試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁徐匯中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試卷2025.05一、填空題1．已知集合，集合，則.2．不等式的解集是．3．已知，且，則.4．函數(shù)的定義域是．5．空間向量的單位向量的坐標(biāo)是．6．的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．7．已知復(fù)數(shù)z滿足（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為.8．直線m過點(diǎn)且法向量，則直線m的點(diǎn)法向式方程為.9．已知四棱臺(tái)的側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正方形，四邊形是邊長為1的正方形，，則四棱臺(tái)的體積為.10．將6位工作人員分為3組，其中甲不能單獨(dú)作為一組，共有種不同的分法11．每年的6月6日是全國愛眼日，某位志愿者跟蹤調(diào)查電子產(chǎn)品對(duì)視力的影響，據(jù)調(diào)查，某高校大約有45%的學(xué)生近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天操作電子產(chǎn)品超過1h，這些人的近視率約為50%，現(xiàn)從每天操作電子產(chǎn)品不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.12．陜西歷史博物館收藏的“獨(dú)孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印信（如圖1），它的形狀可視為一個(gè)26面體，由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成（如圖2）．已知該多面體的各條棱長均為1，則其體積為．二、選擇題13．以下能夠成為某個(gè)隨機(jī)變量分布的是（

）A． B． C． D．14．“”是“”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要15．下列說法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，且，則C．一組數(shù)據(jù)11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位數(shù)為19D．若，，，則事件A與事件B相互獨(dú)立16．點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，則下列結(jié)論中正確的是()A．直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”C．直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”D．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)(但不是所有的點(diǎn))是“點(diǎn)”三、解答題17．如圖所示的幾何體是圓錐的一半和一個(gè)三棱錐組成，圓錐底面圓O的半徑為1，圓錐的高，三棱錐的底面是以圓錐的底面圓的直徑AB為斜邊的等腰直角三角形，且與圓錐底面在同一個(gè)平面上．(1)求直線和平面所成角的大??；(2)求該幾何體的表面積．18．已知向量，.設(shè).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，，三角形的面積為，求邊的長.19．2021年5月12日，2022北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展覽中心.為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了贏取冰墩墩、雪容融吉祥物掛件答題活動(dòng).為了提高活動(dòng)的參與度，計(jì)劃有的人只能贏取冰墩墩掛件，另外的人既能贏取冰墩墩掛件又能贏取雪容融掛件，每位顧客若只能贏取冰墩墩掛件，則記1分，若既能贏取冰墩墩掛件又能贏取雪容融掛件，則記2分，假設(shè)每位顧客能贏取冰墩墩掛件和贏取雪容融掛件相互獨(dú)立，視頻率為概率.(1)從顧客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從顧客中隨機(jī)抽取人，記這人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求20．雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是雙曲線C上一點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求雙曲線兩條漸近線的夾角；（2）若直線BF的傾斜角為，與雙曲線C的另一交點(diǎn)為D，且，求b的值；（3）若，且，點(diǎn)E是雙曲線C上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，求證：．21．已知，函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求a的最大值；(3)設(shè).方程的所有正實(shí)數(shù)解按從小到大的順序排列后，是否能構(gòu)成等差數(shù)列？若能，求所有滿足條件的u的值；若不能，說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】應(yīng)用集合的交運(yùn)算求集合.【詳解】.故答案為：2．【分析】零點(diǎn)分段法求解絕對(duì)值不等式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，當(dāng)時(shí)，，即，符合要求，此時(shí)解集為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上：不等式的解集為.故答案為：3．##【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】由，，則，故.故答案為：4．【分析】先求出和定義域，再求交集.【詳解】由題意，；故答案為：.5．【分析】單位向量只需根據(jù)即可求出.【詳解】，，.故答案為：6．210【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后令的次數(shù)為2，求出，代入通項(xiàng)公式中可求得結(jié)果.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：2107．【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】設(shè)，，則，所以，解得，則z的虛部為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)直線所過的點(diǎn)及法向量寫出點(diǎn)法式方程即可.【詳解】由題設(shè)，直線m的點(diǎn)法向式方程為.故答案為：9．##【分析】過作于，利用勾股定理求出，再利用棱臺(tái)的體積公式求解即可.【詳解】過作于，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，在中，，可得，從而棱臺(tái)的高，所以四棱臺(tái)的體積為：故答案為：.10．75【分析】首先計(jì)算所有將6人分為3組的分法數(shù)目，再計(jì)算甲單獨(dú)成組的分法數(shù)目，最后用總數(shù)減去這種情況.【詳解】計(jì)算所有將6人分為3組的分法數(shù)目：分組：種；分組：種；分組：種；總方法數(shù)為：；甲單獨(dú)成組：剩余5人分兩組(1,4或2,3)，共種；最終復(fù)合條件分法為：.故答案為：7511．【分析】利用全概率公式列方程求解即可.【詳解】從某高校中任意調(diào)查一名學(xué)生，記該學(xué)生近視為事件A，記該學(xué)生每天操作電子產(chǎn)品超過1h為事件B，則從每天操作電子產(chǎn)品不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.由題可知，，.由全概率公式得即解得，即從每天操作電子產(chǎn)品不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.故答案為：.12．######【分析】該多面體可以看作為正方體截取一部分構(gòu)成，把復(fù)雜的幾何體轉(zhuǎn)化為簡單幾何體構(gòu)成即可.【詳解】如圖，該多面體可以看做由一個(gè)棱長為的正方體截去8個(gè)如①三棱柱和8個(gè)如②四棱錐和12個(gè)如③三棱柱構(gòu)成，①為底面為以兩直角邊為的等腰直角三角形，高為的直三棱柱，其體積為：②為底面為以棱長為和1的矩形，高為的四棱錐其體積為：③為底面為以兩直角邊為的等腰直角三角形，高為的直三棱柱，其體積為：所求多面體體積為：故答案為：.13．B【分析】分布列中各項(xiàng)概率大于0，且概率之和為1，從而得到正確答案.【詳解】由題意得，分布列中各項(xiàng)概率非負(fù)，且概率之和為1，顯然AC選項(xiàng)不滿足概率之和為1，D選項(xiàng)不滿足各項(xiàng)概率大于0，B選項(xiàng)滿足要求.故選：B14．B【分析】根據(jù)兩不等式所表示的集合之間關(guān)系結(jié)合必要非充分條件的判定即可得到答案.【詳解】根據(jù)，則“”無法推出“”，“”可以推出“”，故“”是“”的必要非充分條件，故選：B.15．C【分析】對(duì)A，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解即可；對(duì)B，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可；對(duì)C，根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷即可；對(duì)D，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，結(jié)合事件與事件相互獨(dú)立事件滿足判斷即可．【詳解】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若隨機(jī)變量，且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，數(shù)據(jù)組共10個(gè)數(shù)據(jù)，故第80百分位數(shù)為從小到大第8，9個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故C正確；對(duì)D，，，故，故事件與事件不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：C．16．A【分析】作出草圖，可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，，設(shè)出的坐標(biāo)，進(jìn)而的坐標(biāo)可表示出，把的坐標(biāo)代入拋物線方程聯(lián)立消去，求得判別式大于恒成立，可推斷出方程有解，進(jìn)而可推斷出直線上的所有點(diǎn)都符合．【詳解】如圖所示：

設(shè)，由題意可知點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，∵在上，∴，消去，整理得關(guān)于的方程，∵恒成立，∴方程恒有實(shí)數(shù)解．即對(duì)于任意的點(diǎn)，都存在，使得.故選：A．17．(1)(2)【分析】（1）找到直線和平面所成角等于，由，求出線面角；（2）求出圓錐表面積的一半加上、和的面積即可.【詳解】（1）連接，由題意，⊥平面，故直線在平面上的射影為直線，因此直線和平面所成角等于．因?yàn)槭且詾橹睆降牡妊苯侨切?，所以．因此，由知．即直線和平面所成角的大小為．（2）由題意，所求表面積等于圓錐表面積的一半加上、和的面積．因?yàn)閳A錐的高，圓錐的底面半徑，所以圓錐的母線長為，表面積為．在和中，，，所以，得．同理．因此．而，因此，所求表面積為．18．(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式及二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，利用最小正周期公式求解即可；（2）根據(jù)求出角A，結(jié)合條件及三角形面積公式求出c，利用余弦定理即可求解a.【詳解】（1）由題意，，因此函數(shù)的最小正周期為；（2）由得，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所?由余弦定理解得,所以.19．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，得到分布列，利用公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（2）人的合計(jì)得分恰為分，有且只有1人既能贏取冰墩墩掛件又能贏取雪容融掛件，計(jì)算概率，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和.【詳解】（1）X的取值為3，4，5，6所以，，，.所以的分布列為：3456所以；（2）因?yàn)檫@人的合計(jì)得分恰為分，則其中有且只有1人既能贏取冰墩墩掛件又能贏取雪容融掛件，所以，設(shè)，，兩式相減得，所以，所以；20．（1）；（2）或；（3）證明見解析．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合兩直線的夾角公式，即可求解；（2）設(shè)，得到直線的方程為，代入雙曲線的方程，結(jié)合弦長公式列出方程，即可求解；（3）得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求得雙曲線的方程，設(shè)，求得，，進(jìn)而得到所以，即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)兩條漸近線的夾角為，則，所以兩條漸近線的夾角為.（2）設(shè)，其中，則直線的方程為，代入雙曲線，整理得，由題意，可得，設(shè)，，則，又由，即，解得或.（3）由題意，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，由，所以，所以，，所以雙曲線的方程是，設(shè)，則，，所以，所以，又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問題的求解策略：對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式等進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．21．(1)的值域?yàn)椋?2)a的最大值為；(3)或滿足條件，理由見解析.【分析】(1)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的值域；(2)由已知可得在上恒成立，通過換元及分離變量結(jié)合不等式與函數(shù)關(guān)系，可求a的最大值；(3)結(jié)合已知條件及正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可求u的值；【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的值域?yàn)?；?）因?yàn)?，，所以，化簡得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，因?yàn)?，所以，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，又函?shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以，所以a的最大值為；（3）因?yàn)椋?，所以不等式可化為，令，則，，作函數(shù)的圖象，又當(dāng)時(shí)，，由圖象可得當(dāng)或時(shí)，方程在上沒有解，方程沒有解；當(dāng)時(shí)，方程的解為，則，方程的正實(shí)數(shù)解按從小到大的順序排列記為，如圖，則，，，所以該數(shù)列不是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)有兩個(gè)解，設(shè)方程的解為，且，，作函數(shù)，，圖象如下，方程和的正實(shí)數(shù)解按從小到大的順序排列記為，設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，，則，所以，