高中文科數(shù)學(xué)公式與定理總結(jié)一、集合與常用邏輯用語（一）集合的基本概念與運算1.集合的表示：列舉法（如$\{1,2,3\}$）、描述法（如$\{x|x>0\}$）、韋恩圖（Venn圖）。2.元素與集合的關(guān)系：屬于（$\in$）、不屬于（$\notin$）。3.集合間的關(guān)系：子集：$A\subseteqB$（$A$中元素均在$B$中）；真子集：$A\subsetB$（$A\subseteqB$且$B$有元素不在$A$中）；相等：$A=B$（$A\subseteqB$且$B\subseteqA$）。4.集合的運算：交集：$A\capB=\{x|x\inA且x\inB\}$；并集：$A\cupB=\{x|x\inA或x\inB\}$；5.常用數(shù)集符號：自然數(shù)集$N$、正整數(shù)集$N^*$（或$N_+$）、整數(shù)集$Z$、有理數(shù)集$Q$、實數(shù)集$R$。（二）常用邏輯用語1.命題的四種形式：原命題：若$p$，則$q$；逆命題：若$q$，則$p$；否命題：若$\negp$，則$\negq$（全稱否定）；逆否命題：若$\negq$，則$\negp$。性質(zhì)：原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價。2.充分條件與必要條件：$p\Rightarrowq$：$p$是$q$的充分條件，$q$是$p$的必要條件；$p\Leftrightarrowq$：$p$是$q$的充要條件（充分必要條件）。3.邏輯聯(lián)結(jié)詞：且（$\wedge$）：$p\wedgeq$為真$\Leftrightarrowp$、$q$均為真；或（$\vee$）：$p\veeq$為真$\Leftrightarrowp$、$q$至少一個為真；非（$\neg$）：$\negp$為真$\Leftrightarrowp$為假。4.全稱量詞與存在量詞：全稱命題：$\forallx\inM,p(x)$（否定：$\existsx\inM,\negp(x)$）；特稱命題：$\existsx\inM,p(x)$（否定：$\forallx\inM,\negp(x)$）。二、函數(shù)（一）函數(shù)的基本概念1.定義：設(shè)$A$、$B$為非空數(shù)集，若對任意$x\inA$，存在唯一$y\inB$，則$y=f(x)$為函數(shù)（$A$為定義域，$\{y|y=f(x),x\inA\}$為值域）。2.三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則（定義域和對應(yīng)法則決定值域）。（二）函數(shù)的性質(zhì)1.單調(diào)性：定義：區(qū)間$I$內(nèi)，$x_1<x_2\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)$（遞增）或$f(x_1)>f(x_2)$（遞減）；判定：定義法（作差）、圖像法（左到右上升/下降）。2.奇偶性：奇函數(shù)：$f(-x)=-f(x)$（定義域關(guān)于原點對稱，圖像關(guān)于原點對稱，$f(0)=0$（若有定義））；偶函數(shù)：$f(-x)=f(x)$（定義域關(guān)于原點對稱，圖像關(guān)于$y$軸對稱）。3.周期性：定義：存在非零常數(shù)$T$，使得$f(x+T)=f(x)$（$T$為周期）；常見周期：$\sinx$、$\cosx$周期$2\pi$，$\tanx$周期$\pi$。（三）基本初等函數(shù)1.一次函數(shù)：$y=kx+b$（$k\neq0$），定義域$R$，值域$R$，單調(diào)性由$k$決定（$k>0$遞增）。2.二次函數(shù)：一般式：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），頂點$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，對稱軸$x=-\frac{2a}$；值域：$a>0$時$[\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)$，$a<0$時相反。3.指數(shù)函數(shù)：$y=a^x$（$a>0$且$a\neq1$），定義域$R$，值域$(0,+\infty)$，$a>1$遞增，$0<a<1$遞減。4.對數(shù)函數(shù)：$y=\log_ax$（$a>0$且$a\neq1$），定義域$(0,+\infty)$，值域$R$，$a>1$遞增，$0<a<1$遞減；運算性質(zhì)：$\log_a(mn)=\log_am+\log_an$，$\log_a\frac{m}{n}=\log_am-\log_an$，$\log_am^n=n\log_am$；換底公式：$\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}$（$c>0$且$c\neq1$）。三、三角函數(shù)（一）任意角的三角函數(shù)1.定義：角$\alpha$終邊一點$P(x,y)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$，則$\sin\alpha=\frac{y}{r}$，$\cos\alpha=\frac{x}{r}$，$\tan\alpha=\frac{y}{x}$（$x\neq0$）。2.符號：$\sin\alpha$一、二象限正，$\cos\alpha$一、四象限正，$\tan\alpha$一、三象限正。（二）同角三角函數(shù)關(guān)系1.平方關(guān)系：$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$；2.商數(shù)關(guān)系：$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$（$\cos\alpha\neq0$）。（三）誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$，$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$；$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$（余角公式）。（四）三角恒等變換1.兩角和與差：$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$；2.二倍角：$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$；3.輔助角：$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\varphi)$（$\tan\varphi=\frac{a}$）。（五）解三角形1.正弦定理：$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$為外接圓半徑）；2.余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cosA$；3.面積公式：$S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}ab\sinC$。四、數(shù)列（一）等差數(shù)列1.定義：$a_{n+1}-a_n=d$（$d$為公差）；2.通項：$a_n=a_1+(n-1)d$；3.前$n$項和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；4.性質(zhì)：$m+n=p+q\Rightarrowa_m+a_n=a_p+a_q$。（二）等比數(shù)列1.定義：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（$q$為公比，$q\neq0$）；2.通項：$a_n=a_1q^{n-1}$；3.前$n$項和：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$），$S_n=na_1$（$q=1$）；4.性質(zhì)：$m+n=p+q\Rightarrowa_ma_n=a_pa_q$。（三）數(shù)列求和方法1.錯位相減法：適用于等差×等比（如$a_n=n\cdot2^n$）；2.裂項相消法：適用于分式（如$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）。五、不等式（一）基本性質(zhì)傳遞性：$a>b$且$b>c\Rightarrowa>c$；乘除性質(zhì)：$a>b$且$c>0\Rightarrowac>bc$，$a>b$且$c<0\Rightarrowac<bc$；均值不等式：$a+b\geq2\sqrt{ab}$（$a,b>0$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$時取等號）。（二）一元二次不等式標(biāo)準(zhǔn)形式：$ax^2+bx+c>0$（$a>0$）；解法：求對應(yīng)方程根，根據(jù)圖像判斷解集（$\Delta>0$時兩根之外，$\Delta=0$時除重根外，$\Delta<0$時$R$）。（三）線性規(guī)劃步驟：畫可行域（直線定界，特殊點定域）、平移目標(biāo)函數(shù)直線（$z=ax+by$）、找最優(yōu)解（頂點處取得）。六、立體幾何（一）空間幾何體的度量1.表面積：圓柱：$2\pir(r+h)$（$r$為半徑，$h$為高）；球：$4\pir^2$。2.體積：棱柱/圓柱：$Sh$（$S$為底面積，$h$為高）；棱錐/圓錐：$\frac{1}{3}Sh$；球：$\frac{4}{3}\pir^3$。（二）空間平行與垂直1.線面平行：判定：平面外直線與平面內(nèi)直線平行（$a\notin\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\parallelb\Rightarrowa\parallel\alpha$）；性質(zhì)：線面平行$\Rightarrow$線與交線平行（$a\parallel\alpha$，$a\subset\beta$，$\alpha\cap\beta=b\Rightarrowa\parallelb$）。2.線面垂直：判定：直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直（$a\subset\alpha$，$b\subset\alpha$，$a\capb=P$，$l\perpa$，$l\perpb\Rightarrowl\perp\alpha$）；性質(zhì)：線面垂直$\Rightarrow$線與平面內(nèi)所有直線垂直。（三）空間角與距離1.異面直線所成角：平移后所得銳角（范圍$(0^\circ,90^\circ]$）；2.線面角：直線與射影所成銳角（范圍$[0^\circ,90^\circ]$）；3.點到平面的距離：體積法（$h=\frac{3V}{S}$，$V$為三棱錐體積，$S$為底面積）。七、解析幾何（一）直線與方程1.斜率：$k=\tan\alpha$（$\alpha$為傾斜角，$\alpha\neq90^\circ$），過$P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$的直線斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$（$x_1\neqx_2$）。2.直線方程：點斜式：$y-y_1=k(x-x_1)$（斜率存在）；一般式：$Ax+By+C=0$（$A,B$不同時為0）。3.距離公式：點到直線：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$（點$P(x_0,y_0)$到直線$Ax+By+C=0$）；平行直線間：$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$（直線$Ax+By+C_1=0$與$Ax+By+C_2=0$）。（二）圓與方程1.圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$（圓心$(a,b)$，半徑$r$）；一般式：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$，圓心$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半徑$\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}$）。2.直線與圓的位置關(guān)系：判定：圓心到直線距離$d$與半徑$r$的關(guān)系（$d<r$相交，$d=r$相切，$d>r$相離）。八、概率統(tǒng)計（一）概率1.古典概型：有限等可能，$P(A)=\frac{A包含的基本事件數(shù)}{總基本事件數(shù)}$；2.幾何概型：無限等可能，$P(A)=\frac{事件A的區(qū)域長度（面積/體積）}{總區(qū)域長度（面積/體積）}$；3.對立事件：$P(\overline{A})=1-P(A)$。（二）統(tǒng)計1.抽樣方法：簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機數(shù)法）：適用小總體；分層抽樣：適用差異明顯的總體（按層比例抽?。?。2.樣本估計總體：頻率分布直方圖：矩形面積=頻率，所有面積和=1；數(shù)字特征：眾數(shù)：最高矩形中點橫坐標(biāo)；中位數(shù)：累計頻率達(dá)0.5的橫坐標(biāo)；平均數(shù)：$\overline{x}=\frac{1}{n}\sumx_i$（或$\sum$組中值×頻率）；方差：$s^2=\frac{1}{n}\sum(x_i-\overline{x})^2$（反映離散程度）