九年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程專題練習(xí)題庫一、基礎(chǔ)概念鞏固（夯實(shí)根基，避免混淆）1.1一元二次方程的定義判斷核心條件：需滿足“一元（單未知數(shù)）、二次（最高次項(xiàng)次數(shù)為2）、整式（分母不含未知數(shù)）”三個(gè)要素。例題：下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A.\(x+2y=1\)B.\(x^2-2x+3=0\)C.\(x^2+\frac{1}{x}=0\)D.\(x(x-1)=x^2+2\)解析：A是二元一次方程；C是分式方程；D化簡(jiǎn)后為\(-x-2=0\)（一元一次方程）；故選B。練習(xí)：（1）判斷下列方程是否為一元二次方程：①\(3x^2-2x=0\)②\(x^2+1=2x\)③\(x(x-1)=x^2\)④\(\sqrt{x^2+1}=x\)（2）若方程\((m-1)x^2+2x-1=0\)是一元二次方程，則m的取值范圍是______。1.2一般形式與系數(shù)識(shí)別一般形式：\(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)，其中\(zhòng)(a\)為二次項(xiàng)系數(shù)，\(b\)為一次項(xiàng)系數(shù)，\(c\)為常數(shù)項(xiàng)（注意符號(hào)?。?。例題：將方程\(2x(x-3)=5\)化為一般形式，并指出系數(shù)。解析：展開得\(2x^2-6x=5\)，移項(xiàng)得\(2x^2-6x-5=0\)；二次項(xiàng)系數(shù)2，一次項(xiàng)系數(shù)-6，常數(shù)項(xiàng)-5。練習(xí)：（1）將方程\((x+1)(x-2)=3\)化為一般形式：______，二次項(xiàng)系數(shù)______，一次項(xiàng)系數(shù)______，常數(shù)項(xiàng)______。（2）若方程二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為-2，常數(shù)項(xiàng)為1，則方程為______。二、解法專題突破（熟練掌握，靈活選擇）2.1直接開平方法（適用于\((x+a)^2=b\)）步驟：開平方得\(x+a=±\sqrt\)，求解（\(b≥0\)時(shí)有實(shí)根，\(b<0\)時(shí)無實(shí)根）。例題：解\((x-2)^2=9\)。解析：\(x-2=±3\)，故\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)。練習(xí)：（1）解\(2(x+1)^2=8\)（2）解\((x+3)^2=-5\)（3）若\((x-1)^2=k\)有兩不等實(shí)根，則\(k\)______。2.2配方法（轉(zhuǎn)化為完全平方形式）步驟：移項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)到右邊）→二次項(xiàng)系數(shù)化為1→配方（加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方）→開平方→求解。例題：用配方法解\(x^2-4x-1=0\)。解析：移項(xiàng)得\(x^2-4x=1\)；配方得\(x^2-4x+4=1+4\)，即\((x-2)^2=5\)；開平方得\(x=2±\sqrt{5}\)。練習(xí)：（1）用配方法解\(2x^2-4x-5=0\)（2）用配方法求\(x^2-6x+5\)的最小值。2.3公式法（通用解法）步驟：化為一般形式→計(jì)算判別式\(\Delta=b^2-4ac\)→代入求根公式\(x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}\)。例題：用公式法解\(2x^2+3x-1=0\)。解析：\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=-1\)；\(\Delta=9+8=17>0\)；\(x=\frac{-3±\sqrt{17}}{4}\)。練習(xí)：（1）用公式法解\(x^2+2x+3=0\)（2）若方程判別式\(\Delta=4\)，則根為______。2.4因式分解法（快速求解）適用情況：左邊能分解為兩個(gè)一次因式乘積（如提公因式、十字相乘法、平方差公式）。例題：用因式分解法解\(2x(x-1)=x-1\)。解析：移項(xiàng)得\(2x(x-1)-(x-1)=0\)；提公因式得\((x-1)(2x-1)=0\)；故\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)。練習(xí)：（1）解\(x^2-3x=0\)（2）解\((x+3)^2=4x^2\)（3）若\((x-a)(x-1)=0\)的根為\(2\)和\(1\)，則\(a\)______。三、根的判別式（Δ）應(yīng)用（判斷根的情況）3.1核心結(jié)論對(duì)于\(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)：Δ>0?兩不等實(shí)根；Δ=0?兩相等實(shí)根；Δ<0?無實(shí)根。例題：判斷\(x^2-2x+1=0\)的根的情況。解析：Δ\(=4-4=0\)，故有兩相等實(shí)根。練習(xí)：（1）判斷\(2x^2-5x+2=0\)的根的情況（2）若\(kx^2+2x-1=0\)有兩不等實(shí)根，則\(k\)______。3.2含參數(shù)的判別式問題例題：求證：無論\(m\)取何值，方程\(x^2-(m+2)x+m=0\)總有實(shí)根。解析：Δ\(=(m+2)^2-4m=m^2+4≥4>0\)，故總有實(shí)根。練習(xí)：（1）若\(x^2+2(k-1)x+k^2=0\)有兩相等實(shí)根，求\(k\)（2）若\((a-1)x^2-2x+1=0\)無實(shí)根，求\(a\)。四、根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）（中考重點(diǎn)）4.1基本公式對(duì)于\(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)，若兩根為\(x_1,x_2\)，則：\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)（注意符號(hào)?。?。例題：已知\(x^2-3x+2=0\)的兩根為\(x_1,x_2\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)。解析：\(x_1+x_2=3\)，\(x_1x_2=2\)。練習(xí)：（1）已知\(2x^2-5x+1=0\)的兩根為\(x_1,x_2\)，求\(x_1+x_2\)和\(x_1x_2\)（2）若兩根為\(2\)和\(-3\)，則方程為______。4.2代數(shù)式求值（轉(zhuǎn)化為兩根之和、積）例題：已知\(x_1,x_2\)是\(x^2-3x+2=0\)的兩根，求\(x_1^2+x_2^2\)。解析：\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=9-4=5\)。練習(xí)：（1）已知\(x^2+2x-3=0\)的兩根為\(x_1,x_2\)，求\((x_1-x_2)^2\)（2）若\(x_1,x_2\)是\(2x^2-3x-1=0\)的兩根，求\(x_1^3+x_2^3\)（提示：\(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)\)）。五、實(shí)際應(yīng)用問題（聯(lián)系生活）5.1增長(zhǎng)率問題（公式：\(a(1+x)^2=b\)）例題：某公司2021年利潤(rùn)100萬元，2023年利潤(rùn)121萬元，求年平均增長(zhǎng)率。解析：設(shè)增長(zhǎng)率為\(x\)，則\(100(1+x)^2=121\)，解得\(x=0.1=10%\)。練習(xí)：某城市2020年人口100萬，2022年人口104.04萬，求年平均增長(zhǎng)率。5.2面積問題（圖形面積與方程結(jié)合）例題：長(zhǎng)方形長(zhǎng)比寬多2米，面積15平方米，求長(zhǎng)和寬。解析：設(shè)寬為\(x\)米，則長(zhǎng)為\(x+2\)米，\(x(x+2)=15\)，解得\(x=3\)（舍去負(fù)根），故長(zhǎng)5米，寬3米。練習(xí)：正方形邊長(zhǎng)增加2厘米后，面積增加24平方厘米，求原邊長(zhǎng)。5.3利潤(rùn)問題（銷量與售價(jià)的關(guān)系）例題：某商品進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)30元時(shí)每天賣100件，售價(jià)每上漲1元，銷量減少5件，求每天利潤(rùn)150元時(shí)的售價(jià)。解析：設(shè)售價(jià)為\(x\)元，銷量為\(100-5(x-30)\)件，利潤(rùn)為\((x-20)(250-5x)=150\)，解得\(x=35±\sqrt{195}\)（取正值）。練習(xí)：某商品進(jìn)價(jià)10元，售價(jià)15元時(shí)每天賣50件，售價(jià)每上漲1元，銷量減少2件，求每天利潤(rùn)100元時(shí)的售價(jià)。六、綜合拓展題（提升能力）6.1與二次函數(shù)結(jié)合（圖像與x軸交點(diǎn)）例題：二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)的圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？解析：令\(y=0\)，得\(x^2-2x-3=0\)，Δ\(=16>0\)，故有兩個(gè)交點(diǎn)。練習(xí)：二次函數(shù)\(y=2x^2+4x+2\)的圖像與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？6.2幾何與方程結(jié)合（三角形邊長(zhǎng)問題）例題：三角形兩邊長(zhǎng)3和5，第三邊長(zhǎng)\(x\)滿足\(x^2-6x+8=0\)，求周長(zhǎng)。解析：解方程得\(x=2\)或\(3\)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，\(x=3\)（\(2+3=5\)不滿足），周長(zhǎng)為\(3+5+3=11\)。練習(xí)：等腰三角形兩邊長(zhǎng)滿足\(x^2-4x+3=0\)，求周長(zhǎng)。6.3含絕對(duì)值的一元二次方程例題：解\(|x^2-2x|=3\)。解析：轉(zhuǎn)化為\(x^2-2x=3\)或\(x^2-2x=-3\)，解得\(x=3\)或\(-1\)（后者無實(shí)根）。練習(xí)：解\(|x^2+3x|=4\)。七、解題技巧與注意事項(xiàng)1.解法選擇：能因式分解的優(yōu)先用因式分解法；不能因式分解的用公式法；配方法用于求最值或證明。2.注意事項(xiàng)：二次項(xiàng)系數(shù)不為零；實(shí)際問題需檢驗(yàn)解的合理性；韋達(dá)定理注意符號(hào)；判別式結(jié)合參數(shù)取值范圍。八、參考答案（部分練習(xí)）一、基礎(chǔ)概念鞏固1.1（1）①是②是③否④否；（2）\(m≠1\)。1.2（1）\(x^2-x-5=0\)，1，-1，-5；（2）\(3x^2-2x+1=0\)。二、解法專題突破2.1（1）\(x=1\)或\(-3\)；（2）無實(shí)根；（3）\(k>0\)。2.2（1）\(x=1±\frac{\sqrt{14}}{2}\)；（2）最小值-4。三、根的判別式應(yīng)用3.1（1）Δ\(=25-16=9>0\)，兩不等實(shí)根；（2）\(k>-1\)且\(k≠0\)。3.2（1）\(k=\frac{1}{2}\)；（2）\(a>2\)。四、根與系數(shù)關(guān)系4.1（1）\(x_1+x_2=\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2=\frac{1}{2}\)；（2）\(x^2+x-6=0\)。4.2（1）\((x_1-x_2)^2=(-2)^2-4×(-3