一、解答題1．在平面直角坐標系xOy中，對于給定的兩點P，Q，若存在點M，使得△MPQ的面積等于1，即S△MPQ＝1，則稱點M為線段PQ的“單位面積點”，解答下列問題：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為（1，0）．（1）在點A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，線段OP的“單位面積點”是；（2）已知點E（0，3），F(xiàn)（0，4），將線段OP沿y軸向上平移t（t＞0）個單位長度，使得線段EF上存在線段OP的“單位面積點”，直接寫出t的取值范圍．（3）已知點Q（1，﹣2），H（0，﹣1），點M，N是線段PQ的兩個“單位面積點”，點M在HQ的延長線上，若S△HMN≥S△PQN，求出點N縱坐標的取值范圍．2．如圖，已知//，點是射線上一動點（與點不重合），分別平分和，分別交射線于點．（1）當(dāng)時，的度數(shù)是_______；（2）當(dāng)，求的度數(shù)（用的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)點運動時，與的度數(shù)之比是否隨點的運動而發(fā)生變化?若不變化，請求出這個比值；若變化，請寫出變化規(guī)律．（4）當(dāng)點運動到使時，請直接寫出的度數(shù)．3．如圖1，//，點、分別在、上，點在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點、，且，直接寫出的值．4．汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射出的光束自順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉(zhuǎn)動的速度是/秒，燈射出的光束轉(zhuǎn)動的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．（1）求、的值；（2）如圖2，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈射出的光束到達之前，若兩燈射出的光束交于點，過作交于點，若，求的度數(shù)；（3）若燈射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈射出的光束才開始轉(zhuǎn)動，在燈射出的光束到達之前，燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行?5．閱讀下面材料：小亮同學(xué)遇到這樣一個問題：已知：如圖甲，ABCD，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整．證明：過點E作EFAB，則有∠BEF＝．∵ABCD，∴，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，已知：直線ab，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上，連接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直線交于點E．①如圖1，當(dāng)點B在點A的左側(cè)時，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BED的度數(shù)（用含有α，β的式子表示）．6．如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．7．規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運算，記作(a，b)：如果，那么(a，b)=c．例如：因為23=8，所以(2，8)=3．（1）根據(jù)上述規(guī)定，填空：（3，27）=_______，（5，1）=_______，（2，）=_______．（2）小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：（3n，4n）=（3，4）小明給出了如下的證明：設(shè)（3n，4n）=x，則（3n）x=4n，即（3x）n=4n所以3x=4，即（3，4）=x，所以（3n，4n）=（3，4）．請你嘗試運用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由：(4，5)+(4，6)=(4，30)8．探究與應(yīng)用：觀察下列各式：1+3＝21+3+5＝21+3+5+7＝21+3+5+7+9＝2……問題：（1）在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)；（2）寫出一個能反映此計算一般規(guī)律的式子；（3）根據(jù)規(guī)律計算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）9．?dāng)?shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人感覺十分驚奇，請華羅庚給大家解讀其中的奧秘．你知道怎樣迅速準確的計算出結(jié)果嗎？請你按下面的問題試一試：①，又，，∴能確定59319的立方根是個兩位數(shù)．②∵59319的個位數(shù)是9，又，∴能確定59319的立方根的個位數(shù)是9．③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3因此59319的立方根是39．（1）現(xiàn)在換一個數(shù)195112，按這種方法求立方根，請完成下列填空．①它的立方根是_______位數(shù)．②它的立方根的個位數(shù)是_______．③它的立方根的十位數(shù)是__________．④195112的立方根是________．（2）請直接填寫結(jié)果：①________．②________．10．新定義：對非負數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為<x>,即當(dāng)n為非負數(shù)時，若，則<x>=n.例如<0>=<0.49>=0，<0.5>=<（1）49>=1，<2>=2，<（3）5>=<（4）23>=4，…試回答下列問題：（1）填空：<9.6>=_________；如果<x>=2，實數(shù)x的取值范圍是________________.（2）若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解恰有4個，求<m>的值；（3）求滿足的所有非負實數(shù)x的值.11．已知，在計算：的過程中，如果存在正整數(shù)，使得各個數(shù)位均不產(chǎn)生進位，那么稱這樣的正整數(shù)為“本位數(shù)”．例如：2和30都是“本位數(shù)”，因為沒有進位，沒有進位；15和91都不是“本位數(shù)”，因為，個位產(chǎn)生進位，，十位產(chǎn)生進位．則根據(jù)上面給出的材料：（1）下列數(shù)中，如果是“本位數(shù)”請在后面的括號內(nèi)打“√”，如果不是“本位數(shù)”請在后面的括號內(nèi)畫“×”．106（）；111（）；400（）；2015（）．（2）在所有的四位數(shù)中，最大的“本位數(shù)”是，最小的“本位數(shù)”是．（3）在所有三位數(shù)中，“本位數(shù)”一共有多少個？12．請觀察下列等式，找出規(guī)律并回答以下問題．，，，，……（1）按照這個規(guī)律寫下去，第5個等式是：______；第n個等式是：______．（2）①計算：．②若a為最小的正整數(shù)，，求：．13．如圖，平面直角坐標系中，點的坐標是，點在軸的正半軸上，的面積等于18．（1）求點的坐標；（2）如圖，點從點出發(fā)，沿軸正方向運動，點運動至點停止，同時點從點出發(fā)，沿軸正方向運動，點運動至點停止，點、點的速度都為每秒1個單位，設(shè)運動時間為秒，的面積為，求用含的式子表示，并直接寫出的取值范圍；（3）在（2）的條件下，過點作，連接并延長交于，連接交于點，若，求值及點的坐標．14．已知，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點．（1）如圖1所示時，試問，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．（2）除了（1）的結(jié)論外，試問，，還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫圖并證明（3）當(dāng)滿足，且，分別平分和，①若，則__________°．②猜想與的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）15．在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為，過點作直線軸，垂足為，交線段于點.（1）如圖1，過點作，垂足為，連接.①填空：的面積為______；②點為直線上一動點，當(dāng)時，求點的坐標；（2）如圖2，點為線段延長線上一點，連接，，線段交于點，若，請直接寫出點的坐標為______.16．如果x是一個有理數(shù)，我們定義x表示不小于x的最小整數(shù)．如3.24，2.62，55，66.由定義可知，任意一個有理數(shù)都能寫成xxb的形式（0≤b＜1）．(1)直接寫出x與x，x1的大小關(guān)系；提示1：用“不完全歸納法”推導(dǎo)x與x，x1的大小關(guān)系；提示2：用“代數(shù)推理”的方法推導(dǎo)x與x，x1的大小關(guān)系．(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論解決下列問題：①直接寫出滿足3m74的m取值范圍；②直接寫出方程3.5n22n1的解．.17．（了解概念）在平面直角坐標系中，若，式子的值就叫做線段的“勾股距”，記作．同時，我們把兩邊的“勾股距”之和等于第三邊的“勾股距”的三角形叫做“等距三角形”．（理解運用）在平面直角坐標系中，．（1）線段的“勾股距”；（2）若點在第三象限，且，求并判斷是否為“等距三角形”﹔（拓展提升）（3）若點在軸上，是“等距三角形”，請直接寫出的取值范圍．18．如圖所示，在直角坐標系中，已知，，將線段平移至，連接、、、，且，點在軸上移動（不與點、重合）．（1）直接寫出點的坐標；（2）點在運動過程中，是否存在的面積是的面積的3倍，如果存在請求出點的坐標，如果不存在請說明理由；（3）點在運動過程中，請寫出、、三者之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．某工廠接受了20天內(nèi)生產(chǎn)1200臺GH型電子產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)．已知每臺GH型產(chǎn)品由4個G型裝置和3個H型裝置配套組成．工廠現(xiàn)有80名工人，每個工人每天能加工6個G型裝置或3個H型裝置．工廠將所有工人分成兩組同時開始加工，每組分別加工一種裝置，并要求每天加工的G、H型裝置數(shù)量正好全部配套組成GH型產(chǎn)品．（1）按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成多少套GH型電子產(chǎn)品？請列出二元一次方程組解答此問題．（2）為了在規(guī)定期限內(nèi)完成總?cè)蝿?wù)，工廠決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行G型裝置的加工，且每人每天只能加工4個G型裝置．設(shè)原來每天安排x名工人生產(chǎn)G型裝置，后來補充m名新工人，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）20．閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程有無數(shù)個解，但在實際生活中我們往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得：，（x、y為正整數(shù)）∴，則有．又為正整數(shù)，則為正整數(shù)．由2與3互質(zhì)，可知：x為3的倍數(shù)，從而x=3，代入∴2x+3y=12的正整數(shù)解為問題：（1）請你寫出方程的一組正整數(shù)解：.（2）若為自然數(shù)，則滿足條件的x值為.（3）七年級某班為了獎勵學(xué)習(xí)進步的學(xué)生，購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品，共花費35元，問有幾種購買方案？21．每年的6月5日為世界環(huán)保日，為提倡低碳環(huán)保，某公司決定購買10臺節(jié)省能源的新機器，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的機器可選，其中每臺的價格、產(chǎn)量如下表：甲型機器乙型機器價格（萬元/臺）ab產(chǎn)量（噸/月）240180經(jīng)調(diào)查：購買一臺甲型機器比購買一臺乙型機器多12萬元，購買2臺甲型機器比購買3臺乙型機器多6萬元．（1）求a、b的值；（2）若該公司購買新機器的資金不超過216萬元，請問該公司有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，若公司要求每月的產(chǎn)量不低于1890噸，請你為該公司設(shè)計一種最省錢的購買方案．22．學(xué)校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學(xué)校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．23．對于不為0的一位數(shù)和一個兩位數(shù)，將數(shù)放置于兩位數(shù)之前，或者將數(shù)放置于兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之間就可以得到兩個新的三位數(shù)，將較大三位數(shù)減去較小三位數(shù)的差與15的商記為．例如：當(dāng)，時，可以得到168，618．較大三位數(shù)減去較小三位數(shù)的差為，而，所以．（1）計算：．（2）若是一位數(shù)，是兩位數(shù)，的十位數(shù)字為（，為自然數(shù)），個位數(shù)字為8，當(dāng)時，求出所有可能的，的值．24．用如圖1的長方形和正方形鐵片（長方形的寬與正方形的邊長相等）作側(cè)面和底面、做成如圖2的豎式和橫式的兩種無蓋的長方體容器，（1）現(xiàn)有長方形鐵片2014張，正方形鐵片1176張，如果將兩種鐵片剛好全部用完，那么可加工成豎式和橫式長方體容器各有幾個？（2）現(xiàn)有長方形鐵片a張，正方形鐵片b張，如果加工這兩種容器若干個，恰好將兩種鐵片剛好全部用完．則的值可能是（）A．2019B．2020C．2021D．2022（3）給長方體容器加蓋可以加工成鐵盒．先工廠倉庫有35張鐵皮可以裁剪成長方形和正方形鐵片，用來加工鐵盒，已知1張鐵皮可裁剪出3張長方形鐵片或4張正方形鐵片，也可以裁剪出1張長方形鐵片和2張正方形鐵片．請問怎樣充分利用這35張鐵皮，最多可以加工成多少個鐵盒?25．學(xué)校組織名同學(xué)和名教師參加校外學(xué)習(xí)交流活動現(xiàn)打算選租大、小兩種客車，大客車載客量為人/輛，小客車載客量為人/輛（1）學(xué)校準備租用輛客車，有幾種租車方案?（2）在（1）的條件下，若大客車租金為元/輛，小客車租金為元/輛，哪種租車方案最省錢?（3）學(xué)校臨時增加名學(xué)生和名教師參加活動，每輛大客車有2名教師帶隊，每輛小客車至少有名教師帶隊.同學(xué)先坐滿大客車，再依次坐滿小客車，最后一輛小客車至少要有人，請你幫助設(shè)計租車方案26．材料1：我們把形如（、、為常數(shù)）的方程叫二元一次方程．若、、為整數(shù)，則稱二元一次方程為整系數(shù)方程．若是，的最大公約數(shù)的整倍數(shù)，則方程有整數(shù)解．例如方程都有整數(shù)解；反過來也成立．方程都沒有整數(shù)解，因為6，3的最大公約數(shù)是3，而10不是3的整倍數(shù)；4，2的最大公約數(shù)是2，而1不是2的整倍數(shù)．材料2：求方程的正整數(shù)解．解：由已知得：……①設(shè)（為整數(shù)），則……②把②代入①得：．所以方程組的解為，根據(jù)題意得：．解不等式組得0＜＜．所以的整數(shù)解是1，2，3．所以方程的正整數(shù)解是：，，．根據(jù)以上材料回答下列問題：（1）下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥．沒有整數(shù)解的方程是（填方程前面的編號）；（2）仿照上面的方法，求方程的正整數(shù)解；（3）若要把一根長30的鋼絲截成2長和3長兩種規(guī)格的鋼絲（兩種規(guī)格都要有），問怎樣截才不浪費材料？你有幾種不同的截法？（直接寫出截法，不要求解題過程）27．在平面直角坐標系xOy中．點A，B，P不在同一條直線上．對于點P和線段AB給出如下定義：過點P向線段AB所在直線作垂線，若垂足Q落在線段AB上，則稱點P為線段AB的內(nèi)垂點．若垂足Q滿足|AQ-BQ|最小，則稱點P為線段AB的最佳內(nèi)垂點．已知點A（﹣2，1），B（1，1），C（﹣4，3）．（1）在點P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣，4）中，線段AB的內(nèi)垂點為；（2）點M是線段AB的最佳內(nèi)垂點且到線段AB的距離是2，則點M的坐標為；（3）點N在y軸上且為線段AC的內(nèi)垂點，則點N的縱坐標n的取值范圍是；（4）已知點D（m，0），E（m+4，0），F(xiàn)（2m，3）．若線段CF上存在線段DE的最佳內(nèi)垂點，求m的取值范圍．28．如圖所示，在平面直角坐標系中，點A，，的坐標為，，，其中，，滿足，．（1）求，，的值；（2）若在軸上，且，求點坐標；（3）如果在第二象限內(nèi)有一點，在什么取值范圍時，的面積不大于的面積？求出在符合條件下，面積最大值時點的坐標．29．對，定義一種新的運算，規(guī)定：（其中）．已知，．（1）求、的值；（2）若，解不等式組．30．如圖，在平面直角坐標系中，同時將點A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2個單位長度再向右平移1個單位長度，分別得到A、B的對應(yīng)點C、D．連接AC，BD（1）求點C、D的坐標，并描出A、B、C、D點，求四邊形ABDC面積；（2）在坐標軸上是否存在點P，連接PA、PC使S△PAC＝S四邊形ABCD？若存在，求點P坐標；若不存在，請說明理由．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、解答題1．（1），；（2）或；（3）見解析【分析】（1）分別根據(jù)三角形的面積計算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面積即可；（2）分線段OP在線段EF下方和線段OP在線段EF上方分別求解；（3）畫出圖形，根據(jù)S△PQN=1，得到S△HMN≥，分當(dāng)xN=0時，當(dāng)xN=2時，分別結(jié)合S△HMN≥，得到不等式，求出N點縱坐標的范圍．【詳解】解：（1）S△OPA=，則點A是線段OP的“單位面積點”，S△OPB=，則點B不是線段OP的“單位面積點”，S△OPC=，則點C是線段OP的“單位面積點”，S△OPD=，則點D不是線段OP的“單位面積點”，（2）設(shè)點G是線段OP的“單位面積點”，則S△OPG=1，∵點E的坐標為（0，3），點F的坐標為（0，4），且點G在線段EF上，∴點G的橫坐標為0，∵S△OPG=1，線段OP為y軸向上平移t（t＞0）個單位長度，當(dāng)為單位面積點時，當(dāng)為單位面積點時，綜上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；（3）∵M，N是線段PQ的兩個單位面積點，∴S△PQM=1，S△PQN=1，∵P（1，0），Q（1，-2），∴PQ=2，∴M，N的橫坐標為0或2，∵點M在HQ的延長線上，∴點M的橫坐標為xM=2，∵S△HMN≥S△PQN，∴S△HMN≥，當(dāng)xN=0時，S△HMN=，則，∴或；當(dāng)xN=2時，S△HMN=，則，∴或．【點睛】本題主要考查三角形的面積公式，并且能夠理解單位面積點的定義，解題關(guān)鍵是找到單位面積點的軌跡進行求解．2．（1）120°；（2）90°-x°；（3）不變，；（4）45°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠ABN=180°-x°，根據(jù)角平分線的定義知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-x°；（3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據(jù)BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB：∠ADB=2：1；（4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，當(dāng)∠ACB=∠ABD時有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根據(jù)角平分線的定義可得∠ABP=∠PBN=∠ABN=2∠DBN，由平行線的性質(zhì)可得∠A+∠ABN=90°，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=120°；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP+∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（180°-x°）=90°-x°；（3）不變，∠ADB：∠APB=．∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB：∠ADB=2：1，∴∠ADB：∠APB=；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，當(dāng)∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN，∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠A+∠ABN=90°，∴∠A+2∠DBN=90°，∴∠A+∠DBN=（∠A+2∠DBN）=45°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，由角平分線的定義可設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進而求解；（3）設(shè)直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性質(zhì)及，可得，結(jié)合，可得即可得關(guān)于n的方程，計算可求解n值．【詳解】證明：過點O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過點M作MK∥AB，過點N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∵∴∴x-y=40°，∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，的值為40°；（3）如圖，設(shè)直線FK與EG交于點H，F(xiàn)K與AB交于點K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內(nèi)，∴，∵∴∴即∴解得．經(jīng)檢驗，符合題意，故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子即可；（2）根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)（2）中給出的條件得出方程式，求出t的值，進而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)燈B的要求，t<150，在這個時間段內(nèi)A可以轉(zhuǎn)3次，分情況討論．【詳解】解：（1）．又，．，；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動時間為秒，如圖，作，而，，，，，，（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行．依題意得①當(dāng)時，兩河岸平行，所以兩光線平行，所以所以，即：，解得；②當(dāng)時，兩光束平行，所以兩河岸平行，所以所以，，解得；③當(dāng)時，圖大概如①所示，解得（不合題意）綜上所述，當(dāng)秒或82.5秒時，兩燈的光束互相平行．【點睛】這道題考察的是平行線的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)平行線的性質(zhì)找到對應(yīng)角列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（1）∠B，EF，CD，∠D；（2）①65°；②180°﹣【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖1，過點E作EF∥AB，當(dāng)點B在點A的左側(cè)時，根據(jù)∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，參考小亮思考問題的方法即可求∠BED的度數(shù)；②如圖2，過點E作EF∥AB，當(dāng)點B在點A的右側(cè)時，∠ABC＝α，∠ADC＝β，參考小亮思考問題的方法即可求出∠BED的度數(shù)．【詳解】解：（1）過點E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案為：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如圖1，過點E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度數(shù)為65°；②如圖2，過點E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣．答：∠BED的度數(shù)為180°﹣．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．6．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．【分析】（1）過點A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質(zhì)得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過點A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，線段、角、相交線與平行線，準確的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．7．（1）3，0，-2(2)(4，30)【解析】分析：（1）根據(jù)閱讀材料，應(yīng)用規(guī)定的運算方式計算即可；（2）應(yīng)用規(guī)定和同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)逆用變形計算即可.詳解：（1）∵33=27∴（3，27）=3∵50=1∴（5，1）=1∵2-2=∴（2，）=-2（2）設(shè)（4，5）=x，（4，6）=y則，=6∴∴（4，30）=x+y∴(4，5)+(4，6)=(4，30)點睛：此題是一個規(guī)定計算的應(yīng)用型的題目，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用規(guī)定的關(guān)系式計算，熟練記憶冪的相關(guān)性質(zhì).8．（1）2、3、4、5；（2）第n個等式為1+3+5+7+…+（2n+1）＝n2；（3）﹣1.008016×106．【分析】(1)根據(jù)從1開始連續(xù)n各奇數(shù)的和等于奇數(shù)的個數(shù)的平方即可得到.(2)根據(jù)規(guī)律寫出即可.(3)先提取符號，再用規(guī)律解題.【詳解】解：（1）1+3＝221+3+5＝321+3+5+7＝421+3+5+7+9＝52……故答案為：2、3、4、5；（2）第n個等式為1+3+5+7+…+（2n+1）＝（3）原式＝﹣（1+3+5+7+9+…+2019）＝﹣10102＝﹣1.0201×106．【點睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找到第一個的規(guī)律，然后加以運用即可.9．（1）①兩；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根據(jù)例題進行推理得出答案；②根據(jù)例題進行推理得出答案；③根據(jù)例題進行推理得出答案；④根據(jù)②③得出答案；（2）①先判斷它的立方根是幾位數(shù)，再判斷個位、十位上的數(shù)字，即可得到結(jié)論；②先判斷它的立方根是幾位數(shù)，再判斷個位、十位上的數(shù)字，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）①，，∴，∴能確定195112的立方根是一個兩位數(shù)，故答案為：兩；②∵195112的個位數(shù)字是2，又∵，∴能確定195112的個位數(shù)字是8，故答案為：8；③如果劃去195112后面三位112得到數(shù)195，而，∴，可得，由此能確定195112的立方根的十位數(shù)是5，故答案為：5；④根據(jù)②③可得：195112的立方根是58，故答案為：58；（2）①13824的立方根是兩位數(shù)，立方根的個位數(shù)是4，十位數(shù)是2，∴13824的立方根是24，故答案為：24；②175616的立方根是兩位數(shù)，立方根的個位數(shù)是6，十位數(shù)是5，∴175616的立方根是56，故答案為：56.【點睛】此題考查立方根的性質(zhì)，一個數(shù)的立方數(shù)的特點，正確理解題意仿照例題解題的能力，掌握一個數(shù)的立方數(shù)的特點是解題的關(guān)鍵.10．（1）10；（2）（3）：0，1，2【詳解】分析：（1）①利用對非負數(shù)x“四舍五入”到個位的值為<x>，進而求解即可；（2）首先將<m>看做一個字母，解不等式，進而根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出m的取值；（3）利用得出關(guān)于x的不等式，求解即可.詳解：（1）①10，②；（2）解不等式組得：由不等式組的整數(shù)解恰有4個得，，∴；（3）∵，∴，，∴，∵x為非負整數(shù)，∴x的值為：0，1，（2）點睛：此題主要考查了理解題意的能力，關(guān)鍵是看到所得值是個位數(shù)四舍五入后的值，問題得解.11．（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）（個）．【分析】（1）根據(jù)“本位數(shù)”的定義即可判斷；（2）要想保證不進位，千位、百位、十位最大只能是3，個位最大只能是2，故最大的四位“本位數(shù)”是3332；千位最小為1，百位、十位、個位最小為0，故最小的“本位數(shù)”是1000；（3）要想構(gòu)成“本位數(shù)”，百位可以為1，2，3，十位可以為0，1，2，3，個位可以為0，1，2，所有的三位數(shù)中，“本位數(shù)”一共有（個）．【詳解】解：（1）有進位；沒有進位；有進位；有進位；故答案為：×，√，×，×．（2）要想保證不進位，千位、百位、十位最大只能是3，個位最大只能是2，故最大的四位“本位數(shù)”是3332；千位最小為1，百位、十位、個位最小為0，故最小的“本位數(shù)”是1000，故答案為：3332，1000．（3）要想構(gòu)成“本位數(shù)”，百位可以為1，2，3，十位可以為0，1，2，3，個位可以為0，1，2，所有的三位數(shù)中，“本位數(shù)”一共有（個）．【點睛】本題考查了新定義計算題，準確理解新定義的內(nèi)涵是解題的關(guān)鍵．12．（1），；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可得第5個算式；根據(jù)規(guī)律可得第n個算式；（2）①根據(jù)運算規(guī)律可得結(jié)果．②利用非負數(shù)的性質(zhì)求出與的值，代入原式后拆項變形，抵消即可得到結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)規(guī)律得：第5個等式是，第n個等式是；（2）①，，，；②為最小的正整數(shù)，，，，原式，，，，．【點睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．13．（1）；（2）（）；（3）的值為4，點的坐標是．【分析】（1）根據(jù)△AOB的面積可求得OA的長，即可求得點A的坐標；（2）由題意可分別得，由三角形面積公式即可得結(jié)果，由點Q只在線段OB上運動，從而可得t的取值范圍；（3）利用割補方法，由則可求得t的值；連接OE，由可求得OF的長，從而求得點F的坐標．【詳解】（1）∵B(-6，0)，∴OB=6，∵，∴，∴OA=6，∴．（2）∵，，∴，∴（）（3）∵，，∴，∴，解得，則，∴，連接，如圖∵，∴∴∴點坐標為綜上所述：的值為4，點的坐標是．【點睛】本題考查了代數(shù)式，三角形面積，用到了割補方法，也是本題的關(guān)鍵和難點．14．（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于點是平行線，之間有一動點，因此需要對點的位置進行分類討論：如圖1，當(dāng)點在的左側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為：；（2）當(dāng)點在的右側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為：；（3）①若當(dāng)點在的左側(cè)時，；當(dāng)點在的右側(cè)時，可求得；②結(jié)合①可得，由，得出；可得，由，得出．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，，，，，，；（2）如圖2，當(dāng)點在的右側(cè)時，，，滿足數(shù)量關(guān)系為：；過點作，，，，，，；（3）①如圖3，若當(dāng)點在的左側(cè)時，，，，分別平分和，，，；如圖4，當(dāng)點在的右側(cè)時，，，；故答案為：或30；②由①可知：，；，．綜合以上可得與的數(shù)量關(guān)系為：或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理和及推論等知識點，作輔助線后能求出各個角的度數(shù)，是解此題的關(guān)鍵．15．（1）①6；②的坐標為，；（2）.【解析】【分析】（1）①易證四邊形AECO為矩形，則點B到AE的距離為OA，AE=OC=3，OA=CE=4，S△ABE=AE?OA，即可得出結(jié)果；②設(shè)點的坐標為，分兩種情況:點在點上方，連接,得=++=8,點在點的下方，得=8,分別列出方程解方程即可得出結(jié)果；（2）由S△AOF=S△QBF，則S△AOB=S△QOB，△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，得出OA=CQ，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）①∵CD⊥x軸，AE⊥CD，∴AE∥x軸，四邊形AECO為矩形，點B到AE的距離為OA，∵點A（0，4），點C（3，0），∴AE=OC=3，OA=CE=4，∴S△ABE=AE?OA=×3×4=6，故答案為：6；②設(shè)點的坐標為.（i）∵點坐標為，點坐標為，∴.∵，∴.∴點在點上方，連接（如圖1）.根據(jù)題意得∵，∴，∴，∴.∴當(dāng)點的坐標為.（ii）點在點的下方，連接（如圖2）.∵.∴.∴點在點的下方，根據(jù)題意得∵，∴，∴，∴.∴當(dāng)點的坐標為.（2）（2）∵S△AOF=S△QBF，如圖3所示：∴S△AOB=S△QOB，∵△AOB與△QOB是以AB為同底的三角形，高分別為：OA、QC，∴OA=CQ，∴點Q的坐標為（3，4），故答案為：（3，4）．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了圖形與點的坐標、矩形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算等知識，熟練掌握圖形與點的坐標，靈活運用割補法表示三角形面積列出方程是解題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）①；②或．【分析】（1）提示1：先列出4個x的值，分別得出與的大小關(guān)系，再利用“不完全歸納法”即可得；提示2：先根據(jù)“”得出，再根據(jù)“”即可得；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論得出，據(jù)此解不等式組即可得；②先根據(jù)（1）的結(jié)論得出，再解不等式組求出n的取值范圍，從而可得的取值范圍，然后根據(jù)“為整數(shù)”可得出方程，由此解方程即可得．【詳解】（1）提示1：當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，則由“不完全歸納法”可得：；提示2：，且；（2）①由（1）的結(jié)論得：解得；②由（1）的結(jié)論得：解得為整數(shù)則或解得或．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用、解一元一次方程等知識點，理解新定義，正確求解不等式組是解題關(guān)鍵．17．（1）5；（2）dAC=11，△ABC不是為“等距三角形”；（3）m≥4【分析】（1）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，結(jié)合O、P兩點的坐標即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩點之間的直角距離的定義，用含x、y的代數(shù)式表示出來d（O，Q）=4，結(jié)合點Q（x，y）在第一象限，即可得出結(jié)論；（3）由點N在直線y=x+3上，設(shè)出點N的坐標為（m，m+3），通過尋找d（M，N）的最小值，得出點M（2，-1）到直線y=x+3的直角距離．【詳解】解：（1）由“勾股距”的定義知：dOA=|2-0|+|3-0|=2+3=5，故答案為：5；（2）∵dAB=|4-2|+|2-3|=2+1=3，∴2dAB=6，∵點C在第三象限，∴m＜0，n＜0，dOC=|m-0|+|n-0|=|m|+|n|=-m-n=-（m+n），∵dOC=2dAB，∴-（m+n）=6，即m+n=-6，∴dAC=|2-m|+|3-n|=2-m+3-n=5-（m+n）=5+6=11，dBC=|4-m|+|2-m|=4-m+2-n=6-（m+n）=6+6=12，∵5+11≠12，11+12≠5，12+5≠11，∴△ABC不是為“等距三角形”；（3）點C在x軸上時，點C（m，0），則dAC=|2-m|+3，dBC=|4-m|+2，①當(dāng)m＜2時，dAC=2-m+3=5-m，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，∴5-m+6-m=11-2m=3，解得：m=4（不合題意），又∵5-m+3=8-m≠6-m，②當(dāng)2≤m＜4時，dAC=m-2+3=m+1，dBC=4-m+2=6-m，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+6-m=7≠3，6-m+3=m+1，解得：m=4（不和題意），③當(dāng)m≥4時，dAC=m+1，dBC=m-2，若△ABC是“等距三角形”，則m+1+m-2=3，解得：m=4，m-2+3=m+1恒成立，∴m≥4時，△ABC是“等距三角形”，綜上所述：△ABC是“等距三角形”時，m的取值范圍為：m≥4．【點睛】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是對“勾股距”和“等距三角形”新概念的理解，運用“勾股距”和“等距三角形”解題．18．（1）（2，6）；（2）（，0）或（9，0）；（3）∠OCD+∠DBA=∠BDC或∠OCD-∠DBA=∠BDC【分析】（1）由點的坐標的特點，確定出FC=2，OF=6，得出C（2，6）；（2）分點D在線段OA和在OA延長線兩種情況進行計算；（3）分點D在線段OA上時，∠OCD+∠DBA=∠BDC和在OA延長線∠OCD-∠DBA=∠BDC兩種情況進行計算．【詳解】解：（1）如圖，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，過B作BE⊥x軸，垂足為E，∵A（6，0），B（8，6），∴FC=AE=8-6=2，OF=BE=6，∴C（2，6）；（2）設(shè)D（x，0），當(dāng)△ODC的面積是△ABD的面積的3倍時，若點D在線段OA上，∵OD=3AD，∴×6x=3××6（6-x），∴x=，∴D（，0）；若點D在線段OA延長線上，∵OD=3AD，∴×6x=3××6（x-6），∴x=9，∴D（9，0）；（3）如圖，過點D作DE∥OC，由平移的性質(zhì)知OC∥AB．∴OC∥AB∥DE．∴∠OCD=∠CDE，∠EDB=∠DBA．若點D在線段OA上，∠BDC=∠CDE+∠EDB=∠OCD+∠DBA，即∠OCD+∠DBA=∠BDC；若點D在線段OA延長線上，∠BDC=∠CDE-∠EDB=∠OCD-∠DBA，即∠OCD-∠DBA=∠BDC．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了點三角形面積的計算方法，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是分點D在線段OA上，和OA延長線上兩種情況．19．（1）按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成48套GH型電子產(chǎn)品；（2）x＝.【解析】【分析】（1）設(shè)x人加工G型裝置，y人加工H型裝置，由題意可得：，解方程組，再由G配件總數(shù)除以4可得總套數(shù)；（2）由題意可知：3（6x+4m）=3（80-x）×4，再用含m的式子表示x.【詳解】解：（1）設(shè)x人加工G型裝置，y人加工H型裝置，由題意可得：解得：，6×32÷4=48（套），答：按照這樣的生產(chǎn)方式，工廠每天能配套組成48套GH型電子產(chǎn)品．（2）由題意可知：3（6x+4m）=3（80-x）×4，解得：x＝，【點睛】本題考核知識點：列方程組解應(yīng)用題.解題關(guān)鍵點：找出相等關(guān)系，列出方程.20．（1）方程的正整數(shù)解是或．（只要寫出其中的一組即可）；（2）滿足條件x的值有4個：x=3或x=4或x=5或x=8；（3）有兩種購買方案：即購買單價為3元的筆記本5本，單價為5元的鋼筆4支；或購買單價為3元的筆記本10本，單價為5元的鋼筆1支．【解析】（1）---------------------------．（2）C（3）解：設(shè)購買單價為3元的筆記本x個，購買單價5元的鋼筆y個，由題意得：3x+5y=35此方程的正整數(shù)解為有兩種購買方案:方案一：購買單價為3元的筆記本5個，購買單價為5元的鋼筆4支．方案二：購買單價為3元的筆記本10個，購買單價為5元的鋼筆1支（1）只要使等式成立即可（2）x-2必須是6的約數(shù)（3）設(shè)購買單價為3元的筆記本x個，購買單價5元的鋼筆y個，根據(jù)題意列二元一次方程，去正整數(shù)解求值21．（1）；（2）有4種方案：3臺甲種機器，7臺乙種機器；2臺甲種機器，8臺乙種機器；1臺甲種機器，9臺乙種機器；10臺乙種機器.（3）最省錢的方案是購買2臺甲種機器，8臺乙種機器.【分析】（1）根據(jù)購買一臺甲型機器比購買一臺乙型機器多12萬元，購買2臺甲型機器比購買3臺乙型機器多6萬元這一條件建立一元二次方程組求解即可,（2）設(shè)買了x臺甲種機器,根據(jù)該公司購買新機器的資金不超過216萬元，建立一次不等式求解即可,（3）將兩種機器生產(chǎn)的產(chǎn)量相加,使總產(chǎn)量不低于1890噸，求出x的取值范圍,再分別求出對應(yīng)的成本即可解題.【詳解】（1）解：由題意得,解得，；（2）解：設(shè)買了x臺甲種機器由題意得:30＋18(10－x)≤216解得：x≤3∵x為非負整數(shù)∴x＝0、1、2、3∴有4種方案：3臺甲種機器，7臺乙種機器；2臺甲種機器，8臺乙種機器；1臺甲種機器，9臺乙種機器；10臺乙種機器.（3）解：由題意得：240＋180（10－x）≥1890解得：x≥1.5∴1.5≤x≤3∴整數(shù)x＝2或3當(dāng)x＝2時購買費用＝30×2＋18×8＝204(元)當(dāng)x＝3時購買費用＝30×3＋18×7＝216(元)∴最省錢的方案是購買2臺甲種機器，8臺乙種機器.【點睛】本題考查了利潤的實際應(yīng)用,二元一次方程租的實際應(yīng)用,一元一次不等式的實際應(yīng)用,難度較大,認真審題,找到等量關(guān)系和不等關(guān)系并建立方程組和不等式組是解題關(guān)鍵.22．（1）A的單價30元，B的單價15元（2）購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少【分析】（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，根據(jù)題意得到由題意可知，，，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；【詳解】解：（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意，得，，A的單價30元，B的單價15元；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，，，，當(dāng)時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；【點睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用；能夠根據(jù)條件列出方程組，將最優(yōu)方案轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵．23．(1)=6；(2)a=3，b=78或a=7，b=78.【分析】(1)=(217-127)÷15=6；(2)分1≤a＜5，a=5，5＜a≤9三種情形討論計算.【詳解】(1)當(dāng)，時，可以得到217，127．較大三位數(shù)減去較小三位數(shù)的差為，而，∴．(2)當(dāng)，時，可以得a50，5a0．三位數(shù)分別為100a+50,500+10a，當(dāng)1≤a＜5時，（500+10a）-（100a+50）=450-90a，而，∴=，∴=；當(dāng)a=5時，（500+10a）-（100a+50）=0，而，∴=0，∴=0；當(dāng)5＜a≤9時，（100a+50）-（500+10a）=90a-450，而，∴=，∴=a-5；當(dāng)，時，可以得900+10x+8，100x+98．∵，∴（900+10x+8）-（100x+98）=810-90x，而，∴=，，∴=；當(dāng)1≤a＜5時，5-a+27-3x=8,∴a+3x=24,∴當(dāng)a=1時，x=（舍去），當(dāng)a=2時，x=（舍去），當(dāng)a=3時，x=7，當(dāng)a=4時，x=（舍去），∴a=3，b=78；當(dāng)a=5時，則27-3x=8,∴x=（舍去），當(dāng)5＜a≤9時，則a-5+27-3x=8,∴3x-a=14,∴當(dāng)a=6時，x=（舍去），當(dāng)a=7時，x=7，當(dāng)a=8時，x=（舍去），當(dāng)a=9時，x=（舍去），∴a=7，b=78；綜上所述，a=3，b=78或a=7，b=78.【點睛】本題考查了新定義問題和二元一次方程的整數(shù)解，準確理解新定義的意義，靈活運用分類思想和枚舉法是解題的關(guān)鍵.24．（1）豎式長方體鐵容器100個，橫式長方體鐵容器538個；（2）B；（3）19個【分析】（1）設(shè)可以加工豎式長方體鐵容器x個，橫式長方體鐵容器y個，根據(jù)加工的兩種長方體鐵容器共用了長方形鐵片2014張、正方形鐵片1176張，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)豎式紙盒c個，橫式紙盒d個，由題意列出方程組可求解．（3）設(shè)做長方形鐵片的鐵板為m塊，做正方形鐵片的鐵板為n塊，由鐵板的總數(shù)量及所需長方形鐵片的數(shù)量為正方形鐵皮的2倍，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，取其整數(shù)部分再將剩余鐵板按一張鐵板裁出1個長方形鐵片和2個正方形鐵片處理，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)可以加工豎式長方體鐵容器x個，橫式長方體鐵容器y個，依題意，得：，解得：，答：可以加工豎式長方體鐵容器100個，橫式長方體鐵容器538個．（2）設(shè)豎式紙盒c個，橫式紙盒d個，根據(jù)題意得：，∴5c+5d=5（c+d）=a+b，∴a+b是5的倍數(shù)，可能是2020，故選B；（3）設(shè)做長方形鐵片的鐵板為m塊，做正方形鐵片的鐵板為n塊，依題意，得：，解得：，∵在這35塊鐵板中，25塊做長方形鐵片可做25×3=75（張），9塊做正方形鐵片可做9×4=36（張），剩下1塊可裁出1張長方形鐵片和2張正方形鐵片，∴共做長方形鐵片75+1=76（張），正方形鐵片36+2=38（張），∴可做鐵盒76÷4=19（個）．答：最多可以加工成19個鐵盒．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程（組）．25．（1）有3種租車方案；（2）租5輛大客車，2輛小客車最省錢；（3）租用大客車2輛，小客車7輛；或租10輛小客車.【分析】（1）設(shè)租大客車x輛，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的不等式，求得不等式的解集后，再根據(jù)x為整數(shù)即可確定租車方案；（2）依次計算（1）題中的租車方案，比較結(jié)果即可得出答案；（3）設(shè)租大客車x輛，小客車y輛，根據(jù)客車的座位數(shù)滿足的條件可確定x、y滿足的不等式組，進一步可確定x、y滿足的方程，再由帶隊的老師數(shù)可確定x、y滿足的不等式，二者結(jié)合即可確定租車方案.【詳解】解：（1）由題意知：本次乘車共270+7=277（人）.設(shè)租大客車x輛，則小客車（7－x）輛，根據(jù)題意，得，解得：，因為x為整數(shù)，且x≤7，所以x=5，6，7，即有3種租車方案.（2）方案一：當(dāng)x=7，所租7輛皆為大客車時，租車費用為：7×400=2800（元），方案二：當(dāng)x=6，所租6輛為大客車，1輛為小客車時，租車費用為：6×400+300=2700（元），方案三：當(dāng)x=5,所租5輛為大客車，2輛為小客車時，租車費用為：5×400+300×2=2600（元），所以，租5輛大客車，2輛小客車最省錢.（3）乘車總?cè)藬?shù)為270+7+10+4=291（人），因為最后一輛小客車最少20人，則客車空位不能大于10個，所以客車的總座位數(shù)應(yīng)滿足：291≤座位數(shù)≤301.設(shè)租大客車x輛，小客車y輛，則291≤45x+30y≤301，即，∵x、y均為整數(shù)，∴3x+2y=20，即.∵每輛大客車有2名教師帶隊，每輛小客車至少有名教師帶隊，∴2x+y≤11.把代入上式，得，解得.又∵x為整數(shù)且是2的倍數(shù)，∴x=2，y=7或x=0，y=10.故租車方案為：租大客車2輛，小客車7輛；或租10輛小客車.【點睛】本題考查了不等式和不等式組的實際應(yīng)用、二元一次方程的整數(shù)解等知識，正確理解題意，列出不等式和不等式組是解題的關(guān)鍵.26．（1）①⑥；（2），，；（3）有四種不同的截法不浪費材料，分別為2長的鋼絲12根，3長的鋼絲2根；或2長的鋼絲9根，3長的鋼絲4根；或2長的鋼絲6根，3長的鋼絲6根；或2長的鋼絲3根，3長的鋼絲8根【分析】（1）依據(jù)題中給出的判斷方法進行判斷，先找出最大公約數(shù)，然后再看能否整除c，從而來判斷是否有整數(shù)解；（2）依據(jù)材料2的解題過程，即可求得結(jié)果；（3）根據(jù)題意，設(shè)2長的鋼絲為根，3長的鋼絲為根（為正整數(shù)）．則可得關(guān)于x，y的二元一次方程，利用材料2的求解方法，求得此方程的整數(shù)解，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①，因為3，9的最大公約數(shù)是3，而11不是3的整倍數(shù)，所以此方程沒有整數(shù)解；②，因為15，5的最大公約數(shù)是5，而70是5的整倍數(shù)，所以此方程有整數(shù)解；③，因為6，3的最大公約數(shù)是3，而111是3的整倍數(shù)，所以此方程有整數(shù)解；④，因為27，9的最大公約數(shù)是9，而99是9的整倍數(shù)，所以此方程有整數(shù)解；⑤，因為91，26的最大公約數(shù)是13，而169是13的整倍數(shù)，所以此方程有整數(shù)解；⑥，因為22，121的最大公約數(shù)是11，而324不是11的整倍數(shù)，所以此方程沒有整數(shù)解；故答案為：①⑥．