“一元一次方程”單元教學分析1本單元的知識發(fā)展主線1.1課標要求（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型；（2）掌握等式的基本性質；（3）能解一元一次方程。1.2知識結構圖本單元的知識結構如圖，根據(jù)實際問題，設未知數(shù)，列方程，得到一元一次方程，根據(jù)5個一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類和未知數(shù)系數(shù)化為1解方程，得到數(shù)學問題的解，檢驗得到實際問題的答案。1.3涉及的數(shù)學思想方法（舉例說明）方程思想從問題的數(shù)量關系入手，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型，然后通過解方程來使問題獲解。例題：某制藥廠制造一批藥品，如果用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t；如果用新工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量少100t。新舊工藝的廢水排量之比為2：5，兩種工藝的廢水排量各是多少？解：若設新工藝的廢水排量為5x噸，則舊工藝的廢水排量為2x噸。由題意得到的等量關系：舊工藝廢水排量－200噸=新工藝排水量+100噸可列方程為：移項，得5合并同類項，得3系數(shù)化為1，得x所以2x=200答：新工藝的廢水排量為200噸，則舊工藝的廢水排量為

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噸。數(shù)形結合借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的。例題：小明和小剛每天早晨堅持跑步，小明每秒跑4米，小剛每秒跑6米.若小明站在百米起點處，小剛站在他前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒后小明追上小剛？解：設小明x秒后追上小剛?？傻梅匠蹋?移項，得4合并同類項，得?2系數(shù)化為1,得x答：小明5秒后追上小剛。轉化思想將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行變換，化歸為已知知識范圍內已經(jīng)解決或容易解決的問題。例題：解方程7?2解：移項，得?2合并同類項，得2系數(shù)化為1，得x1.4相關的十個核心概念（舉例說明）（1）運算能力指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力.培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。例題：解方程：3解：移項，得

3合并同類項，得5系數(shù)化為1，得x模型思想模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識。例題：把一批圖書分給七年級某班的同學閱讀，若每人分3本，則剩余20本，若每人分4本，則缺25本，這個班有多少學生？解：設這個班有x個學生根據(jù)題意,得3移項,得3合并同類項,得?x系數(shù)化成1,得x=45答：這個班有45人。2數(shù)學的聯(lián)系與應用2.1數(shù)學史與數(shù)學文化一元一次方程溯源：一元一次方程最早見于約公元前1600年的古埃及時期。約公元前1650年，古埃及的萊因德紙草書中記載了第24題，題目為：“一個量，加上它的等于19，求這個量。”解決了形為的一次方程，即單假設法解決問題。公元前1世紀左右，中國人在《九章算術》中首次加入了負數(shù)，并提出了正負數(shù)的運算法則，解決了移項問題。在“盈不足”一章中提出了盈不足術。但該方法并沒有被用來解決一元一次方程。在11～13世紀時傳入阿拉伯地區(qū)，并被稱為“契丹算法”。9世紀，阿拉伯數(shù)學家花拉子米在《對消與還原》中給出了解方程的簡單可行的基本方法，即“還原”和“對消”。但沒有采用字母符號。體現(xiàn)了明顯的方程的思想。12世紀，印度數(shù)學家婆什迦羅在《麗拉沃蒂》一書中用假設法（設未知數(shù)）來解決一類一元一次方程。由于所假設的數(shù)可以是任意正數(shù)，婆什迦羅稱上述方法為“任意數(shù)算法”。13世紀，中國的盈不足術傳入歐洲，意大利數(shù)學家斐波那契在《計算之書》中利用單假設和雙假設法來解一元一次方程。16世紀時，韋達創(chuàng)立符號代數(shù)之后，提出了方程的移項與同除命題，也創(chuàng)立了這一概念，被尊稱為“現(xiàn)代數(shù)學之父”。但是韋達沒有接受負數(shù)。16世紀時，明代數(shù)學家程大位（1533-1606）在《算法統(tǒng)宗》一書中也用假設法來解一元一次方程。1859年，中國數(shù)學家李善蘭正式將這類等式譯為一元一次方程。一元一次方程的數(shù)學文化內涵:一元一次方程的數(shù)學文化內涵可這樣思考:以一元一次方程的概念為數(shù)學文化的顯性載體，在其顯性載體的背后承載著豐富的隱性內涵，即方程作為人類思想的一次飛躍，是繼算術思想之后的又一重要的數(shù)學思想，折射出人類的智慧;方程在其歷史發(fā)展過程中呈現(xiàn)多元文化特征;方程體現(xiàn)了符號化的思想，體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美;方程所解決的問題是現(xiàn)實問題，在解決現(xiàn)實問題過程中，反映一個人的思維方式、態(tài)度、價值觀和數(shù)學觀;現(xiàn)實問題大部分又是源于社會，反映了數(shù)學的社會需求，反映了社會發(fā)展推動數(shù)學發(fā)展的作用。2.2數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系（1）商品利潤問題例：某家電城將某品牌的超級VCD按進價提高35%后，打出“九折酬賓，外送50元”的廣告，結果每臺仍然盈利208元。那么，每臺超級VCD的進價是多少元?（2）利息問題例：某年1年期儲蓄年利率為1.98%，所得利息要交納20%的利息稅。某儲戶有一筆1年期定期儲蓄，到期納稅后得利息396元，問儲戶有多少本金？工程問題例：一項工作，甲獨立完成要3小時，乙獨立完成要5小時，若兩人合作完成這項工作的4/5，需要幾小時?2.3數(shù)學與其它學科的聯(lián)系1、一元一次方程在物理問題中的應用：例：一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20s的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10s，求這列火車的長度。分析：設這列火車的長度是x米，根據(jù)速度v=路程s/時間t列得方程，300+x20=2、一元一次方程在化學問題中的應用：計算計算用多少克的鋅跟足量稀硫酸反應生成的氫氣，能跟12.25克的氯酸鉀完全分解后生成的氧氣恰好完全反應生成水。找出已知量與未知量的關系：2KClO3~3O2~6H2設需用鋅的質量為x，根據(jù)上述關系式KClO3~122.53×6512.25gxx=19.5g2.4高觀點下的中小學數(shù)學高觀點下對初中方程的概念的解讀等式的定義例如：1+2=3；a+b=b+a；s=ab；4+x=7.這種左邊和右邊使用的是等號進行連接的式子稱之為等式。如果將兩個函數(shù)之間使用等號進行連接，即f(x,y,…,z)和g(x,y,…,z)所代表的是兩個函數(shù)，那么f(x,y,…,z)=g(x,y,…,z)所表示的也是一個等式。按照等式的形式區(qū)別等式，可以將等式分為三種，分別是：恒等式、矛盾等式及條件等式。關于方程的定義數(shù)學課本上對方程的定義是“含有未知數(shù)的等式稱之為方程”，但這一定義并不能詳細區(qū)別條件等式、矛盾等式，張奠宙教授將方程定義為：通過未知數(shù)與已知數(shù)之間的數(shù)量關系來完成方程的建立，建立方程的目的是通過已有的變量來對相關位置變量進行求解。3教學研究（以“求解一元一次方程-移項”課為例）3.2重點與難點分析教學重點熟練使用移項法解一元一次方程教學難點掌握移項變號的基本原則常見錯誤（1）移項時寫錯項的符號例：3錯解：3正解：3在系數(shù)化為1時顛倒被除數(shù)與除數(shù)的位置例：3錯解：x正解：x去括號時不注意符號的變化例：2(錯解：2正解：23.2課題引入設計3.2.1現(xiàn)實情境下的課題引入把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人3本，還剩20本；如果每人4本，則還缺25本，問：這個班有多少學生？分析：如果設這個班有學生x人，每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，這批書共有3x+20本；每人分4本，需要4x根據(jù)分析列出方程：3思考：方程兩邊都有含x的項和常數(shù)項，怎樣才能使它向x=a3.2.2數(shù)學問題情境下的課題引入1、雞兔同籠是我國古代著名趣題之一，大約在1500年前，我國古代一部較為普及的算書《孫子經(jīng)》就記載了這個有趣的問題。它還曾經(jīng)飄洋過海傳到日本等國，請看題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？分析：設雞有x只，一只雞有一個頭，兩只腳，則有x個雞頭，2x只雞腳，從而有35?x個兔頭，94?2x只兔腿，又一只兔子有一個頭，四條腿，所以兔子有35?根據(jù)分析列出方程：94?2思考：方程兩邊都有含x的項和常數(shù)項，怎樣才能使它向x=a2、列方程研究古詩文問題：隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀．七兩分之多四兩，九兩分之少半斤。（注：在古代１斤是16兩，半斤就是８兩）教學時，首先師生理解古詩文：有幾個客人在間內分銀子，每人分七兩，最后多四兩，每人分九兩，最后還少八兩，問有幾個人？有幾兩銀子？分析：設有x個人，每人分七兩，共分出7x兩，剩余四兩，則共有7x+4兩銀子；每人分九兩，需要9根據(jù)分析列出方程：7思考：方程兩邊都有含x的項和常數(shù)項，怎樣才能使它向x=a3.2.3復習引入等式的基本性質：等式的兩邊同時加（或減）同一個代數(shù)式，所得結果仍是等式。等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），所得結果仍是等式。利用等式的基本性質解方程5x3.3典型例題與變式練習3.3.1概念理解典型例題：下列計算，其中屬于移項變形的是（C）A.由5+3x?2B.由?10x?5=?2C.由7x+9=4D.由5x=9變式練習：判斷下面的移項是否正確？（1）10+x=10（2）3x=（3）3x=6?2（4）1?2x=?3（5）2x+8=12?6（快速檢驗學生是否理解移項的概念）3.3.2數(shù)學思想方法典型例題:3x+3=2x+7解：移項，得3合并同類項，得x變式練習：5?3解：移項，得?3合并同類項，得?11方程兩邊同除以-11，得x3.3.3數(shù)學核心素養(yǎng)典型例題：把一批圖書分給七年級某班的同學閱讀，若每人分3本，則剩余20本，若每人分4本，則缺25本，這個班有多少學生？解：設這個班有x個學生根據(jù)題意,得3