1.3正方形的性質(zhì)與判定學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．2．如圖，在正方形和正方形中，點(diǎn)G在上，，，H是的中點(diǎn)，那么的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，添加下列條件，能使菱形成為正方形的是（

）

A． B． C． D．平分4．如圖，正方形中，，將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，G剛好是邊的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）

A．3 B．4 C．4.5 D．55．如圖，四邊形為正方形，為、的交點(diǎn)，為，，若，，則正方形的面積為（）A． B． C． D．6．有下列說(shuō)法：①對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③有一組鄰邊相等的矩形是正方形；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．其中，正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．已知平行四邊形中，，如果添加一個(gè)條件，使得該四邊形成為正方形，那么所添加的這個(gè)條件可以是（

）A．∠D=90° B．AB=CD C．AB=BC D．AC=BD8．如圖，將一張矩形紙片對(duì)折，再對(duì)折，然后剪下一個(gè)角．為了得到一個(gè)正方形，剪刀與折痕所成的角的度數(shù)應(yīng)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在菱形中，，，則正方形的面積為（

）A．8 B．12 C．16 D．2010．如圖，已知邊長(zhǎng)為的正方形，為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則的面積是（

）

A．8 B．9 C．10 D．1211．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對(duì)角線互相垂直且平分C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角12．一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，它的各邊邊長(zhǎng)減少后，得到的新正方形的周長(zhǎng)為，與之間的函數(shù)解析式是（）A． B．C． D．以上都不對(duì)二、填空題13．定義：對(duì)角線垂直的四邊形叫做“對(duì)垂四邊形”．如圖，在“對(duì)垂四邊形”中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，且四邊形是“對(duì)垂四邊形”，則四邊形的面積是．14．如圖，正方形中，，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，，并將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)M，N分別為點(diǎn)E，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．連接，則線段長(zhǎng)度的最小值為．15．如圖，將正方形紙片折疊，為折痕，點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)為．

16．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，平行于軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．17．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則度．

三、解答題18．已知：如圖，在正方形中，，分別是，上的點(diǎn)，且，于點(diǎn)．求證：．19．如圖，正方形中，點(diǎn)為邊的上一動(dòng)點(diǎn)，作交、分別于、點(diǎn)，連．

(1)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，求證：F點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)；(3)若正方形邊長(zhǎng)為4，直接寫(xiě)出的最小值________．20．在正方形中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線，上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接和交于點(diǎn)P，請(qǐng)寫(xiě)出與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊，的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接和，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”，無(wú)需證明）(3)如圖3，當(dāng)E，F(xiàn)分別在，的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接和，（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知，正方形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P、G分別在射線、邊上，連接，點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，連接．(1)如圖1，取的中點(diǎn)E、F，連接，若點(diǎn)Q剛好落在線段上，且點(diǎn)P在線段FC上，則的度數(shù)不可能是下列選項(xiàng)中的______；（填序號(hào)）①45°，②59°，③72°(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊上（不與點(diǎn)D重合）時(shí)，試判斷點(diǎn)P是否一定在射線BC上點(diǎn)C的右側(cè)，并說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②若線段與相交于點(diǎn)N，連接，試探索點(diǎn)Q落在不同位置時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．【推理】如圖1，在邊長(zhǎng)為10的正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)求證：．【運(yùn)用】(2)如圖2，在【推理】條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)．【拓展】(3)如圖3，在【推理】條件下，連接，則線段的最小值為_(kāi)_____．23．如圖，中，點(diǎn)O為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線，設(shè)交的外角平分線于點(diǎn)F，交內(nèi)角平分線于E．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論；(3)若邊上存在點(diǎn)O，使四邊形是正方形，猜想的形狀并證明你的結(jié)論．24．如圖，已知E，F(xiàn)是正方形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．求證：四邊形為菱形．《1.3正方形的性質(zhì)與判定》參考答案題號(hào)12345678910答案BAABBCCCCB題號(hào)1112答案CC1．B【分析】本題考查的是正方形的鄰邊相等，等邊三角形的各邊相等，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等．本題考查的是正方形，等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)來(lái)解決．【詳解】解：∵是正方形，∴，，∵三角形是等邊三角形，∴，，∴，，∴．故選：B．2．A【分析】連接、，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，，，則，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求CH的長(zhǎng)．【詳解】解：連接、，如圖，∵四邊形和四邊形都是正方形，，，∴，，，，∴，在中，，∵H是的中點(diǎn)，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)．3．A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定來(lái)添加合適的條件．【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角，（2）對(duì)角線相等．即或．故選：A【點(diǎn)睛】本題比較容易，考查特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)及正方形的判定解答．4．B【分析】本題考查了正方形和全等三角形的綜合知識(shí)，根據(jù)勾股定理列方程是本題的解題關(guān)鍵．連接，證明，得到，折疊，得到，設(shè)，則，則中根據(jù)勾股定理列方程可求出的值．【詳解】解：如圖，連接，

∵四邊形是正方形，∴，．∵沿對(duì)折至，∴，，∴，，又是公共邊，∴，∵G剛好是邊的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理列方程：，解得：．所以的長(zhǎng)是4，故選：B．5．B【分析】過(guò)點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再求出，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，然后利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，，然后判斷出四邊形是正方形，可得，得，設(shè)，，可得，根據(jù)，，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，四邊形是正方形，在中，，

，，，設(shè)，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，完全平方公式，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．6．C【分析】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】解：①對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原說(shuō)法錯(cuò)誤；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，原說(shuō)法正確；③有一組鄰邊相等的矩形是正方形，原說(shuō)法正確；④兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，原說(shuō)法正確，故正確的有3個(gè)，故選：C．7．C【分析】由已知可得該四邊形為矩形，再添加條件：一組鄰邊相等，即可判定為正方形．【詳解】由∠A=∠B=∠C=90°，可判定四邊形ABCD為矩形，因此再添加條件：一組鄰邊相等，即可判定四邊形ABCD為正方形，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定定理，矩形的判定定理，掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】本題考查了剪紙問(wèn)題、涉及矩形的性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，解答此類(lèi)題最好動(dòng)手操作，易得出答案．根據(jù)翻折變換的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定進(jìn)行分析從而得到最后答案．【詳解】解：如圖，根據(jù)題目中的折疊方法，我們可知剪下的是一個(gè)四邊相等的四邊形，即菱形，∴菱形里只要有一個(gè)角是就是正方形．展開(kāi)四邊形后的角為：，即．故選：C．9．C【分析】根據(jù)已知可求得△ABC是等邊三角形，從而得到AC＝AB，從而求出正方形ACEF的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求出其面積．【詳解】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的邊長(zhǎng)為4，∴正方形ACEF的面積為16，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形與正方形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于此類(lèi)題意含有60°角的題目一般要考慮等邊三角形的應(yīng)用．10．B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)為的中點(diǎn)，得出，進(jìn)而根據(jù)為的三等分點(diǎn)，得出，，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

正方形邊長(zhǎng)是，，為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握三角形面積公式．11．C【分析】本題考查的是正方形與菱形的性質(zhì)，根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得答案，熟記性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、正方形和菱形的四條邊都相等，則此項(xiàng)不符題意；B、正方形和菱形的對(duì)角線都互相垂直且平分，則此項(xiàng)不符題意；C、正方形的對(duì)角線相等，而菱形的對(duì)角線不一定相等，則此項(xiàng)符合題意；D、正方形和菱形的對(duì)角線都平分一組對(duì)角，則此項(xiàng)不符題意；故選：C．12．C【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式，涉及正方形性質(zhì)、正方形周長(zhǎng)等知識(shí)，根據(jù)題意，正方形各邊長(zhǎng)減少后，得到的新正方形的邊長(zhǎng)為，從而表示出周長(zhǎng)即可得到答案，熟記正方形性質(zhì)及周長(zhǎng)求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，它的各邊邊長(zhǎng)減少后，得到的新正方形的邊長(zhǎng)為，得到的新正方形的周長(zhǎng)為，故選：C．13．2【分析】連接，，交于點(diǎn)M，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)“對(duì)垂四邊形”的性質(zhì)得到垂直線段，從而逐步證明四邊形是正方形，最后計(jì)算面積即可．【詳解】解：連接，，交于點(diǎn)M，∵在四邊形中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊、、、的中點(diǎn)，∴，，，∴，同理：，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是“對(duì)垂四邊形”，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵四邊形是“對(duì)垂四邊形”，∴，∴四邊形是正方形，∴四邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，三角形中位線定理，特殊四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是利用“對(duì)垂四邊形”，解題的關(guān)鍵是掌握特殊四邊形的判定方法．14．【分析】過(guò)點(diǎn)M作，垂足為P，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，得到，，利用勾股定理求出，根據(jù)即可求出的最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作，垂足為P，連接，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，在正方形中，，E為中點(diǎn)，∴，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵C，M位置固定，∴，即，∴，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，求出的長(zhǎng)，得到．15．【分析】先由正方形的性質(zhì)得到，再由折疊的性質(zhì)可得，則可得．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)及邊長(zhǎng)結(jié)合已知推出軸，軸，繼而確定點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵是明確正方形的各條邊相等，能根據(jù)圖形找出它們之間的關(guān)系．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為，平行于軸，∴，即，軸，∴軸，軸，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．17．【分析】根據(jù)圖形得到，結(jié)合正方形的對(duì)角線互相平分一組對(duì)角即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，在與中，∴，，∵是正方形對(duì)角線，∴，∴，故答案為：；

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)格點(diǎn)圖形得到．18．證明見(jiàn)解析【分析】如圖所示，連接，根據(jù)正方形性質(zhì)，結(jié)合兩個(gè)三角形全等的判定定理SAS得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)確定是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”可知是邊上的中線，從而得到結(jié)論．【詳解】證明：連接，如圖所示：在正方形中，，，，，，，在和中，，，，即是等腰三角形，于點(diǎn)，由等腰三角形“三線合一”可知是邊上的中線，．【點(diǎn)睛】本題考查證明線段相等，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)于證明三角形中線段相等，常用的有兩種思路：①是證明包含這兩條線段的兩個(gè)三角形全等；②是證明包含這兩線段的三角形是等腰三角形．根據(jù)題意構(gòu)造輔助線，證明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而確定是等腰三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．19．(1)見(jiàn)解析(2)2(3)【分析】（1）證明，推出，由，，推出，即可證明點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（3）取的中點(diǎn)，連接，，由直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，則可求出答案．【詳解】（1）解：證明：如圖1中，

四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）延長(zhǎng)到，使得，連接，

，，又，分別是，的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，是等腰直角三角形，，．（3）取的中點(diǎn)，連接，，

，，，、、共線時(shí)，的值最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．20．(1)，理由見(jiàn)解析(2)成立(3)成立，理由見(jiàn)解析【分析】（1）動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線，上移動(dòng)，所以，再由正方形的性質(zhì)可得，，證得，即可求得結(jié)果；（2）同（1）；（3）由題得，再由正方形的性質(zhì)可得，，所以和的鄰補(bǔ)角也相等，即可證得，最終證得（1）中結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：由題可得，正方形，，，在和中，，（SAS），；（2）解：成立，理由如下：由題可得，正方形，，，在和中，，（SAS），；（3）解：成立，理由如下：由題可得，正方形，，，，在和中，，（SAS），．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是由題干條件得出．21．(1)③(2)是，見(jiàn)解析(3)①3；②的度數(shù)不變，且，見(jiàn)解析【分析】（1）可推出，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）作，可證得，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）①作，交的延長(zhǎng)線于E，連接，在中求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，設(shè)，則，在中，由勾股定理列出方程求得結(jié)果；②先證得，，進(jìn)而證得，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在F點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，，∴，觀察四個(gè)選項(xiàng)，不可能是③，故答案為：③；（2）解：如圖2，點(diǎn)P落在點(diǎn)C的右側(cè)，理由如下：連接，作于E，∵點(diǎn)B和點(diǎn)Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴垂直平分，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴點(diǎn)P是否一定在射線上點(diǎn)C的右側(cè)；（3）解：①如圖3，作，交的延長(zhǎng)線于E，連接，∵是的垂直平分線，∴，，在中，，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，∴，∴；②如圖4，不發(fā)生變化，理由如下：作，由（2）可知：，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數(shù)不發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．22．(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）利用證明，即可得出結(jié)論；（2）連接，利用等角對(duì)等邊證明，設(shè)，則，由勾股定理得，，解方程即可；（3）取的中點(diǎn)，連接，，利用勾股定理求出，根據(jù)直