第第頁高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)——數(shù)列的概念及等差數(shù)列專題知識點知識點·梳理一、數(shù)列的概念①數(shù)列的概念：按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為數(shù)列；記作.②數(shù)列的分類1）按照項數(shù)分類：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.2）按照變化趨勢分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列.③數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成是一個自變量為N?的函數(shù).④數(shù)列的通項公式與遞推公式1）遞推公式：如果數(shù)列相鄰兩項(多項)的關(guān)系可以用一個式子表示，這個式子叫做遞推公式.2）通項公式：如果數(shù)列第項與序號的關(guān)系可以用一個式子表示，這個公式叫做通項公式.⑤數(shù)列的前項和1）我們把數(shù)列從第一項到第n項的和稱為數(shù)列前n項和，記為.2）與的關(guān)系：.二、等差數(shù)列①等差數(shù)列的有關(guān)概念1）等差數(shù)列的定義：一個數(shù)列從第2項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)的數(shù)列，其中這個常數(shù)稱為公差.2）等差數(shù)列定義式：.3）等差中項：若成等差數(shù)列，則.4）等差數(shù)列的通項公式：或.5）等差數(shù)列的前n項和：或.②等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和.1）若,則有.2）等差數(shù)列的單調(diào)性：當(dāng)時，是遞增數(shù)列；當(dāng)時，是遞減數(shù)列；當(dāng)時，是常數(shù)數(shù)列.3）若數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，則成等差數(shù)列.4）數(shù)列成等差數(shù)列.5）若數(shù)列是等差數(shù)列，則成等差數(shù)列.6）當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.

重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一數(shù)列的概念及其表示【例1-1】（2024年真題）已知數(shù)列的前項和，則其通項____【例1-2】已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式．【變式1】已知是數(shù)列的前n項和，且滿足，則數(shù)列的通項公式.題型二等差數(shù)列基本量計算【例2-1】在等差數(shù)列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【例2-2】（2023年真題）記為等差數(shù)列的前n項和.若，則（

）A．17 B．19 C．21 D．23【例2-3】（2022年真題節(jié)選）已知函數(shù)，是等差數(shù)列，且(1)求的前項和；【例2-4】（2017年真題）已知等差數(shù)列的公差為，則的前12項和為___【例2-5】（2014年真題）已知是等差數(shù)列，則其第16項的值是___【例2-6】（2012年真題）等差數(shù)列的前項和為，若，則A、8B、9C、10D、11【例2-7】（2011年真題）是等差數(shù)列的前項和，已知，則公差A(yù)、-1B、-2C、1D、2【變式1】在等差數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首項與公差；(8)已知，，求通項．【變式2】（2010年真題）等差數(shù)列中，，公差，若數(shù)列前項和，則A、5B、9C、13D、17【變式3】（2008年真題）已知是等差數(shù)列，，則的通項公式【變式4】（2005年真題）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，則A、235B、175C、205D、265【變式5】已知等差數(shù)列的前n項和，且則（

）A．10 B．15 C．30 D．3【變式6】已知等差數(shù)列，若，，則（

）A．30 B．36 C．24 D．48【變式7】已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．3 B．5 C．7 D．8題型三等差數(shù)列的性質(zhì)【例3-1】（2021年真題）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．B．C．D．【例3-2】（2020年真題）1，3的等差中項是A、1B、2C、3D、4【例3-3】（2019年真題）記等差數(shù)列的前項和為，若，則A、110B、80C、55D、30【例3-4】（2013年真題）等差數(shù)列共有20項，其奇數(shù)項之和為130，偶數(shù)項之和為150，則該數(shù)列的公差為___【例3-5】（2004年真題）在等差數(shù)列中，若，則的值是A、45B、75C、90D、180【例3-6】（2003年真題）在數(shù)列中，若，且對任意，有，則數(shù)列的前10項和為A、5B、C、D、25【變式1】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【變式2】在等差數(shù)列中，，則（

）A．36 B．48 C．60 D．72【變式3】等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．3【變式4】已知5個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為5,平方和為165,求這5個數(shù).課后模擬課后模擬·鞏固練習(xí)1、已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式.2、（多選）已知數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列的通項公式是 B．是它的第項C．此數(shù)列的通項公式是 D．是它的第項3、已知數(shù)列的前n項和，則.4、等差數(shù)列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．365、在等差數(shù)列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)已知，，，求；(6)已知，，，求；(7)已知，，，求d；(8)已知，，，求．6、已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A．60 B．45 C．30 D．157、已知等差數(shù)列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．1608、已知等差數(shù)列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．1609、一個等差數(shù)列共有偶數(shù)項,偶數(shù)項之和為84,奇數(shù)項之和為51,最后一項與第一項之差為63,則該數(shù)列公差為.10、已知，，則、的等差中項為（

）A． B． C． D．11、在等差數(shù)列中，，則（

）A． B．C． D．12、已知是等差數(shù)列的前n項和，，則（

）A．22 B．33 C．40 D．4413、設(shè)等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．18 B．27 C．45 D．6314、已知為等差數(shù)列，若，則=（

）A．73 B．120 C．121 D．12215、一個等差數(shù)列共100項，其和為80，奇數(shù)項和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．16、數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．17、已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．45 B．60 C．160 D．8018、在等差數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1345 D．234519、已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則．20、已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則.

數(shù)列的概念及等差數(shù)列知識點·知識點·梳理一、數(shù)列的概念①數(shù)列的概念：按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)稱為數(shù)列；記作.②數(shù)列的分類1）按照項數(shù)分類：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列.2）按照變化趨勢分類：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列.③數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列可以看成是一個自變量為N?的函數(shù).④數(shù)列的通項公式與遞推公式1）遞推公式：如果數(shù)列相鄰兩項(多項)的關(guān)系可以用一個式子表示，這個式子叫做遞推公式.2）通項公式：如果數(shù)列第項與序號的關(guān)系可以用一個式子表示，這個公式叫做通項公式.⑤數(shù)列的前項和1）我們把數(shù)列從第一項到第n項的和稱為數(shù)列前n項和，記為.2）與的關(guān)系：.二、等差數(shù)列①等差數(shù)列的有關(guān)概念1）等差數(shù)列的定義：一個數(shù)列從第2項開始，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)的數(shù)列，其中這個常數(shù)稱為公差.2）等差數(shù)列定義式：.3）等差中項：若成等差數(shù)列，則.4）等差數(shù)列的通項公式：或.5）等差數(shù)列的前n項和：或.②等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前項和.1）若,則有.2）等差數(shù)列的單調(diào)性：當(dāng)時，是遞增數(shù)列；當(dāng)時，是遞減數(shù)列；當(dāng)時，是常數(shù)數(shù)列.3）若數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，則成等差數(shù)列.4）數(shù)列成等差數(shù)列.5）若數(shù)列是等差數(shù)列，則成等差數(shù)列.6）當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.

重點題型·歸類精講重點題型·歸類精講題型一數(shù)列的概念及其表示【例1-1】（2024年真題）已知數(shù)列的前項和，則其通項____【答案】【解析】，同樣適合通項公式，故【例1-2】已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式．【答案】【解析】由題知，，則，，又，符合上式，所以.故答案為：【變式1】已知是數(shù)列的前n項和，且滿足，則數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然，故.故答案為：題型二等差數(shù)列基本量計算【例2-1】在等差數(shù)列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由，，，則．（2）由，，，則，解得．（3）由，，則．（4）由，，則．【例2-2】（2023年真題）記為等差數(shù)列的前n項和.若，則（

）A．17 B．19 C．21 D．23【答案】B【解析】提示:當(dāng)算出，也可以把數(shù)列的每個數(shù)一個一個列出來，即，方法二:，上式乘以6，下式減上式得，代入上式，解得同理算出和之后，也可以把數(shù)列每個數(shù)一個一個列出來?！纠?-3】（2022年真題節(jié)選）已知函數(shù)，是等差數(shù)列，且(1)求的前項和；解:(1) 為等差數(shù)列,即解得 公差,首項16前項和【例2-4】（2017年真題）已知等差數(shù)列的公差為，則的前12項和為___【答案】90【解析】【例2-5】（2014年真題）已知是等差數(shù)列，則其第16項的值是___【答案】55【解析】首項為-5，公差為4，通項公式；【例2-6】（2012年真題）等差數(shù)列的前項和為，若，則A、8B、9C、10D、11【答案】C【解析】【例2-7】（2011年真題）是等差數(shù)列的前項和，已知，則公差A(yù)、-1B、-2C、1D、2【答案】D【解析】【變式1】在等差數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首項與公差；(8)已知，，求通項．【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8).【解析】（1）由知：；（2）因為，，所以，所以，解得；（3）由知：，解得.（4）在等差數(shù)列中，由，得：，解得，所以.（5）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得，所以.（6）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得，所以.（7）由已知可得，解得.（8）由已知可得，解得.所以，.【變式2】（2010年真題）等差數(shù)列中，，公差，若數(shù)列前項和，則A、5B、9C、13D、17

【答案】B【解析】列舉等差數(shù)列，看前多少項的和為0，，故前9項的和為0【變式3】（2008年真題）已知是等差數(shù)列，，則的通項公式【答案】【解析】，故【變式4】（2005年真題）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，則A、235B、175C、205D、265【答案】A【解析】;解得【變式5】已知等差數(shù)列的前n項和，且則（

）A．10 B．15 C．30 D．3【答案】B【解析】因為是等差數(shù)列，，所以，則，所以.故選：B【變式6】已知等差數(shù)列，若，，則（

）A．30 B．36 C．24 D．48【答案】A【解析】已知等差數(shù)列，①，②，設(shè)數(shù)列的公差為d，②－①得，則．故選：A.【變式7】已知為等差數(shù)列的前項和，若，，則（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】B【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，成等差數(shù)列，而，，，故選：B.題型三等差數(shù)列的性質(zhì)【例3-1】（2021年真題）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．B．C．D．【答案】【解析】，數(shù)列首項為2;，公差【例3-2】（2020年真題）1，3的等差中項是A、1B、2C、3D、4【答案】【解析】有一列有規(guī)律的數(shù)，差相等，1和3中間那個數(shù)就是2，2比1大1，3比2大1，故等差，也就是說2是1和3的等差中項。【例3-3】（2019年真題）記等差數(shù)列的前項和為，若，則A、110B、80C、55D、30【答案】C【解析】是和的等差中項， 是和的等差中項，同理也是和的等差中項， 【例3-4】（2013年真題）等差數(shù)列共有20項，其奇數(shù)項之和為130，偶數(shù)項之和為150，則該數(shù)列的公差為___【答案】2【解析】10個奇數(shù)項，10個偶數(shù)項，差10個，即【例3-5】（2004年真題）在等差數(shù)列中，若，則的值是A、45B、75C、90D、180【答案】D【解析】【例3-6】（2003年真題）在數(shù)列中，若，且對任意，有，則數(shù)列的前10項和為A、5B、C、D、25【答案】C【解析】數(shù)列首項，公差，所以前10項分別是：，首尾相加最后結(jié)果2、5 【變式1】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【答案】B【解析】數(shù)列是等差數(shù)列又故選：B.【變式2】在等差數(shù)列中，，則（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【解析】由題設(shè)，，則，所以.故選：C【變式3】等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則②-①可得：，所以.故選：A.【變式4】已知5個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為5,平方和為165,求這5個數(shù).【答案】見解析【解析】根據(jù)題意設(shè)這5個數(shù)分別為,則,即,解得.當(dāng)時,這5個數(shù)分別為；當(dāng)時,這5個數(shù)分別為.課后模擬課后模擬·鞏固練習(xí)1、已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；顯然時也符合上式，所以.故答案為：2、（多選）已知數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．此數(shù)列的通項公式是 B．是它的第項C．此數(shù)列的通項公式是 D．是它的第項【答案】AB【解析】數(shù)列，即，則此數(shù)列的通項公式為，A正確，C錯，令，解得，故B正確，D錯.故選：AB3、已知數(shù)列的前n項和，則.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足上式.故.故答案為：4、等差數(shù)列中，，求（

）A．45 B．15 C．18 D．36【答案】D【解析】因為是等差數(shù)列，所以，解得，所以，故選：D5、在等差數(shù)列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．(5)已知，，，求；(6)已知，，，求；(7)已知，，，求d；(8)已知，，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.(5)13(6)8(7)(8)【解析】（1），，；（2），，；（3），，；（4），，上兩式聯(lián)立：，，；故答案為：，，-12，28，17.（5）解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，所以；（6）解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得；（7）解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得；（8）解：因為數(shù)列為等差數(shù)列，，，，所以，解得6、已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A．60 B．45 C．30 D．15【答案】B【解析】因為，所以．故選：B．7、已知等差數(shù)列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，公差，，所以,所以，故選：C8、已知等差數(shù)列的公差，，那么（

）A．80 B．120 C．135 D．160【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，公差，，所以,所以，故選：C9、一個等差數(shù)列共有偶數(shù)項,偶數(shù)項之和為84,奇數(shù)項之和為51,最后一項與第一項之差為63,則該數(shù)列公差為.【答案】3【解析】題知不妨設(shè)等差數(shù)列為,首項為,公差為,項數(shù)為,故有,兩式相減,因為,故,故.故答案為:310、已知，，則、的等差中項為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】、的等差中項為.故選：B11、在等差數(shù)列中，，則（