專題3.1函數(shù)的概念及其表示課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.了解構(gòu)成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù),理解函數(shù)圖象的作用.3.通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用.新高考近3年考題題號考點數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運算邏輯推理2024(Ⅰ)卷6,8分段函數(shù)/抽象函數(shù)2024(Ⅱ)卷//2023(Ⅰ)卷11抽象函數(shù)2023(Ⅱ)卷19求函數(shù)解析式2022(Ⅰ)卷//2022(Ⅱ)卷8抽象函數(shù)1.函數(shù)的概念函數(shù)兩個集合A,B設(shè)A,B是兩個非空實數(shù)集對應(yīng)關(guān)系f:A→B如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，則稱

f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)2.函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y=fx,x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系；(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．【重要結(jié)論】①判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)：一看定義域是否相等，二看對應(yīng)法則是否相同；②判斷圖象是否為函數(shù)圖象：直線x=a與圖象至多有一個交點.3．函數(shù)的三種表示法解析法圖象法列表法就是把變量x，y之間的關(guān)系用一個關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)來表示，通過關(guān)系式可以由x的值求出y就是把x，y之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量x就是將變量x，y的取值列成表格，4.分段函數(shù)(1)分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)；(2)定義域：各段函數(shù)的定義域的并集；(3)其值域:各段函數(shù)的值域的并集.1.【人教A版必修一P663.1.1例3】下列函數(shù)中，與f(x)=x(x?1),x≥0?x(x+1),x<0有相同圖象的函數(shù)是(

)A.y=x(x2?1) B.y=|x|(x?1) C.x(|x|?1)2.【人教A版必修一P73習(xí)題3.1T7】畫出函數(shù)fx=x2?1,?x≥0?2x,?x<0考點考點一求函數(shù)的定義域【典例精講】例1.(2024·山東省濰坊市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，將曲線C1：x2+y2=1(x≥0)繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到曲線C2，若A.30° B.60° C.90° D.180°例2.(2024·安徽省安慶市聯(lián)考)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(P.G.L.Diric?let,18051859)在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，那么y是x的一個函數(shù)．”這個定義較清楚的說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個x，有一個確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個法則是公式還是用圖像、表格等形式表示．已知函數(shù)y=log3|x|，y∈{0,1}，則這樣函數(shù)的個數(shù)有A.4 B.8 C.9 D.無數(shù)個【方法儲備】1.判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù),關(guān)鍵在于兩點:一是定義域相同;二是對應(yīng)關(guān)系相同.其中定義域要在解析式化簡之前求得,在定義域的限制條件下可以對解析式進行化簡.2.函數(shù)定義中要求對于x的每一個確定值,y應(yīng)有唯一的值與之對應(yīng),否則就不能確定函數(shù)關(guān)系,據(jù)此可通過取特殊值驗證的方法判斷給出的一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).【拓展提升】練11(2024·四川省瀘州市期末)托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花.”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對應(yīng)關(guān)系是集合M={?1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函數(shù)的是(

)A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2 練12(2024·湖北省襄陽市月考)(多選)中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列選項中是同一個函數(shù)的是(

)A.y=x0?1與y=0 B.y=x?1?x與y=x?x考點考點二求函數(shù)的定義域【典例精講】例3.(2023·湖北省宜昌市月考)已知函數(shù)f(x)=1ln(x+1)+4?A.(?2,0)∪(0,4] B.(?1,0)∪(0,2] C.[?2,2] D.(?1,2]例4.(2024·江西省九江市期中)若函數(shù)f(x)的定義域為[1,3]，則函數(shù)g(x)=f(2x?1)x?1的定義域為(

)A.(1,2] B.(1,5] C.[1,2] D.[1,5]例5.(2024·遼寧省沈陽市月考)若函數(shù)y=mx2?(1?m)x+m的定義域為R，則m的取值范圍是

【方法儲備】1.求函數(shù)的定義域:研究函數(shù)問題都應(yīng)該注意“定義域優(yōu)先”（1）求具體函數(shù)的定義域=1\*romani）函數(shù)用解析式表示：求定義域時，不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化.一般通過列不等式(組)求其解集，列不等式的基本原則有：①分式：分母不能為零；②根式：偶次根式中根號內(nèi)的式子大于等于0；若偶次根式作分母，偶次根式根號內(nèi)的式子大于0；③零次冪：x0中底數(shù)x≠0④對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)為大于0且不等于；⑤三角函數(shù)：正切函數(shù)y=tanx的定義域為xx≠⑥若fx⑦在求實際問題或幾何問題的定義域，此時除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題或幾何問題有意義.=2\*romanii）函數(shù)用列表或圖象表示：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實數(shù)x的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對應(yīng)的實數(shù)的集合.注意：①不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化；②定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接．（2）求抽象函數(shù)的定義域①已知fx的定義域，求f若fx的定義域為a,b，則fgx中a≤gx≤b，解得②已知fgx的定義域，求若fgx的定義域為a,b，則由a≤x≤b確定gx的范圍，即為③已知fgx的定義域，求f可先由fgx定義域求得fx的定義域，再由fx④運算型的抽象函數(shù)求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集.注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是x的取值范圍，同一個f下括號內(nèi)的范圍是一樣的.2.已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的取值范圍：通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決．【拓展提升】練21(2024·山東省聊城市期末)函數(shù)y=lg(sinx)+cosx?12的定義域為

練22(2023·浙江省溫州市模擬)（多選）已知函數(shù)f(lnx)的定義域為(e,+∞)，值域為R，則(

)A.函數(shù)f(x4+1)的定義域為R B.函數(shù)f(x2+1)+1的值域為R

C.函數(shù)f(ex考點考點三求函數(shù)的解析式【典例精講】

例6.(2024·江蘇省泰州市月考)(多選)已知fx?1x=x2+A.fx+1=x+12+1x+12 B.例7.(2024·河北省石家莊市模擬)設(shè)函數(shù)fx對x≠0的一切實數(shù)均有fx+2f2020x=6x，則f2020A.?4036 B.2019 C.2018 D.4038例8.(2023·浙江省溫州市期末)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：=1\*GB3①對任意的x，y∈R，都有f(x?y)=f(x)?f(y)；=2\*GB3②當(dāng)x<0時，f(x)>0，則函數(shù)f(x)的解析式可以是

．例9.(2023·浙江省舟山市模擬)定義在R上的函數(shù)fx滿足f0=0,fx+f1?x=1,fx5=12A.1256 B.1128 C.164 例10.(2024·江蘇省南通市月考)貝塞爾曲線(Bezier?curve)是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線，一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數(shù)fx的圖象是可由A，B，C，D四點確定的貝塞爾曲線，其中A，D在fx的圖象上，fx在點A，D處的切線分別過點B，C.若A(0,0)，B(?1,?1)，C(2,2)，D(1,0)，則f(x)=(

)A.5x3?4x2?x B.3【方法儲備】求函數(shù)的解析式的常用方法：=1\*GB2⑴待定系數(shù)法：已知fx的類型，可先設(shè)出fx的表達式，再根據(jù)已知條件，求出待定的參數(shù)，求得fx的表達式.=2\*GB2⑵換元法：已知fgx的解析式，先設(shè)t=gx，轉(zhuǎn)化為x=?t，再代入fgx的表達式，得到ft的解析式，即為fx=3\*GB2⑶配湊法：已知fgx的解析式，將解析式配湊成gx的運算形式，從而得到fx的解析式注意：用換元法和配湊法求函數(shù)fx的解析式，注意定義域的變化=4\*GB2⑷構(gòu)造方程組法：已知出現(xiàn)fx與f1x的關(guān)系式、fx與f?x的關(guān)系式、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的關(guān)系式，可利用1x或?x“替換”原等式中的=5\*GB2⑸利用函數(shù)的奇偶性求解析式：已知fx為奇函數(shù)或偶函數(shù)，且已知x>0時f(x)的解析式，求x<0時f(x)的解析式.先設(shè)x<0，則?x>0，則可求出f(?x)的解析式，再根據(jù)f(x)=f(?x)或f(x)=?f(?x)，求得f(x).若fx為奇函數(shù)，定義域內(nèi)有0，則f0=0=6\*GB2⑹賦值法：當(dāng)?shù)仁桨兞枯^多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式.【拓展提升】練31(2024·江西省南昌市模擬)已知函數(shù)fx滿足2fx?1x+fx+1x=1+x，其中x∈且x≠0練32(2023·廣東省汕頭市聯(lián)考)若函數(shù)fx為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對任意實數(shù)x∈R，都有ffx?ex=e+1

(e是自然對數(shù)的底數(shù)練33(2023·湖北省黃岡市月考)黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在[0,1]上，其解析式為：Rx=1p,當(dāng)x=qpp,q都是正整數(shù),qp是既約真分?jǐn)?shù)0,當(dāng)x=0,1或0,1A.15 B.25 C.?2考點考點四分段函數(shù)及其應(yīng)用【典例精講】例11.(2024·四川省重慶市期中)已知函數(shù)f(x)=sin(πx+π6),x≤0A.6+32 B.6?32例12.(2023·廣東省陽江市月考)已知函數(shù)f(x)=x2+x,0<x<2?2x+8,x≥2，若f(a)=f(a+2)，則f(例13.(2023·北京市市轄區(qū)期中)已知函數(shù)f(x)=?x2+2x,x≤0ln(x+1),x>0，若|f(x)|≥ax，則實數(shù)aA.(?∞,0] B.(?∞,1] C.[?2,1] D.[?2,0]【方法儲備】1.已知自變量的值求函數(shù)值：根據(jù)自變量確定相應(yīng)的定義域，選擇正確的解析式，代值計算，求解時遵循由內(nèi)到外的順序進行.2.已知函數(shù)值求自變量的值：令各段解析式分別等于函數(shù)值，求出自變量的值之后再確定是否在相應(yīng)的定義域內(nèi)，若在，則保留；否則就舍去.3.已知分段函數(shù)解析式求值域或最值：求出各段函數(shù)的值域求并集，得到分段函數(shù)的值域；或求出各段函數(shù)的最值進行比較，得到分段函數(shù)的最值.4.分段函數(shù)與不等式的綜合：=1\*GB2⑴解分段函數(shù)不等式，分段求解不等式并與對應(yīng)的定義域取交集，最后將得到的各段范圍取并集即可.=2\*GB2⑵若含參，要注意分類討論，或求出的參數(shù)的值要驗證是否符合要求.強調(diào)：=1\*GB3①“分段求解”是處理分段函數(shù)問題解的基本思路；=2\*GB3②多使用數(shù)形結(jié)合，幫助解決如零點、不等式等復(fù)雜問題.因此要熟練的作出分段函數(shù)的圖象，分段作出各段圖象，注意端點處的虛實.【拓展提升】練41(2023·四川省綿陽市模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=x(1?x).則不等式xf(x)>0的解集為(

)A.(?1,0)∪(1,+∞) B.(?1,0)∪(0,1)

C.(?∞,?1)∪(0,1) D.(?∞,?1)∪(1,+∞)練42(2023·山東省青島市模擬)(多選)若函數(shù)f(x)=?x3?x+2+m,x<1,x+1?lnx,x≥1的值域為[2,+∞)A.f(3)>f(2) B.m≥2

C.f(ln22)<f(練43(2024·江蘇省徐州市月考)已知函數(shù)f(x)=2?x,x≥1x2+x?1,x<1，那么f(f(4))=

；若存在實數(shù)a，使得f(a)=f(f(a))，則1.(2024·湖北省武漢市模擬)已知函數(shù)y=f(x)(x≠0)滿足f(xy)=f(x)+f(y)?1，當(dāng)x>1時，f(x)<1，則(

)A.f(x)為奇函數(shù) B.若f(2x+1)>1，則?1<x<0

C.若f(2)=12，則f(1024)=?4 D.若f(2.(2024·江蘇省鹽城市模擬)(多選)已知f(x)=log3x,x>02x,x≤0A.f(cosα)=?1 B.f(sinα)=1 C.f(f(cosα))=12 D.3.(2024·重慶市市轄區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(tanx)=1sin2x，若x1、x2是方程2024x2【答案解析】1.【人教A版必修一P663.1.1例3】解：函數(shù)的定義域為R，各個選項中函數(shù)的定義域也都為R，

A.對應(yīng)法則不相同，不是相同函數(shù)；

B.y=|x|(x?1)=x(x?1),x≥0?x(x?1),x<0，對應(yīng)法則不相同，不是相同函數(shù)；

C.y=x(|x|?1)=x(x?1),x≥0?x(x+1),x<0，對應(yīng)法則相同，是相同函數(shù)；

D.y=x2.【人教A版必修一P73習(xí)題3.1T7】解：fxf?2=?14，fx的值域是[?1,+∞)例1.解：如圖，

要使C2是一個函數(shù)的圖象，必須使平行于y軸的直線與曲線有且只有一個交點，即對一個確定的x值，y有唯一的一個值與之對應(yīng)，

分析各選項得，僅當(dāng)α=90°滿足題意．

故選C．例2.

解：若log3x=0，則x=1或?1；若log3x=1，則x=3或?3；

故這個函數(shù)可以是

y=log3|x|，x∈{3,1}；y=log3|x|，x∈{3,?1}；

y=log3|x|，x∈{3,1,?1}；y=log3|x|，x∈{?3,1}；

y=log3|x|，x∈{?3,?1}；y=log練11.解：A.當(dāng)x=?1時，y=?2，沒有對應(yīng)值，不滿足條件．

B.當(dāng)x=4時，y=x+2=6，沒有對應(yīng)值，不滿足條件．

C.滿足條件．

D.當(dāng)x=?1時，y=1故選：C．練12.解：對于A，y=x0?1的定義域為{x|x≠0}，y=0的定義域為R，定義域不同，故不是同一個函數(shù)；

對于B，y=x所以y=x?x2=x?1?x，由x?x2≥0的定義域為{x|0≤x≤1}；

定義域、解析式相同，故為同一函數(shù);

對于例3.解：由x+1>0x+1≠14?x2≥0，得?1<x<0或0<x≤2．

再由?1<x2<0或0<x2≤2，得?2<x<0或0<x≤4．例4.解：因為函數(shù)f(x)的定義域為[1,3]，

所以在函數(shù)g(x)=f(2x?1)x?1中，

應(yīng)滿足1≤2x?1≤3x?1>0，解得1<x≤2，

所以函數(shù)g(x)的定義域為(1,2]．例5.解：∵函數(shù)的定義域為R，

∴不等式mx2?(1?m)x+m≥0恒成立，

當(dāng)m=0時，不等式等價為?x≥0，不恒成立，此時不滿足條件．

當(dāng)m≠0，要使不等式恒成立，則滿足m>01?m2?4m2≤0，解得m≥13，

即實數(shù)練21.解：由題意得：sinx>0cosx?12≥0，

得2kπ<x<π+2kπ?π3+2kπ≤x≤π3+2kπ,k∈Z,

解得練22.解：已知函數(shù)f(lnx)的定義域為(e,+∞)，

由x∈(e,+∞)，則lnx∈(1,+∞)

所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,+∞)，

對于A，因為函數(shù)f(x)的定義域為(1,+∞)，所以由x4+1>1，可得函數(shù)f(x4+1)的定義域為?∞,0∪0,+∞，故A錯誤；

對于B，函數(shù)f(x)所以由選項A可得，函數(shù)f(x2+1)所以函數(shù)f(x2+1)的值域也是R，所以函數(shù)f(x2+1)+1的值域為R，故B正確；

對于C，令所以t=ex+1因為ex>0對x∈R恒成立，所以函數(shù)fe又因為對于x∈1,+∞函數(shù)f(x)的值域為R，所以函數(shù)f(t)的值域也是R即函數(shù)fex+1ex的值域也是R，所以函數(shù)fex+1ex的定義域和值域都是R，故C正確；所以由log2x?1>1，可得x>3，所以函數(shù)ffx的定義域為3,+∞，故D

例6.解：因為

fx?1x所以

fx+1=x+12+2

故選：C．例7.解：由題意，f(2020x)+2f(x)=6·2020x，

聯(lián)立方程組有，f(2020x)+2f(x)=6·2020x例8.解：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：=1\*GB3①對任意的x，y∈R，都有f(x?y)=f(x)?f(y)；

當(dāng)x=y=0時，f(0)=0，

當(dāng)x=0時，f(?y)=?f(y)，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，=2\*GB3②當(dāng)x<0時，f(x)>0，

則當(dāng)x>0時，f(x)<0，

所以函數(shù)的解析式為f(x)=?x或?2x(不唯一)．

故答案為：f(x)=?x或?2x．例9.解：

∵f(0)=0,f(x)+f(1?x)=1

，令

x=1

得：

f(1)=1

，又

fx5反復(fù)利用

fx5=12f(x)再令

x=12

，由

f(x)+f(1?x)=1

，可求得

f同理反復(fù)利用

fx5=12f(x)由①②可得：有

f11250∵0≤x1<x2≤1

，所以

f12023≥f故

f12023故選：D．例10.解：因為f(x)的圖象經(jīng)過A(0,0)，D(1,0)，所以f(x)有兩個零點0，1，

故可設(shè)f(x)=x(x?1)(kx+m)(k≠0)，f′(x)=kx(x?1)+(kx+m)(2x?1)，

由于kAB=?1?0?1?0=1,kCD=2?02?1=2，

所以f′(0)=1，f′(1)=2，可得m=?1練31.解：以?x代入可得2f(x+1x)+f(x?1x)=1?x，

與2fx?1x+fx+1x=1+x聯(lián)立，可得f(x+1x)=13?x練32.解：設(shè)t=f(x)?e則f(x)=ex+t令x=t，則f(t)=e∵函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴t=1，∴f(x)=e即f(ln2)=e故答案為3．練33.解：f(x+2)+f(x)=0，得f?(x+2)=??f(x)，

則f(x+4)=?f(x+2)=f(x)，

故f(x)的周期為4．

因為f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以f(?ln2022)=f(ln2022)=0，f20225=f25例11.解：∵f(?2)=sin(?2π+π6)=sinπ6=1例12.解：當(dāng)0<a<2時，a+2>2，

所以fa=a2+a,fa+2=?2a+2+8，

因為f(a)=f(a+2)，所以a2+a=?2a+2+8，即a2+3a?4=0，

所以a=1或a=?4(舍)，所以f(1a)=f1=2；例13.解：由y=|f(x)|的圖象(如圖所示)知，

=1\*GB3①當(dāng)x>0時，只有a≤0時才能滿足|f(x)|≥ax．=2\*GB3②當(dāng)x≤0時，y=|f(x)|=|?x2+2x|=x2?2x．

故由|f(x)|≥ax得x2?2x≥ax．

當(dāng)x=0時，不等式為0≥0成立；

當(dāng)x<0時，不等式等價為x?2≤a．

∵x?2<?2，∴a≥?2．

綜上可知，a∈[?2,0]練41.解：根據(jù)題意，當(dāng)x<0時，?x>0，

則f(?x)=(?x)(1+x)=