青島三模理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-1,3)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值是（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=31，則該數(shù)列的公差d是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則f(x)的極值點是（）

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=-1

5.直線y=kx+1與圓(x-1)2+(y-2)2=4相切，則k的值為（）

A.1

B.-1

C.√3

D.-√3

6.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a·b的值是（）

A.-5

B.5

C.7

D.-7

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=2，則邊c的值是（）

A.√2

B.2√2

C.√3

D.2√3

8.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)，則f(π/4)的值是（）

A.0

B.1/√2

C.1

D.-1

9.在直角坐標(biāo)系中，點P(x,y)到直線3x-4y+5=0的距離為d，若d=1，則點P的軌跡方程是（）

A.3x-4y+4=0

B.3x-4y+6=0

C.3x-4y=0

D.3x-4y+2=0

10.已知集合A={x|x2-x-2>0}，B={x|x-1<0}，則集合A∩B是（）

A.(-∞,-1)

B.(-1,1)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=tan(x)

2.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點在x軸上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.f(0)=c

D.函數(shù)有最小值0

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的通項公式a?可能為（）

A.2·3??1

B.3·2??2

C.-2·3??1

D.-3·2??2

4.下列命題中，正確的有（）

A.若lim(x→a)f(x)=A，則lim(x→a)|f(x)|=|A|

B.函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處必連續(xù)

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，則對任意x?,x?∈I，若x?<x?，則f(x?)<f(x?)

D.若函數(shù)f(x)在x=a處取得極值，且f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f'(a)=0

5.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x+by+4=0互相平行，則實數(shù)a,b的值可能為（）

A.a=9,b=1

B.a=3,b=9

C.a=-9,b=-1

D.a=1,b=3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},則集合A∪B=_______.

2.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=_______.

3.已知點A(1,2)和B(3,0)，則向量AB的坐標(biāo)表示為_______，其模長|AB|=_______.

4.若直線y=kx+b與圓(x-1)2+(y+2)2=9相切，則k2+b2-6b=_______.

5.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a=3,b=2,C=60°，則cosB=_______.

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知等差數(shù)列{a?}的首項a?=2，公差d=3。求該數(shù)列的前n項和S?，并計算S??的值。

3.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

4.已知直線l?:2x+y-1=0和直線l?:x-2y+3=0。求直線l?和l?的夾角θ的余弦值cosθ。

5.在△ABC中，角A=60°，角B=45°，邊a=√3。求邊b的長度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.D

8.B

9.A

10.B

二、多項選擇題答案

1.ABD

2.ABD

3.AB

4.ABD

5.AC

三、填空題答案

1.{x|x>-1}

2.4

3.(-2,-2),2√2

4.5

5.5/13

四、計算題答案及過程

1.解：

f'(x)=3x2-6x

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

計算端點和極值點處的函數(shù)值：

f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2

f(0)=03-3(0)2+2=2

f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2

比較得，最大值為2，最小值為-2。

2.解：

S?=na?+n(n-1)/2*d

=n(2)+n(n-1)/2*3

=2n+3n(n-1)/2

=2n+3n2/2-3n/2

=3n2/2-n/2

=n/2(3n-1)

S??=10/2*(3*10-1)=5*29=145

3.解：

∫(x2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x2+x)+(x+3)-2]/(x+1)dx

=∫(x(x+1)+1(x+1)+2(x+1)-2)/(x+1)dx

=∫(x+1+1+2-2/(x+1))dx

=∫(x+4-2/(x+1))dx

=∫xdx+∫4dx-∫2/(x+1)dx

=x2/2+4x-2ln|x+1|+C

4.解：

直線l?的斜率k?=-A?/B?=-2/1=-2

直線l?的斜率k?=-A?/B?=-1/(-2)=1/2

兩直線夾角θ的余弦值cosθ=|(k?-k?)/(1+k?k?)|

=|((-2)-1/2)/(1+(-2)*(1/2))|

=|(-4/2-1/2)/(1-1)|

=|-5/2/0|

=|無窮大|

由于分母為0，說明兩直線垂直，所以夾角θ=90°，cosθ=0。

5.解：

根據(jù)正弦定理：a/sinA=b/sinB

所以，b=a*sinB/sinA

=√3*sin45°/sin60°

=√3*(√2/2)/(√3/2)

=√2

各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例

一、選擇題考察的知識點

1.函數(shù)的定義域：考察學(xué)生對函數(shù)定義域概念的理解，以及解不等式的能力。

示例：求函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域。

解：x-1≥0，得x≥1。所以定義域為[1,+∞)。

2.復(fù)數(shù)的模：考察學(xué)生對復(fù)數(shù)模的計算方法掌握程度。

示例：計算復(fù)數(shù)z=3-4i的模|z|。

解：|z|=√(32+(-4)2)=√(9+16)=√25=5。

3.等差數(shù)列：考察學(xué)生對等差數(shù)列基本概念、通項公式和求和公式的掌握。

示例：在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=31，求a??。

解：由a??=a?+5d，得31=10+5d，解得d=4。

所以a??=a??+5d=31+5*4=51。

4.函數(shù)的極值：考察學(xué)生對導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值關(guān)系，以及求函數(shù)極值的方法掌握程度。

示例：求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2的極值點。

解：f'(x)=3x2-6x。

令f'(x)=0，得x=0或x=2。

計算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-6。

f''(0)=-6<0，所以x=0是極大值點。

f''(2)=6>0，所以x=2是極小值點。

5.直線與圓的位置關(guān)系：考察學(xué)生對直線與圓相切條件的理解，以及點到直線距離公式的應(yīng)用。

示例：求過點(1,2)且與圓(x-1)2+(y+1)2=4相切的直線方程。

解：圓心(1,-1)，半徑r=2。

設(shè)切線方程為y-2=k(x-1)。

根據(jù)點到直線距離公式，圓心到切線的距離d=|k(1)-(-1)-2|/√(k2+1)=2。

解得k=-3/4。

所以切線方程為y-2=(-3/4)(x-1)，即3x+4y-11=0。

6.向量的數(shù)量積：考察學(xué)生對向量數(shù)量積定義和計算方法的掌握。

示例：計算向量a=(2,1)和b=(-1,2)的數(shù)量積a·b。

解：a·b=2*(-1)+1*2=-2+2=0。

7.正弦定理：考察學(xué)生對正弦定理的應(yīng)用，以及三角函數(shù)值計算的能力。

示例：在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，求sinA。

解：根據(jù)正弦定理：a/sinA=b/sinB。

所以sinA=a*sinB/b。

需要先求sinB，由C=60°，得A+B=120°。

sinB=sin(120°)=√3/2。

所以sinA=5*(√3/2)/7=5√3/14。

8.三角函數(shù)的值：考察學(xué)生對特殊角的三角函數(shù)值的記憶和應(yīng)用。

示例：計算cos(π/6)的值。

解：cos(π/6)=√3/2。

9.點到直線距離公式：考察學(xué)生對點到直線距離公式的應(yīng)用。

示例：點P(1,2)到直線3x-4y+5=0的距離d是多少？

解：d=|3(1)-4(2)+5|/√(32+(-4)2)=|3-8+5|/√(9+16)=0/5=0。

10.集合的運算：考察學(xué)生對集合運算（并集）的理解和計算能力。

示例：設(shè)集合A={x|x>0},B={x|x<2}，求A∪B。

解：A∪B={x|x>0或x<2}=(-∞,2)∪(0,+∞)。

二、多項選擇題考察的知識點

1.函數(shù)的奇偶性：考察學(xué)生對奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的理解，以及判斷函數(shù)奇偶性的能力。

示例：判斷函數(shù)f(x)=x3+x的定義是否為奇函數(shù)。

解：f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x)。

所以f(x)是奇函數(shù)。

2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：考察學(xué)生對函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，以及求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法掌握程度。

示例：討論函數(shù)f(x)=x2-4x+3的單調(diào)性。

解：f'(x)=2x-4。

令f'(x)>0，得x>2；令f'(x)<0，得x<2。

所以f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增。

3.等比數(shù)列：考察學(xué)生對等比數(shù)列基本概念、通項公式和性質(zhì)的理解。

示例：在等比數(shù)列{a?}中，若a?=12，a?=96，求a??。

解：由a?=a?*q3，得96=12*q3，解得q3=8，所以q=2。

所以a??=a?*q?=96*2?=96*16=1536。

4.極限與連續(xù)性：考察學(xué)生對極限、連續(xù)性基本概念，以及它們之間關(guān)系的理解。

示例：證明函數(shù)f(x)=x2在x=2處連續(xù)。

解：lim(x→2)f(x)=lim(x→2)x2=22=4。

f(2)=22=4。

因為lim(x→2)f(x)=f(2)，所以f(x)在x=2處連續(xù)。

5.直線與直線的位置關(guān)系：考察學(xué)生對直線平行條件的理解，以及直線方程系數(shù)關(guān)系的掌握。

示例：已知直線l?:2x+y-3=0和直線l?:ax+by+4=0平行，求a,b的值。

解：兩直線平行，斜率相等，即-2/a=-1/b，解得a=2b。

又因為兩直線平行，過原點的直線系方程為2x+y+0=0，即2x+y=3。

所以ax+by+4=2x+y+4=3，解得2x+y=-1。

對比系數(shù)，得a=2，b=1。

三、填空題考察的知識點

1.集合的運算：考察學(xué)生對集合運算（并集）的理解和計算能力。

示例：設(shè)集合A={x|x<1},B={x|x>2}，求A∪B。

解：A∪B={x|x<1或x>2}=(-∞,1)∪(2,+∞)。

2.函數(shù)的極限：考察學(xué)生對函數(shù)極限計算方法掌握程度，特別是洛必達法則的應(yīng)用。

示例：計算lim(x→0)(sinx/x)。

解：這是0/0型極限，可以用洛必達法則：

lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(cosx/1)=cos(0)=1。

3.向量的表示和模：考察學(xué)生對向量的坐標(biāo)表示和模的計算方法的掌握。

示例：已知點A(3,4)，點B(1,2)，求向量AB的模|AB|。

解：向量AB=(1-3,2-4)=(-2,-2)。

|AB|=√((-2)2+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。

4.直線與圓的位置關(guān)系：考察學(xué)生對直線與圓相切條件的理解，以及點到直線距離公式的應(yīng)用。

示例：求過點(1,2)且與圓(x-1)2+(y+1)2=4相切的直線與圓心(1,-1)的距離。

解：圓心(1,-1)，半徑r=2。

根據(jù)直線與圓相切的條件，切線與圓心的距離d=r=2。

5.正弦定理：考察學(xué)生對正弦定理的應(yīng)用，以及三角函數(shù)值計算的能力。

示例：在△ABC中，若a=2，b=√3，C=30°，求cosB。

解：根據(jù)正弦定理：a/sinA=b/sinB。

所以sinA=a*sinB/b。

需要先求sinB，由C=30°，得A+B=150°。

sinB=sin(30°)=1/2。

所以sinA=2*(1/2)/√3=1/√3=√3/3。

因為A∈(0,150°)，所以A=60°。

所以cosB=cos(150°-60°)=cos(90°)=0。

四、計算題考察的知識點

1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值：考察學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的計算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法的綜合應(yīng)用能力。

示例：求函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x+1的極值。

解：f'(x)=3x2-12x+9。

令f'(x)=0，得3(x2-4x+3)=0，即3(x-1)(x-3)=0，解得x=1或x=3。

計算二階導(dǎo)數(shù)f''(x)=6x-12。

f''(1)=6-12=-6<0，所以x=1是極大值點。

f''(3)=18-12=6>0，所以x=3是極小值點。

極大值為f(1)=13-6(1)2+9(1)+1=1-6+9+1=5。

極小值為f(3)=33-6(3)2+9(3)+1=27-54+27+1=1。

2.等差數(shù)列的前n項和：考察學(xué)生對等差數(shù)列前n項和公式Sn=n(a?+a?)/2的應(yīng)用。

示