相等，三角均為60°；三線合一；有三條對稱軸；②判定：三邊相等；三角相等；有一個角為60°的等腰三角形。2.易錯點提醒誤區(qū)1：“三線合一”的條件混淆（必須是等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高）；誤區(qū)2：等腰三角形分類討論遺漏（如已知兩邊長求周長，需考慮腰和底的情況，且滿足三邊關系，如兩邊為2和5，周長只能是12）；誤區(qū)3：軸對稱與中心對稱混淆（等腰三角形是軸對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形）。3.經典例題解析例1（分類討論）：等腰三角形兩邊長為4和7，求周長。解答：當腰為4時，周長=4+4+7=15（4+4>7，符合三邊關系）；當腰為7時，周長=7+7+4=18（7+4>7，符合三邊關系）?！嘀荛L為15或18。例2（三線合一）：等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，BC=6，AD=4，求AB。思路：AD平分BC→BD=3，在Rt△ABD中用勾股定理。解答：∵AD⊥BC，AB=AC，∴BD=BC/2=3。在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=42+32=25，∴AB=5。例3（將軍飲馬問題）：點A、B在直線l同側，求l上一點P，使PA+PB最小。思路：作對稱點，轉化為線段最短。解答：作點A關于l的對稱點A'，連接A'B交l于P，此時PA+PB=A'B最?。▋牲c之間線段最短）。專題三：勾股定理及其逆定理1.知識梳理勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（a2+b2=c2，a、b為直角邊，c為斜邊）；逆定理：若三角形三邊滿足a2+b2=c2（c為最長邊），則該三角形為直角三角形；勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的正整數(shù)（如3,4,5；5,12,13；7,24,25），其倍數(shù)仍為勾股數(shù)（如6,8,10）。2.易錯點提醒誤區(qū)1：勾股定理僅適用于直角三角形（非直角三角形不能用）；誤區(qū)2：逆定理需先確定最長邊（如三邊3,4,5，最長邊5，52=32+42→直角三角形）；誤區(qū)3：勾股數(shù)必須是正整數(shù)（如0.3,0.4,0.5不是勾股數(shù)）。3.經典例題解析例1（勾股定理求邊長）：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求AB。解答：AB2=AC2+BC2=62+82=100，∴AB=10。例2（逆定理判斷形狀）：三角形三邊為5,12,13，判斷形狀。解答：最長邊13，132=169，52+122=25+144=169，∴132=52+122→直角三角形。例3（等腰直角三角形）：等腰直角三角形斜邊長為√8，求直角邊。思路：設直角邊為x，由勾股定理得x2+x2=(√8)2→2x2=8→x=2。專題四：平行四邊形的性質與判定（人教版八年級下）1.知識梳理定義：兩組對邊分別平行的四邊形（記作□ABCD）；性質：①對邊平行且相等（AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC）；②對角相等（∠A=∠C，∠B=∠D）；③對角線互相平分（OA=OC，OB=OD）；④中心對稱圖形（對稱中心為對角線交點）。判定：①兩組對邊分別平行（定義）；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④對角線互相平分；⑤兩組對角分別相等。2.易錯點提醒誤區(qū)1：一組對邊平行、另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形（如等腰梯形）；誤區(qū)2：對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形（如矩形是，但等腰梯形不是）；誤區(qū)3：平行四邊形對角線互相平分，但不一定相等或垂直（矩形對角線相等，菱形對角線垂直）。3.經典例題解析例1（性質應用）：□ABCD中，∠A=60°，AB=3，AD=5，求∠C和BC。解答：∠C=∠A=60°（對角相等），BC=AD=5（對邊相等）。例2（判定證明）：四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求證□ABCD。思路：連接AC，證明△ABC≌△CDA（SSS），得AB∥CD，AD∥BC。證明：連接AC，在△ABC和△CDA中，\[\begin{cases}AB=CD\\BC=DA\\AC=CA\end{cases}\]∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，∴AB∥CD，AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行），∴四邊形ABCD是平行四邊形（定義）。例3（性質與全等結合）：□ABCD對角線交于O，求證△AOB≌△COD。證明：∵□ABCD，∴OA=OC，OB=OD（對角線互相平分），∠AOB=∠COD（對頂角相等），∴△AOB≌△COD（SAS）。八年級數(shù)學幾何篇測試卷答題須知1.本卷共三大題，滿分100分，考試時間90分鐘；2.答題前請將姓名、班級填寫在指定位置；3.解答題需寫出必要的推理過程或計算步驟。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.下列能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFC.AB=DE，BC=EF，△ABC周長=△DEF周長D.∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF2.等腰三角形一個角為50°，底角為（）A.50°B.65°C.50°或65°D.以上都不對3.不是勾股數(shù)的是（）A.3,4,5B.5,12,13C.7,24,25D.0.6,0.8,1.04.□ABCD中，OA=3（O為對角線交點），則AC=（）A.3B.6C.9D.125.點A、B在直線l同側，PA+PB最小的P點位置是（）A.AB中點B.A到l的垂足C.B到l的垂足D.A關于l的對稱點與B的連線和l的交點6.等腰三角形兩邊為3和7，周長為（）A.13B.17C.13或17D.以上都不對7.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，斜邊AB=（）A.13B.14C.15D.168.□ABCD中，∠A=70°，則∠B=（）A.70°B.110°C.120°D.130°9.等邊三角形對稱軸數(shù)量為（）A.1B.2C.3D.410.下列圖形中，既是軸對稱又是中心對稱的是（）A.等腰三角形B.平行四邊形C.矩形D.等邊三角形二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.△ABC≌△DEF，AB=5，則DE=______。12.等腰三角形頂角120°，底邊長6，腰長=______。13.直角三角形斜邊長10，一直角邊6，另一直角邊=______。14.□ABCD中，AB=4，BC=6，則周長=______。15.將軍飲馬問題中，作對稱點的目的是______。三、解答題（本大題共5小題，共55分）16.（10分）已知：如圖，AB=CD，BE=CF，AE=DF。求證：△ABE≌△DCF。17.（11分）等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC中點，E是AB上一點，AE=AD，求∠ADE的度數(shù)。18.（11分）梯子AB靠在墻上，OA=3米（O為墻根），OB=4米，求AB長度。若A向外移動1米到A'，則B下降多少米？19.（11分）已知：□ABCD中，E、F分別是AB、CD中點，求證：四邊形AECF是平行四邊形。20.（12分）如圖，△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，求證：AE=3BE。測試卷答案與解析一、選擇題1.B（A為SSA，C周長相等但三邊不一定對應，D對應邊錯）2.C（50°為頂角時底角65°，為底角時50°）3.D（勾股數(shù)需為正整數(shù)）4.B（平行四邊形對角線互相平分，AC=2OA=6）5.D（將軍飲馬問題，對稱點轉化線段最短）6.B（腰為3時3+3<7，舍去，周長=7+7+3=17）7.A（52+122=132）8.B（平行四邊形鄰角互補，∠B=____=110°）9.C（等邊三角形有3條對稱軸）10.C（矩形既是軸對稱又是中心對稱）二、填空題11.5（全等三角形對應邊相等）12.2√3（作高，用30°角性質或勾股定理）13.8（102-62=82）14.20（周長=2×(4+6)=20）15.將折線轉化為線段（利用兩點之間線段最短）三、解答題16.證明：在△ABE和△DCF中，\[\begin{cases}AB=CD\\BE=CF\\AE=DF\end{cases}\]∴△ABE≌△DCF（SSS）。17.解答：連接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D是BC中點，∴AD=BD=CD（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），∠BAD=45°（三線合一）?！逜E=AD，∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，∠DAE=∠BAD=45°，∴∠ADE=(____)/2=67.5°。18.解答：（1）AB=√(OA2+OB2)=√(32+42)=5米；（2）OA'=3+1=4米，OB'=√(A'B'2-OA'2)=√(52-42)=3米，下降距離=OB-OB'=4-3=1米。19.證明：∵□ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，E、F為AB、CD中點，∴AE=AB/2，CF=CD/2，∴AE=CF，又AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等）。20.證明：設BE=x，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴DE=BE·tan30°=x·(√3/3)，BD=2BE=2x（30°角性質）。∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2BD=4x，AB=AC=BC·cos30°=4x·(√3/2)=2√3x（或用勾股定理：AD=BD·tan30°=2x·(√3/3)=2√3x/3，AB=√(AD2+BD2)=√((4x2/3)+4x2)=√(16x2/3)=4x/√3=2√3x）。在Rt△ADE中，AE=√(AD2-DE2)=√((4x2/3)-(x2/3))=√(3x2/3)=√x2=x？（此處需修正，正確步驟：AB=2√3x，BE=x，∴AE=AB-BE=2√3x-x？不對，應重新設：設AD=h，在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD=2h，BD=AD·cot30°=h√3，BC=2BD=2h√3。DE⊥AB，在Rt△ADE中，∠DAE=60°（∠BAC=____=120°，AD平分∠BAC→∠DAE=60°），∴AE=AD·cos60°=h·1/2=h/2，BE=AB-AE=2h-h/2=3h/2，∴AE=h/2，BE=3h/2→AE=BE/3→BE=3AE？不對，題目是AE=3BE，可能我設反了，正確步驟：設BE=x，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴DE=x·tan30°=x√3/3，BD=BE/cos30°=x/(√3/2)=2x√3/3?！逜B=AC，AD⊥BC，∴AB=BD/cos30°=(2x√3/3)/(√3/2)=4x/3，AD=BD·tan30°=(2x√3/3)(√3/3)=2x/3。在Rt△ADE中，AE=√(AD2-DE2)=√((4x2/9)-(x2/3))=√(x2/9)=x/3？不對，應該用角度：∠DAE=∠BAC/2=60°（AB=AC，AD⊥BC），在Rt△ADE中，∠ADE=30°，∴AE=AD·cos60°=AD·1/2，DE=AD·sin60°=AD·√3/2。在Rt△BDE中，∠B=30°，∴DE=BD·sin30°=BD·1/2，BE=BD·cos30°=BD·√3/2。由DE=AD·√3/2=BD·1/2→AD=BD·1/√3=BD√3/3。AE=