圓與圓的位置關系知識儲備圓與圓的位置關系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|公切線條數(shù)43210題型一：判斷圓與圓的位置關系1．已知圓C1:xA．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關系，利用圓心距與半徑間的關系判斷即可.【詳解】C1:x2+C2:x則圓C2的圓心為C222=4?2<C故選：C.2．已知圓C:(x?a)2+A．a(chǎn)=1B．點1,4在圓的內(nèi)部C．圓D:(x?9)2+D．當直線mx+y?2=0平分圓C的周長時，m=1【答案】ACD【分析】根據(jù)圓C的半徑為r=2，求得a的值，可判定A正確；根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法，可判定B不正確；根據(jù)圓圓的位置關系的判定方法，可判定C正確；根據(jù)mx+y?2=0平分圓C的周長時，得到圓心C(1,1)在直線上，求得m的值，可判定D正確.【詳解】對于A中，由圓C:(x?a)2+可得r2=4a=4，解得a=1，即對于B中，由(1?1)2+(4?1)對于C中，由圓D:(x?9)2+(y+5)2又由圓C:(x?1)2+(y?1)2可得CD=即兩圓的圓心距等于半徑之和，所以兩圓相外切，所以C正確；對于D中，當直線mx+y?2=0平分圓C的周長時，圓心C(1,1)在直線上，可得m+1?2=0，解得m=1，所以D正確．故選：ACD.3．已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:x?3A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】先判斷圓C1與圓C【詳解】依題意，圓C1的圓心O1(0,0)，半徑r1=1，圓C則|O因圓C覆蓋圓C1，C2，所以圓C半徑的最小值為故選：A.題型二：由圓與圓的位置關系確定圓的方程4．已知圓F的圓心坐標為1,0，且被直線x+y?2=0截得的弦長為2．(1)求圓F的方程；(2)若動圓M與圓F相外切，又與y軸相切，求動圓圓心M的軌跡方程；【答案】(1)(x?1)(2)y2=4x【分析】（1）設圓F的方程為(x?1)2+y2=（2）設點M(x,y)，由題意可得圓M的半徑為|x|，由動圓M與圓F相外切可得|MF|=1+|x|，整理后分類化簡即得動點軌跡方程.【詳解】（1）設圓F的方程為(x?1)2+y由圓心F(1,0)到直線x+y?2=0的距離為d=|1?2|由弦長公式可得2r2?故圓F的方程為(x?1)2（2）設點M(x,y)，則動圓M的半徑為x，因動圓M與圓F相外切，則|MF|=1+x即(x?1)2+y故當x>0時，y2=4x，當x<0時，y=0，當x=0時，點M(0,0)在圓故動圓圓心M的軌跡方程為y2=4xx>05．已知圓C1:x2+(y+5)2(1)求直線l的方程；(2)設圓C2與圓C1關于直線l對稱，求出圓【答案】(1)x+2y+5=0(2)(x?2)【分析】（1）根據(jù)點A在圓C1上，切線與半徑C（2）根據(jù)對稱性先確定圓心C2的坐標，再根據(jù)兩圓半徑相等可得圓C【詳解】（1）如圖：由題可得圓心C1(0,?5)，因為12+?3+52=5，所以點A因kAC1=?3+5故直線l的直線方程為y+3=?12(x?1)（2）因為圓C2與圓C1關于直線l對稱，所以點A恰為故得C2(2,?1)，又圓C2的半徑為56．已知圓x2+y2=1和圓x?3【答案】2或4【分析】由兩圓位置關系構造方程求解即可.【詳解】圓x2+y由題可得|r?1|=3(r>0)或r+1=3，解得r=2或故答案為：2或47．已知M,N分別為圓A:x2+y2=1與圓【答案】2【分析】首先根據(jù)兩個圓的方程判斷兩個圓的位置關系，從而確定點M,N之間距離的最小值.【詳解】因為圓A:x2+所以圓心A0,0，圓A的半徑為1；圓心B4,0，圓兩圓心之間的距離為AB=4>1+1所以MN的最小值為4?2=2.故答案為：2.題型三：相交圓的公共弦8．圓x2+y2?4x+4y+4=0【答案】2【分析】先將圓的方程化為標準方程，確定圓心和半徑，然后通過兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程，再利用點到直線距離公式求出圓心到公共弦的距離，最后結合勾股定理求出弦長.【詳解】法1，兩圓x2+y2?4x+4y+4=0與圓x2+法2，兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程x?y?2=0，圓x2+y2=4的圓心0,0故公共弦長為2r故答案為：229．圓C1:x2+y2=4與圓A．12或4 B．12或4 C．16或4 D．16或4【答案】B【分析】利用圓的方程求得公共弦所在直線方程，由點到直線的距離公式，求得弦心距，根據(jù)弦長公式建立方程，求得參數(shù)，結合圓的方程成立條件檢驗，可得答案.【詳解】兩圓方程作差可得4x?4y=4?a，即公共弦所在直線方程為4x?4y+a?4=0，由圓C1:x2+點C1到公共弦所在直線的距離d=公共弦長為2r2?d2=22由圓C2:x則a+8>0，所以a=12或?4.故選：B.10．已知圓P:x2+y2+2y=0與圓A．兩圓有2條公切線B．圓P與圓Q的公共弦所在直線的方程是y=2xC．ABD．四邊形PAQB的面積為2【答案】ABD【分析】求出圓心距后可判斷A的正誤，兩圓方程相減后可得公共弦方程，故可判斷B的正誤，利用弦長公式求出AB可判斷C的正誤，利用面積公式求出四邊形PAQB的面積后可判斷D的正誤.【詳解】由題設可圓P:x2+而Q:x+22+對于A，PQ=而r2對于B，兩圓方程相減后可得公共弦方程為2y?4x=0即y=2x，故B正確；對于C，P到直線y=2x的距離為d=1故AB=2對于D，因為PQ⊥AB，故四邊形PAQB的面積為12故選：ABD.題型四：圓的公切線11．圓x2+y2=1【答案】3【分析】確定兩圓的位置關系，進而求出公切線條數(shù).【詳解】圓x2+y2=1圓(x?3)2+(y?4)2=16而|OC|=32+42所以兩圓的公切線條數(shù)是3.故答案為：312．若圓C1:x2+y?12A．0,1∪1,1+22C．?1?22,1∪【答案】D【分析】根據(jù)兩圓的公切線數(shù)量得出兩點間距離范圍，再結合一元二次不等式求解即可.【詳解】因為圓C1：x2+y?12所以圓C1：x2+y?12所以2?1<C所以1<?12+故選:D.13．已知圓C:x+22+y2A．直線l與圓C不可能相切B．當m=0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1C．恰有三條直線與圓C和圓x2D．直線l與直線2x?m+1【答案】B【分析】對于A項，求出直線l經(jīng)過的定點坐標，判斷該點與圓的關系，即可判斷；對于B項，代入m=0，得出直線的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案；對于C項，根據(jù)兩直線的系數(shù)計算即可得出；對于D項，根據(jù)已知可知兩圓外切，根據(jù)已知求出兩圓圓心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】對于A項，整理直線l:(m+1)x+2y?1+m=0(m∈R)可得出mx+1解方程組x+1=0x+2y?1=0可得x=?1y=1，直線l過定點圓C:(x+2)2+y2則AC=所以點A在圓內(nèi)，即直線l過圓內(nèi)一定點，所以，直線l與圓C一定相交，不可能相切.故A正確；對于B項，當m=0時，直線l化為x+2y?1=0.此時有圓心C?2,0到直線l的距離d=?2×1?11因此圓C上只有兩個點到直線l的距離等于1.故B錯誤；對于C項，圓x2+y圓心為M1,?4，半徑為R=3因為MC=5=r+R即恰有三條直線與圓C和圓x2對于D項，因為m+1×2?2所以直線l與直線2x?(m+1)y=0垂直，故D項正確.故選：B14．圓C1:(x?2)2+y2=4，圓A．相離 B．有3條公切線C．關于直線x?y=0對稱 D．公共弦所在直線方程為x+y+1=0【答案】C【分析】求出兩圓的圓心及半徑、兩圓的圓心距離判斷ABD；求出線段C1【詳解】圓C1:(x?2)2+圓C2:x2+(y?2)2圓C1與圓C對于D，兩圓方程相減得公共弦所在直線方程x?y=0，D錯誤；對于C，線段C1C2的中垂線的斜率為?1，過線段C1C又圓C1與圓C2是等圓，它們關于線段故選：C15．寫出圓C1:(x?1)2+【答案】x=0（答案不唯一）【分析】根據(jù)圓的方程判斷兩圓位置關系，即外切，進而求切點，結合已知求公切線方程，即可得答案.【詳解】由題設，圓心C1(1,0)、C2設切點為Em,n，C1C2=5又過E與C1C2該公切線方程為y?45=?設兩圓的一條外公切線與兩圓的切點分別為A,B，連接C1A,C2B則C1所以tan∠D所以直線C1D，即直線AB的斜率為設直線AB為7x?24y+m=0(m<0)，則7+m7所以m=?32，故AB為7x?24y?32=0．由圖易知，另一條外公切線的方程為x=0．故兩圓的公切線方程為x=0或3x+4y?8=0或7x?24y?32=0（填其中之一即可）．故答案為：x=0（答案不唯一）16．已知動點P到兩定點A(0,0)和B(3,0)的距離之比為12(1)求動點P的軌跡C1(2)已知圓C2：(x?1)2+y2【答案】(1)(x+1)(2)相交；y=33【分析】（1）設P(x,y)，根據(jù)題意得到PB=2（2）利用兩圓的位置關系判斷得C1和C【詳解】（1）依題意，設P(x,y)，則PAPB=1所以PB2=4PA2，則故動點P的軌跡C1的方程為(x+1)（2）由（1）知，動點P的軌跡C1是一個圓，其圓心C1?1,0圓C2：(x?1)2+y2所以C1C2=2，顯然r1所以圓C1和圓C不妨設為y=kx+b，即kx?y+b=0，則有?k+b1+k2=r1=2當b=?3k時，得k?3k1+k2=1，解得當k=33時，b=?3k=?3當k=?33時，b=?3k=3當b=?k3時，得綜上，公切線方程為y=33x?17．圓C1:x2+y2?2x?2y+1=0與圓A．AB的直線方程為2x+2y?3=0 B．公共弦AB的長為14C．圓C1與圓C2的公切線段長為1 D．線段AB【答案】AC【分析】對于A，兩圓方程相減可求出直線AB的方程，對于B，利用弦心距、弦和半徑的關系可求公共弦AB的長，對于C，求出C1C2，再由C1C22【詳解】由x2+y2?2x?2y+1=0，得(x?1)由x2+y2?4x?4y+4=0，得(x?2)對于A，公共弦AB所在的直線方程為x2即2x+2y?3=0，所以A正確，對于B，C2(2,2)到直線AB的距離所以公共弦AB的長為AB=2對于C，因為C1C2=(1?2)所以圓C1與圓C2的公切線長為對于D，根據(jù)題意可知線段AB的中垂線就是直線C1C2所以直線C1C2為y?1=x?1故選：AC.18．已知圓M:x2+y2A．兩圓是外切的位置關系B．直線MN的方程為4x?3y?4=0C．若P、Q兩點分別是圓M和圓N上的動點，則PQ的最大值為5D．圓M和圓N的一條公切線段長為2【答案】ABD【分析】根據(jù)圓心距與兩圓半徑之和相等可知A正確，利用M,N兩點坐標即可得B正確；易知當P,M,N,Q四點共線且P,Q在M,N兩側時，取得最大值為10，可得C錯誤；根據(jù)兩半徑差和圓心距可得公切線段長為26【詳解】由題意可知圓M:x?12+y2圓N:x?42+y?42兩圓圓心距MN=所以兩圓外切，即A正確；由圓心坐標可知kMN=4?04?1=即4x?3y?4=0，所以B正確；由圓與圓之間的位置關系可得PQ的最大值為MN+當P,M,N,Q四點共線且P,Q在M,N兩側時，取得最大值，可得C錯誤；設AB為兩圓的一條公切線，切點分別為A,B，易知MA⊥AB,NB⊥AB，作MC⊥NB于點C，則NC=r又MN=5，則AB=MC=52故選：ABD19．已知圓M:(x+1)2+y2=2與直線l:x?y?3=0，點P在直線l上運動，直線PA，PB分別與圓M切于點A．四邊形PAMB的面積最小值為2B．|PA|最短時，弦AB長為3C．|PA|最短時，弦AB直線方程為x?y=0D．直線AB過定點?【答案】ACD【分析】A選項，根據(jù)面積公式得到當PM⊥l時四邊形PAMB的面積最小，然后求面積；B選項，利用等面積的思路求AB；C選項，根據(jù)PA⊥AM，PB⊥BM得到A,B為以PM為直徑的圓上的點，然后根據(jù)圓的方程求弦AB所在直線的方程；D選項，設Pm,n，借助圓的方程得到直線AB的方程為m+1【詳解】由題意得四邊形PAMB的面積S=MB?PB因為MB=MA=2，PB=PM最小為點M到直線l的距離，所以PMmin所以四邊形PAMB的面積最小值為2×由圓的性質(zhì)得AB⊥PM，由A選項可得，PA最短時，四邊形PAMB的面積最小，