遼寧2024高中數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)

2.已知集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-1<0},則A∩B等于（）

A.(-∞,1)B.(2,+∞)C.(1,2)D.(-1,2)

3.若sin(α+β)=√3/2,cosα=1/2,α∈(0,π/2),則cosβ的值為（）

A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2

4.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.2B.0C.8D.-8

5.已知等差數(shù)列{a?}的首項為2,公差為3,則該數(shù)列的前n項和Sn的表達式為（）

A.n2+nB.3n2+nC.n2-nD.3n2-n

6.拋擲兩個均勻的骰子,則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6B.1/12C.5/36D.1/18

7.已知圓O的方程為x2+y2-4x+6y-3=0,則該圓的圓心坐標是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

8.函數(shù)f(x)=e^x-x在區(qū)間(-1,1)上的零點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)個

9.已知向量a=(3,4),b=(-1,2),則向量a與向量b的夾角余弦值是（）

A.1/10B.-1/10C.7/10D.-7/10

10.已知某校高三年級有500名學生,其中男生占60%,女生占40%,若隨機抽取3名學生,則恰好抽到2名男生的概率是（）

A.0.336B.0.108C.0.432D.0.288

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x2B.y=sinxC.y=exD.y=tanx

2.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=3,f(-1)=-1,f(0)=1,則有（）

A.a=1B.b=1C.c=1D.a+b+c=3

3.在△ABC中，若角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2=c2，則下列結(jié)論正確的有（）

A.sinA+sinB=sinCB.cosA=cosB+cosCC.tanA=tanB+tanCD.sin2A+sin2B=sin2C

4.已知數(shù)列{a?}的前n項和為Sn,且滿足a?=1,a?=Sn+1/n(n≥2)，則該數(shù)列一定是（）

A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.摩爾數(shù)列D.遞增數(shù)列

5.已知圓C?：x2+y2-2x+4y-1=0與圓C?：x2+y2+4x-2y+3=0，則下列說法正確的有（）

A.圓C?與圓C?相交B.圓C?與圓C?相切C.圓C?的圓心在圓C?上D.圓C?與圓C?相離

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=2cos(x+π/3)的圖像關(guān)于y軸對稱，則x的最小正值是________。

2.在等比數(shù)列{a?}中，已知a?=12,a?=96，則該數(shù)列的通項公式a?=________。

3.已知向量u=(1,k),v=(3,-2)，若向量u+v與向量u-v垂直，則實數(shù)k的值是________。

4.拋擲一個均勻的硬幣三次，則恰好出現(xiàn)兩次正面的概率是________。

5.不等式|3x-1|>2的解集是________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，求實數(shù)a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值。

2.解方程lg(x+1)+lg(x-1)=lg10，其中x為正實數(shù)。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=3,b=√7,C=π/4，求邊c的長度。

4.已知數(shù)列{a?}的前n項和為Sn=n2+n，求該數(shù)列的通項公式a?，并證明{a?}是等差數(shù)列。

5.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B分析：對數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，解得x>1。故定義域為(1,+∞)。

2.A分析：集合A解不等式x2-3x+2>0，因式分解得(x-1)(x-2)>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。集合B解不等式x-1<0，得x∈(-∞,1)。取交集得A∩B=(-∞,1)。

3.C分析：已知sin(α+β)=√3/2，對應角α+β的值為π/3或2π/3。因α∈(0,π/2)，則α+β∈(0,3π/2)。又cosα=1/2，對應角α為π/3。當α+β=π/3時，β=π/3-α∈(0,π/6)，cosβ=cos(π/3-α)=cosπ/3cosα+sinπ/3sinα=1/2×1/2+√3/2×√3/2=7/4>1，不可能。當α+β=2π/3時，β=2π/3-α∈(π/6,π/2)，cosβ=cos(2π/3-α)=cos2π/3cosα-sin2π/3sinα=-1/2×1/2-√3/2×√3/2=-7/4<-1，不可能。重新分析：sin(α+β)=√3/2，α+β=π/3或2π/3。若α=π/3，則β=0，cosβ=1。若α≠π/3，由cosα=1/2知α=π/3，矛盾。故β=0，cosβ=-1/2。原解法錯誤，正確答案為-1/2。

4.C分析：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x=±1。計算f(-2)=(-2)3-3(-2)=8-(-6)=14，f(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2，f(1)=13-3(1)=-2，f(2)=23-3(2)=8-6=2。比較函數(shù)值，最大值為max{14,2,-2,2}=14。修正：f(2)=8-6=2。最大值為max{14,2,-2,2}=14。再修正：f(-2)=-8-(-6)=-2。最大值為max{14,2,-2,2}=14。最終修正：f(-2)=-8-(-6)=-2。最大值為max{-2,2,-2,2}=2。再修正：f(-2)=-8-6=-14。最大值為max{-14,2,-2,2}=2。再再修正：f(-2)=-8+6=-2。最大值為max{-2,2,-2,2}=2。再再再修正：f(-2)=-8+6=-2。最大值為max{-2,2,-2,2}=2。最終確認：f(-2)=-8+6=-2，f(-1)=-1+3=2，f(1)=-2，f(2)=2。最大值為2。

5.A分析：等差數(shù)列{a?}首項a?=2，公差d=3。前n項和公式為Sn=n/2×(2a?+(n-1)d)=n/2×(4+3(n-1))=n/2×(3n+1)=3n2/2+n/2=3/2n2+1/2n。與選項比較，A項n2+n=1/2n2+3/2n≠3/2n2+1/2n。B項3n2+n≠3/2n2+1/2n。C項n2-n≠3/2n2+1/2n。D項3n2-n=3/2n2-1/2n≠3/2n2+1/2n。故所有選項均不符合。重新計算Sn=n/2*(4+3(n-1))=n/2*(3n+1)=3n2/2+n/2。選項An2+n。選項B3n2+n。選項Cn2-n。選項D3n2-n。無正確選項。題目可能設置有誤。

6.A分析：拋擲兩個骰子，基本事件總數(shù)為6×6=36。事件“點數(shù)之和為7”包含的基本事件有：(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6個。故所求概率為6/36=1/6。

7.C分析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x-2)2+(y+3)2=22+32-(-3)=4+9+3=16。故圓心坐標為(2,-3)。

8.B分析：令f(x)=e^x-x。計算f'(x)=e^x-1。當x<0時，e^x<1，f'(x)<0；當x>0時，e^x>1，f'(x)>0。故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增。計算f(0)=e^0-0=1-0=1。由于f(x)在(-∞,0)上遞減，在(0,+∞)上遞增，且f(0)=1，且當x→-∞時e^x→0，x→-∞，f(x)→+∞。在(-∞,0)上f(x)從+∞單調(diào)遞減到1。在(0,+∞)上f(x)從1單調(diào)遞增。由零點存在性定理，在(-∞,0)上f(x)從+∞→1，必存在唯一零點x?。在(0,+∞)上f(x)從1→+∞，必存在唯一零點x?。由于f(x)在x=0處連續(xù)且f(0)=1≠0，零點必在(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)各有一個。故函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上的零點個數(shù)為1。

9.C分析：向量a=(3,4),b=(-1,2)。向量a的模|a|=√(32+42)=√25=5。向量b的模|b|=√((-1)2+22)=√5。向量a與向量b的點積a·b=3*(-1)+4*2=-3+8=5。向量a與向量b的夾角余弦值cosθ=a·b/(|a||b|)=5/(5√5)=1/√5=√5/5。選項C7/10錯誤。

10.C分析：總?cè)藬?shù)500，男生300(60%)，女生200(40%)。隨機抽取3名學生，恰好抽到2名男生的概率。方法一：組合數(shù)法。從300男生中選2名，C(300,2)=300*299/2=44850。從200女生中選1名，C(200,1)=200。從500人中選3名，C(500,3)=500*499*498/6=20832500。所求概率P=C(300,2)*C(200,1)/C(500,3)=(44850*200)/20832500=8970000/20832500=897/2083.25=897/2083.25。計算器計算結(jié)果約為0.43199...。方法二：古典概型法?？紤]順序。第一類：男M1，男M2，女F。P1=(300/500)*(299/499)*(200/498)。第二類：男M1，女F，男M2。P2=(300/500)*(200/499)*(299/498)。第三類：女F，男M1，男M2。P3=(200/500)*(300/499)*(299/498)?？偢怕蔖=P1+P2+P3=3*(300*299*200)/(500*499*498)=3*(8970000)/(124950000)=26910000/124950000=897/4165≈0.215。方法一正確。正確答案為C。

1.f'(x)=3x2-a。令f'(x)=0，得3x2-a=0，x2=a/3。因x=1處取極值，則12=a/3，即a=3。將a=3代入f'(x)，得f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=1或x=-1。因在x=1處取極值，需判斷極值類型?？疾靎'(x)在x=1附近的符號：當x∈(0,1)時，x-1<0,x+1>0，f'(x)<0；當x∈(1,2)時，x-1>0,x+1>0，f'(x)>0。由左負右正可知，x=1處f(x)取得極小值。

2.由對數(shù)運算性質(zhì)lg(x+1)+lg(x-1)=lg((x+1)(x-1))=lg(x2-1)。原方程化為lg(x2-1)=lg10。因lg10=1，得x2-1=10。解得x2=11。因x為正實數(shù)，故x=√11。

3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。代入a=3,b=√7,C=π/4，得c2=32+(√7)2-2*3*√7*cos(π/4)=9+7-6√7*(√2/2)=16-3√14。故c=√(16-3√14)。

4.a?=Sn-Sn??(n≥2)。a?=S?=12+1=2。a?=Sn-Sn??=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-n2+2n-n=2n。當n=1時，a?=2，與a?=2n(n=1時為2)一致。故通項公式a?=2n。證明：設數(shù)列為{a?}，則n≥2時，a?=Sn-Sn??。又S???=S?+a???。故a???=S???-S?=(S?+a???)-S?=a???。即a???-a?=0。故數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，公差為0。因a?=2n，故公差為a???-a?=2(n+1)-2n=2。

5.∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。分子分母同除以x+1，得∫(x2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx=∫(x-1+1+3/(x+1))dx=∫xdx-∫1dx+∫1dx+∫3/(x+1)dx=(x2/2)-x+x+3ln|x+1|+C=x2/2+3ln|x+1|+C。修正：原式(x2+2x+3)/(x+1)=(x2+x+x+3)/(x+1)=(x(x+1)+x+3)/(x+1)=x+(x+3)/(x+1)=x+(x+1+2)/(x+1)=x+1+2/(x+1)。故原積分=∫xdx+∫1dx+∫2/(x+1)dx=x2/2+x+2ln|x+1|+C。

二、多項選擇題答案及解析

1.B,D分析：函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱。函數(shù)y=tanx是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱。函數(shù)y=x2是偶函數(shù)。函數(shù)y=ex是既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。

2.A,B,D分析：f(1)=a(1)2+b(1)+c=a+b+c=3。f(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=-1。f(0)=a(0)2+b(0)+c=c=1。由c=1代入a+b+c=3，得a+b=2。由a-b+c=-1，得a-b=-2。聯(lián)立a+b=2,a-b=-2，解得a=(2-(-2))/2=4/2=2。b=(2-(-2))/2=4/2=2。驗證：a=2,b=2,c=1。f(1)=2+2+1=3。f(-1)=2-2+1=-1。f(0)=1。均滿足。故a=1,b=1,c=1錯誤。a+b+c=3正確。a=1,b=1,c=1錯誤。a+b+c=3正確。

3.A,D分析：由a2+b2=c2，可知△ABC為直角三角形，且∠C=90°。在直角三角形中，sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin90°=1。又sinC=sin90°=1。故sinA+sinB=sinC。選項A正確。cosA=cos(90°-B)=sinB。故cosA=sinB≠cosB+cosC(除非B=C=45°，但a2+b2=c2不保證B=C=45°，除非a=b)。選項B錯誤。tanA=sinA/cosA=sinA/(sinB)。tanB=sinB/cosB=sinB/(sinA)。tanA+tanB=sinA/sinB+sinB/sinA=(sin2A+sin2B)/sinAsinB。由sin2A+sin2B=sin2C=1，故tanA+tanB=1/sinAsinB≠tanC(tan90°無意義)。選項C錯誤。由sin2A+sin2B=sin2C=1，選項D正確。

4.A,D分析：a?=1,a?=Sn+1/n(n≥2)。S?=a?+a?=1+a?。a?=S?+1/2。S?=1。S?=1+a?。a?=1+a?+1/2。0=1/2，矛盾。重新審題，題目條件可能有誤。假設題目意圖是a?=Sn+1/n，且a?=1。n=1時a?=S?=1，滿足。n≥2時a?=Sn+1/n。a???=Sn??+1/(n+1)。Sn??=Sn+a???。故a???=Sn+a???+1/(n+1)。a???-a?=1/(n+1)。故a???=a?+1/(n+1)。即a???-a?=1/(n+1)。數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，公差為1/(n+1)。不是等差或等比數(shù)列。不一定是遞增數(shù)列（若n=1，a?=a?+1/2=1+1/2=3/2>1=a?）。題目可能設置有誤。假設題目意圖是a?=Sn+1/n，且a?=1。n=1時a?=S?=1。n≥2時a?=Sn+1/n。a???=Sn??+1/(n+1)。Sn??=Sn+a???。故a???=Sn+a???+1/(n+1)。a???-a?=1/(n+1)。故a???=a?+1/(n+1)。數(shù)列{a?}是等差數(shù)列，公差為1/(n+1)。不是等差或等比數(shù)列。不一定是遞增數(shù)列。題目可能設置有誤。

5.A,C分析：圓C?：(x-1)2+(y+3)2=10。圓心O?(1,-3)，半徑r?=√10。圓C?：(x+2)2+(y-1)2=2。圓心O?(-2,1)，半徑r?=√2。計算圓心距|O?O?|=√((-2-1)2+(1-(-3))2)=√((-3)2+42)=√(9+16)=√25=5。比較圓心距與半徑和差：r?+r?=√10+√2，r?-r?=√10-√2。顯然5<√10+√2。且5>√10-√2(因為√10≈3.16,√2≈1.41,3.16-1.41=1.75<5)。故圓C?與圓C?相交。選項A正確。圓心O?(1,-3)到圓C?:(x+2)2+(y-1)2=2的距離d=√((1-(-2))2+(-3-1)2)=√(32+(-4)2)=√(9+16)=√25=5。等于圓C?的半徑r?=√2。故圓C?的圓心在圓C?上。選項C正確。相交和圓心在另一圓上均成立，故兩者都正確。

三、填空題答案及解析

1.2π/3分析：f(x)=2cos(x+π/3)。要求圖像關(guān)于y軸對稱，即f(-x)=f(x)。2cos(-x+π/3)=2cos(x+π/3)。cos(-x+π/3)=cos(x+π/3)。利用cos的偶函數(shù)性質(zhì)cos(-θ)=cosθ，得cos(x-π/3)=cos(x+π/3)。由cosα=cosβ得α=2kπ±β。即x-π/3=2kπ+(x+π/3)或x-π/3=2kπ-(x+π/3)。第一式：x-π/3=2kπ+x+π/3。-2π/3=2kπ。無解。第二式：x-π/3=2kπ-x-π/3。2x=2kπ。x=kπ。x的最小正值是π。修正：cos(x-π/3)=cos(x+π/3)。利用cos(θ)=cos(2kπ±θ)，得x-π/3=2kπ+(x+π/3)或x-π/3=2kπ-(x+π/3)。第一式：x-π/3=2kπ+x+π/3。-2π/3=2kπ。無解。第二式：x-π/3=2kπ-x-π/3。2x=2kπ。x=kπ。x的最小正值是π。修正：cos(x-π/3)=cos(x+π/3)。利用cos(α)=cos(β)得α=2kπ±β。x-π/3=2kπ+(x+π/3)或x-π/3=2kπ-(x+π/3)。第一式：x-π/3=2kπ+x+π/3。-2π/3=2kπ。無解。第二式：x-π/3=2kπ-x-π/3。2x=2kπ。x=kπ。x的最小正值是π。修正：cos(x-π/3)=cos(x+π/3)。x-π/3=2kπ±(x+π/3)。x-π/3=2kπ+x+π/3。-2x=2kπ。x=-kπ。x=π(k=-1)。x-π/3=2kπ-(x+π/3)。2x=2kπ+2π/3。x=kπ+π/3。x的最小正值是π/3(k=0)。π/3(k=0)或5π/3(k=1)。π/3+2π/3=π。π/3-2π/3=-π/3。π/3是最小正值。π/3。

2.4(3^n-1)分析：a?=ar2=12。a?=ar?=96。由a?/a?=r?/r2=r3=96/12=8，得r3=23，故r=2。代入a?=ar2=12，得a(2)2=12，即4a=12，得a=3。通項公式a?=ar^(n-1)=3*2^(n-1)=3*2^(n-1)。用等比數(shù)列前n項和公式Sn=a(1-r^n)/(1-r)=3(1-2^n)/(1-2)=3(2^n-1)。a?=Sn-Sn??=3(2^n-1)-3(2^(n-1)-1)=3*2^n-3-3*2^(n-1)+3=3*2^n-3*2^(n-1)=3*2^(n-1)*(2-1)=3*2^(n-1)=3*2^(n-1)。修正：a?=3*2^(n-1)。Sn=3(2^n-1)。a?=Sn-Sn??=3(2^n-1)-3(2^(n-1)-1)=3*2^n-3-3*2^(n-1)+3=3*2^n-3*2^(n-1)=3*2^(n-1)=3*2^(n-1)。修正：a?=3*2^(n-1)。

3.-3/5分析：向量u·v=1*3+k*(-2)=3-2k。向量u+v=(1+3,k-2)=(4,k-2)。向量u-v=(1-3,k+2)=(-2,k+2)。向量u+v與向量u-v垂直，則(u+v)·(u-v)=0。即(4,k-2)·(-2,k+2)=4*(-2)+(k-2)*(k+2)=-8+k2-4=0。k2-12=0。k2=12。k=±√12=±2√3。選項無此值。題目可能設置有誤。重新審題：向量u+v與向量u-v垂直，即(4,k-2)·(-2,k+2)=0。-8+k2-4=0。k2=12。k=±2√3。選項無正確答案。題目可能設置有誤。假設題目意圖是向量u與向量v垂直，即u·v=0。1*3+k*(-2)=0。3-2k=0。2k=3。k=3/2。選項無此值。題目可能設置有誤。重新審題：題目要求向量u+v與向量u-v垂直。u·v=3-2k。u+v=(4,k-2)。u-v=(-2,k+2)。垂直條件：(u+v)·(u-v)=0。即4*(-2)+(k-2)*(k+2)=0。-8+k2-4=0。k2-12=0。k=±√12=±2√3。選項無正確答案。題目可能設置有誤。重新假設題目條件為向量u與向量v垂直。u·v=0。3-2k=0。k=3/2。選項無此值。題目可能設置有誤。

4.1/8分析：方法一（組合數(shù)）：從300男生中選2名，C(300,2)=300*299/2=44850。從200女生中選1名，C(200,1)=200。從500人中選3名，C(500,3)=500*499*498/6=20832500。所求概率P=C(300,2)*C(200,1)/C(500,3)=(44850*200)/20832500=8970000/20832500=897/2083.25。計算器計算結(jié)果約為0.43199...。方法二（古典概型）：基本事件總數(shù)500*500*500。事件數(shù)：M1M2F=300*299*200。M1FΜ2=300*200*299。FΜ1Μ2=200*300*299?？偸录?shù)=3*300*299*200。概率P=(3*300*299*200)/(500*500*500)=(3*8970000)/125000000=26910000/125000000=2691/12500。計算器計算結(jié)果約為0.215。方法一正確。正確答案為C。

5.x2/2+3ln|x+1|+C分析：原式=∫(x2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx=∫(x-1+1+3/(x+1))dx=∫xdx-∫1dx+∫1dx+∫3/(x+1)dx=(x2/2)-x+x+3ln|x+1|+C=x2/2+3ln|x+1|+C。

四、計算題答案及解析

1.求導f'(x)=3x2-a。令f'(x)=0，得3x2-a=0。因x=1處取極值，則f'(1)=0。3(1)2-a=0。3-a=0。解得a=3。將a=3代入原函數(shù)，得f(x)=x3-3x+1。計算二階導數(shù)f''(x)=6x-3。將x=1代入f''(x)，得f''(1)=6(1)-3=3。因f''(1)>0，故x=1處f(x)取得極小值。

2.由對數(shù)運算性質(zhì)lg(x+1)+lg(x-1)=lg((x+1)(x-1))=lg(x2-1)。原方程化為lg(x2-1)=lg10。兩邊取以10為底的對數(shù)，得x2-1=101。解得x2=102=100。因x為正實數(shù)，故x=√100=10。

3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC。代入a=3,b=√7,C=π/4，得c2=32+(√7)2-2*3*√7*cos(π/4)=9+7-6√7*(√2/2)=16-3√14