第第頁高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——基本不等式專題知識點知識點·梳理1、重要不等式.2、基本不等式.3、最值定理已知.有下列命題：①如果是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值；②如果是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值；口訣：積定和最小，和定積最大.重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一基本不等式--直接法【例1-1】（2011年真題）已知函數(shù)有最小值8，則【例1-2】（2008年真題）已知函數(shù)有最小值1，則___【例1-3】（2007年真題）函數(shù)的最大值是___【例1-4】（2006年真題）設(shè)，則的最小值等于A、81B、162C、49D、98【變式1】已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式2】若存在，使成立，則的取值范圍是___________.題型二基本不等式--配湊法【例2-1】（2009年真題）函數(shù)的最小值是___【變式1】若，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．16 D．17【變式2】若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式3】函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5題型三基本不等式--“1”的妙用【例3-1】已知，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．25 B．6 C．4 D．5【變式1】已知，則取得最小值時，（

）A． B． C．3 D．

課后模擬課后模擬·鞏固練習(xí)1、已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2、若對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．84．如果，那么的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知，，，則的最小值為（

）．A．4 B． C．6 D．6．設(shè)，且，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．27．函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．8．若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．49．函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－310．已知都是正數(shù)，若，則的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．11．當(dāng)時，函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值212．已知長為?寬為的矩形的面積為，則該矩形周長的最小值為（

）A．4 B．8 C．12 D．1613．已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為．

知識點·梳理知識點·梳理1、重要不等式.2、基本不等式.3、最值定理已知.有下列命題：①如果是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值；②如果是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值；口訣：積定和最小，和定積最大.重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一基本不等式--直接法【例1-1】（2011年真題）已知函數(shù)有最小值8，則【答案】2【解析】，最小值為【例1-2】（2008年真題）已知函數(shù)有最小值1，則___【答案】【解析】由基本不等式得，即【例1-3】（2007年真題）函數(shù)的最大值是___【答案】【解析】最小值8，故最大值【例1-4】（2006年真題）設(shè)，則的最小值等于A、81B、162C、49D、98【答案】B【解析】由基本不等式得，【變式1】已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），的最大值為.故選：B.【變式2】若存在，使成立，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】依題意存在，使成立，即存在，使得，即，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即的最大值為，所以，即；故答案為：題型二基本不等式--配湊法【例2-1】（2009年真題）函數(shù)的最小值是___【答案】21【解析】【變式1】若，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．16 D．17【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故最小值為16故選:C【變式2】若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，【變式3】函數(shù)的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因為，所以3x－1>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時等號成立，故函數(shù)的最小值為5．故選：D．題型三基本不等式--“1”的妙用【例3-1】已知，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．25 B．6 C．4 D．5【答案】D【分析】不等式可化為，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值.【詳解】因為不等式恒成立，，，所以恒成立，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，所以m的最大值為5，故選：D．【變式1】已知，則取得最小值時，（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式運算求解，注意等號成立的條件.【詳解】∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時，等號成立.故選：C.課后模擬課后模擬·鞏固練習(xí)1、已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知等式可得，根據(jù)，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，，得：，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），的最小值為.故選：C.2、若對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，因為恒成立，所以，即；故選：C3．已知且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C． D．8【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值.【詳解】且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，的最小值為8.故選：D4．如果，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式求出最小值即得.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為4.故選：C5．已知，，，則的最小值為（

）．A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】由于，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為.故選：B6．設(shè)，且，則的最小值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解.【詳解】，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為4.故選：B.7．函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先將函數(shù)解析式化為，再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.8．若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】將式子整理為，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】由題意，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故選：D.9．函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－3【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：.10．已知都是正數(shù)，若，則的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．【答案】C【分析】利用將化為積為定值的形式后，由基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值是.故選：C.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.11．當(dāng)時，函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2【答案】B【解析】根據(jù)題中條件，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最值.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.即有最大值1.故選：B.【點睛】本題主要考查由基本不等式求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知長為?寬為的矩形的面積為，則該矩形周長的最小值為（

）A．4