第二章數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)202X/01/01§2.5函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查.重點(diǎn)解讀例1

(2025·大連模擬)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)?x1，x2∈[0，＋∞)，當(dāng)x1>x2時(shí)，f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)恒成立，f(2)＝16，則滿足f(m)≤4m2的實(shí)數(shù)m的取值范圍為

.

題型一[－2，2]函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0，由f(m)≤4m2，可得f(m)－4m2≤0，即g(m)≤g(2)，即|m|≤2，解得－2≤m≤2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，2].(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“f”脫掉，得到具體的不等式(組).(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進(jìn)而利用其單調(diào)性比較大小.思維升華跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x＋1)是R上的偶函數(shù)，且f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，a＝f(－1)，b＝f(e2)，c＝f(2)，則a，b，c的大小關(guān)系為A.a>b>c

B.b>c>aC.a>c>b

D.b>a>c√因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋1)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閍＝f(－1)＝f(3)，b＝f(e2)，c＝f(2)，e2>3>2，所以f(e2)>f(3)>f(2)，即b>a>c.例2

(多選)(2024·蘇州模擬)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2，則A.f(2024)＝－1B.f(x)的值域?yàn)閇－1，2]C.f(x)在[4，6]上單調(diào)遞減D.f(x)在[－6，6]內(nèi)有8個(gè)零點(diǎn)題型二√√函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，對(duì)于A，f(2024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇－1，2]，由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以f(x)在[－2，0]上的值域也為[－1，2]，又f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)的值域?yàn)閇－1，2]，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)＝2x－2單調(diào)遞增，又f(x)的一個(gè)周期是4，所以f(x)在[4，6]上單調(diào)遞增，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]內(nèi)有6個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.思維升華

√

例3

(多選)(2024·?？谀M)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足以下三個(gè)條件：①f(－x)＋f(x)＝0；②f(x)＝f(2－x)；③f(1)＝2，則下列說(shuō)法正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱(chēng)C.f(x＋4)＝f(x)D.f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(17)＝10√題型三√√函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性∵f(－x)＋f(x)＝0，f(x)的定義域?yàn)镽，∴f(x)為奇函數(shù)，又∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1.A選項(xiàng)，∵f(x)＝f(2－x)，∴－f(x)＝－f(2－x)，∴f(－x)＝f(x－2)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱(chēng)，故A正確；C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，f(x－2)＝－f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故C正確；B選項(xiàng)，方法一∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＋f(4＋x)＝0，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱(chēng).方法二∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱(chēng)，又f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱(chēng)，故B正確；D選項(xiàng)，∵f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(17)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝2，故D錯(cuò)誤.解決函數(shù)奇偶性與圖象的對(duì)稱(chēng)性的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意把已知函數(shù)的奇偶性按定義轉(zhuǎn)化，再判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心；也可利用圖象變換關(guān)系得出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝0，則下列命題成立的是A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱(chēng)B.f(3)＝0C.函數(shù)f(x＋4)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x＋1)為奇函數(shù)√√√因?yàn)閒(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，又f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，0)對(duì)稱(chēng)，且f(－1)＝0，A選項(xiàng)正確；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(3)＝f(－1)＝0，B選項(xiàng)正確；因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)的一個(gè)周期為4，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x＋4)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；f(x＋1)的圖象可以由f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱(chēng)，f(x＋1)為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確.

√題型四√√函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性和周期性來(lái)確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題.思維升華

√√

課時(shí)精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12345678910題號(hào)1234567答案ABBCDDBD題號(hào)8910答案ABC2對(duì)一對(duì)一、單項(xiàng)選擇題1.已知f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)＋f(x＋2)＝0，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝1－x2，則f(2025.5)等于A.－0.75 B.－0.25C.0.25 D.0.75√12345678910答案12345678910答案由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，則f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一個(gè)周期，故f(2025.5)＝f(1.5)＝－f(－0.5)＝－f(0.5)＝－(1－0.52)＝－0.75.12345678910答案

√12345678910答案

3.定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)A.在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減B.在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞增C.在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞減D.在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[－2，－1]上單調(diào)遞增√12345678910答案∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，∵f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，∴f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，又∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是周期為2的函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2，－1]上也單調(diào)遞增.12345678910答案4.(2025·西安模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(x＋2)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A.f(0)＝0B.f(x)是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期C.f(2025)＝1D.f(3)＝f(4)＋f(5)√12345678910答案12345678910答案選項(xiàng)A，因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，由f(x)＝f(x＋2)，知f(x)是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)閒(2025)＝f(1＋2×1012)＝f(1)，又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，所以f(2025)＝0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，f(3)＝f(1)＝0，f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0，選項(xiàng)D正確.5.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，且f(x＋2)為奇函數(shù)，若f(1)＝2，則f(2026)＋f(2027)等于A.－1 B.0

C.2

D.－2√12345678910答案123456789101112函數(shù)f(x＋2)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x＋2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，0)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為4，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象