一、專題概述自由落體運動是高中物理勻變速直線運動的典型特例，也是研究拋體運動、圓周運動等復雜運動的基礎。本專題將系統(tǒng)梳理自由落體運動的核心規(guī)律，拆解常見題型的解題邏輯，并通過實戰(zhàn)練習強化應用能力，幫助學生建立“矢量分析+公式應用+情境建模”的解題思維。二、知識梳理：核心概念與規(guī)律自由落體運動是初速度為0（\(v_0=0\)）、只受重力作用的勻加速直線運動，其本質是加速度為重力加速度（\(a=g\)）的勻變速直線運動。1.基本公式（取向下為正方向）速度公式：\(v=gt\)（速度隨時間線性增大）位移公式：\(h=\frac{1}{2}gt^2\)（位移與時間平方成正比）速度-位移關系：\(v^2=2gh\)（無時間參量時的快捷公式）平均速度公式：\(\bar{v}=\frac{v}{2}=\frac{gh}{v}\)（等于中間時刻的瞬時速度）2.關鍵性質矢量性：位移（\(h\)）、速度（\(v\)）、加速度（\(g\)）均為矢量，方向豎直向下（取向下為正方向時，符號為正）。獨立性：不同質量的物體在忽略空氣阻力時，下落加速度相同（伽利略的邏輯反駁：重物體與輕物體綁在一起，下落速度應介于兩者之間，與“重的下落快”矛盾）。對稱性：豎直上拋運動的上升階段與下落階段對稱（上升時間=下落時間，上升最大高度=下落起始高度，落地速度大小=初速度大小、方向相反）。3.豎直上拋運動（延伸）豎直上拋是初速度向上（\(v_0>0\)）、加速度向下（\(a=-g\)）的勻變速直線運動，可通過分段法（上升：勻減速到0；下落：自由落體）或整體法（直接用勻變速公式，注意符號）分析：上升時間：\(t_{\text{上}}=\frac{v_0}{g}\)（末速度為0時的時間）最大高度：\(h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}\)（用\(v^2-v_0^2=-2gh\)推導）落地時間：\(t_{\text{總}}=2t_{\text{上}}=\frac{2v_0}{g}\)（對稱關系）落地速度：\(v=-v_0\)（方向向下，與初速度相反）三、題型突破：分類解題邏輯題型1：基本公式的直接應用解題思路：明確已知量（\(h\)、\(t\)、\(v\)、\(g\)中的兩個），選擇對應公式求解未知量。例1：一個蘋果從3m高的樹枝上自由下落，求落地時的速度和下落時間（\(g=10\\text{m/s}^2\)）。解：落地速度：由\(v^2=2gh\)得\(v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times3}=\sqrt{60}\approx7.75\\text{m/s}\)。下落時間：由\(h=\frac{1}{2}gt^2\)得\(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\times3}{10}}=\sqrt{0.6}\approx0.775\\text{s}\)。練習1：物體從20m高處自由下落，求落地速度和時間（答案：\(v=20\\text{m/s}\)，\(t=2\\text{s}\)）。題型2：豎直上拋與自由落體的結合解題思路：分段分析上升與下落階段，或用整體法（注意符號）。例2：以20m/s的初速度豎直上拋一個小球，求：（1）上升的最大高度；（2）落回拋出點的時間；（3）落地時的速度（\(g=10\\text{m/s}^2\)）。解：（1）上升最大高度：\(h_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{20^2}{2\times10}=20\\text{m}\)。（2）落回時間：上升時間\(t_{\text{上}}=\frac{v_0}{g}=2\\text{s}\)，下落時間等于上升時間，總時間\(t_{\text{總}}=2t_{\text{上}}=4\\text{s}\)。（3）落地速度：下落階段自由落體，\(v=gt_{\text{下}}=20\\text{m/s}\)，方向向下（用整體法：\(v=v_0-gt_{\text{總}}=20-10\times4=-20\\text{m/s}\)，負號表示方向與初速度相反）。練習2：以15m/s的初速度豎直上拋，求最大高度和落地時間（答案：\(h=11.25\\text{m}\)，\(t=3\\text{s}\)）。題型3：多物體自由落體（追及/相遇問題）解題思路：1.設定時間變量（如A下落時間為\(t\)，B運動時間為\(t-\Deltat\)，\(\Deltat\)為B延遲出發(fā)時間）；2.寫出各物體的位移表達式（A：\(h_A=\frac{1}{2}gt^2\)；B：若上拋則\(h_B=v_0(t-\Deltat)-\frac{1}{2}g(t-\Deltat)^2\)）；3.根據(jù)相遇條件（如\(h_A+h_B=H\)，\(H\)為初始高度差）列方程求解；4.驗證解的合理性（如B是否在上升階段相遇，或是否已落地）。例3：球A從45m高處自由下落，球B在A下落1s后從地面豎直上拋，初速度\(v_0=30\\text{m/s}\)，求兩者相遇的時間和位置（\(g=10\\text{m/s}^2\)）。解：設A下落時間為\(t\)，則B運動時間為\(t-1\\text{s}\)。A的位移：\(h_A=\frac{1}{2}gt^2=5t^2\)；B的位移：\(h_B=v_0(t-1)-\frac{1}{2}g(t-1)^2=30(t-1)-5(t-1)^2\)。相遇條件：\(h_A+h_B=45\\text{m}\)（A從45m下落，B從地面上升，總位移之和為塔高）。代入得：\(5t^2+30(t-1)-5(t-1)^2=45\)。展開化簡：\(5t^2+30t-30-5t^2+10t-5=45\)→\(40t-35=45\)→\(t=2\\text{s}\)。此時B運動時間為\(1\\text{s}\)，上升時間\(t_{\text{上}}=\frac{v_0}{g}=3\\text{s}\)，故在上升階段相遇。相遇位置：A下落位移\(h_A=5\times2^2=20\\text{m}\)，離地面高度\(45-20=25\\text{m}\)（或B上升位移\(h_B=30\times1-5\times1^2=25\\text{m}\)，一致）。練習3：A從30m高處下落，B在A下落0.5s后上拋，\(v_0=20\\text{m/s}\)，求相遇時間和位置（答案：\(t=1.4\\text{s}\)，離地面20.4m）。題型4：實驗探究：用打點計時器測重力加速度實驗原理：自由落體是勻變速直線運動，相鄰相等時間（\(T\)）內的位移差為常數(shù)，即\(\Deltax=gT^2\)（\(\Deltax=x_{n+1}-x_n\)）。實驗步驟：1.安裝器材：將打點計時器固定在鐵架臺，紙帶下端掛重物，穿過計時器；2.通電打點：先接通電源（待計時器穩(wěn)定），再釋放重物；3.數(shù)據(jù)處理：選取點跡清晰的紙帶，測量相鄰點的距離（如\(x_1,x_2,\dots,x_6\)），用逐差法減小誤差。數(shù)據(jù)處理（逐差法）：取6個點（\(x_1\)到\(x_6\)，對應時間\(T,2T,\dots,6T\)），則：\[(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)=9gT^2\]解得：\(g=\frac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2}\)。例4：紙帶相鄰點（\(T=0.02\\text{s}\)）的距離為：\(x_1=0.002\\text{m}\)，\(x_2=0.006\\text{m}\)，\(x_3=0.010\\text{m}\)，\(x_4=0.014\\text{m}\)，\(x_5=0.018\\text{m}\)，\(x_6=0.022\\text{m}\)，求\(g\)。解：計算差值：\((x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)=(0.014+0.018+0.022)-(0.002+0.006+0.010)=0.054-0.018=0.036\\text{m}\)。代入公式：\(g=\frac{0.036}{9\times(0.02)^2}=\frac{0.036}{0.0004\times9}=10\\text{m/s}^2\)（符合預期）。練習4：紙帶相鄰點距離為\(x_1=0.005\\text{m}\)，\(x_2=0.015\\text{m}\)，\(x_3=0.025\\text{m}\)，\(x_4=0.035\\text{m}\)，\(x_5=0.045\\text{m}\)，\(x_6=0.055\\text{m}\)，\(T=0.02\\text{s}\)，求\(g\)（答案：\(g=10\\text{m/s}^2\)）。三、方法總結：解題技巧1.正方向選?。鹤杂陕潴w：取向下為正方向（\(v_0=0\)，\(a=g>0\)）；豎直上拋：取向上為正方向（\(v_0>0\)，\(a=-g<0\)）。統(tǒng)一正方向可避免符號混亂。2.分段與整體：豎直上拋：分段法（上升+下落）更直觀，適合求最大高度、上升時間；整體法（用\(v=v_0-gt\)、\(h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)）更快捷，適合求落地時間、速度，但需注意符號（如\(h=0\)表示回到拋出點）。3.圖像法：\(v-t\)圖像：自由落體是過原點的直線（斜率\(k=g\)）；豎直上拋是初速度為\(v_0\)、斜率為\(-g\)的直線（與\(t\)軸交點為最高點，面積為位移）。用圖像分析多物體運動（如A、B的\(v-t\)圖像交點表示速度相等，面積差表示位移差）。4.臨界問題：豎直上拋的最高點：速度為0（\(v=0\)），是上升與下落的轉折點，此時位移最大；多物體相遇的臨界條件：如B落地時間\(t_B=\sqrt{\frac{2(S-H)}{g}}\)，需判斷相遇時間\(t\)是否小于\(t_B\)（否則B已落地，無法相遇）。四、實戰(zhàn)演練：鞏固提升基礎題（難度★）1.自由下落的物體，在第3s內的位移是（\(g=10\\text{m/s}^2\)）（）A.15mB.25mC.45mD.90m（答案：B，解析：第3s內位移=前3s位移-前2s位移=\(\frac{1}{2}\times10\times9-\frac{1}{2}\times10\times4=45-20=25\\text{m}\)）2.物體從高處自由下落，落地時速度為30m/s，求下落高度（\(g=10\\text{m/s}^2\)）（）A.45mB.90mC.135mD.180m（答案：A，解析：\(h=\frac{v^2}{2g}=\frac{30^2}{2\times10}=45\\text{m}\)）中檔題（難度★★）3.豎直上拋一個物體，初速度為25m/s，求：（1）上升到15m高處的時間；（2）落回拋出點時的速度（\(g=10\\text{m/s}^2\)）。（答案：（1）\(t_1=1\\text{s}\)（上升階段）、\(t_2=4\\text{s}\)（下落階段）；（2）\(v=-25\\text{m/s}\)）4.一個物體從10m高處自由下落，同時另一個物體從地面豎直上拋，初速度為15m/s，求兩者相遇的時間和位置（\(g=10\\text{m/s}^2\)）。（答案：\(t=0.67\\text{s}\)，離地面6.7m）難題（難度★★★）5.球A從塔頂自由下落，當下落距離為2m時，球B從塔頂下方3m處自由下落，最終兩球同時落地，求塔高（\(g=10\\text{m/s}^2\)）。（答案：塔高\(S=6.25\\text{m}\)，解析：設塔高為\(S\)，A下落總時間\(t=\sqrt{\frac{2S}{g}}\)，A下落2m時間\(t_1=\sqrt{\frac{4}{10}}=0.632\\text{s}\)，B下落時間\(t_2=t-t_1=\sqrt{\frac{2(S-3)}{g}}\)，聯(lián)立得\(S=\frac{(3+2)^2}{4\times2}=6.25\\text{m}\)）易錯點提醒符號錯誤：豎直上拋落地時速度方向