南京高考一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1

B.2

C.1或2

D.-1或2

2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z的模長(zhǎng)為（）

A.1

B.-1

C.2

D.√2

4.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1+a_4+a_7=15，則a_3+a_5+a_6的值為（）

A.10

B.12

C.15

D.18

5.已知點(diǎn)P(x,y)在圓x^2+y^2-4x+4y-1=0上，則點(diǎn)P到直線x-y=0的距離的最小值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

6.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像向右平移π/4個(gè)單位后與自身完全重合，則ω的值為（）

A.1

B.2

C.4

D.8

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且a=√2，則邊b的值為（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

8.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.e

B.1/e

C.2e

D.2/e

9.在直四棱柱ABC-D1C1B1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且AA1=1，則二面角A-BB1-C的余弦值為（）

A.1/2

B.√2/2

C.√3/2

D.1

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為（）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+a^2+1，若f(x)在x=1處取得最小值，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.a=1

B.f(0)=3

C.函數(shù)的圖像開(kāi)口向上

D.函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.公比q=3

B.a_1=2

C.a_6=1458

D.S_4=120

3.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，點(diǎn)C(2,1)，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.△ABC是直角三角形

B.AB的斜率為-1

C.BC的長(zhǎng)度為√2

D.AC的垂直平分線方程為x+y=3

4.若函數(shù)f(x)=sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.函數(shù)的最小正周期為π

B.函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.函數(shù)的最大值為2

D.函數(shù)的解析式可以化為f(x)=1+sin2x

5.在三棱錐P-ABC中，若PA⊥平面ABC，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=2，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.PC的長(zhǎng)度為2√3

B.二面角P-AB-C的余弦值為√3/3

C.三棱錐P-ABC的體積為2√3

D.平面PAB與平面PBC所成二面角的正切值為√3

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)_______。

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，d=-2，則a_10的值為_(kāi)_______。

3.已知圓C的方程為x^2+y^2-6x+8y-11=0，則圓C的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______。

4.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^2的虛部為_(kāi)_______。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且邊a=√3，則邊b的值為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_1=2，公差d=3，求前n項(xiàng)和S_n。

3.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑。

4.已知復(fù)數(shù)z=3+4i，求z的模長(zhǎng)和輻角主值。

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，且邊a=5，求邊b和邊c的長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：集合A={1,2}，B?A，則B={1}或B={2}或B=?。若B={1}，則x^2-ax+1=1，即x^2-ax=0，得x(x-a)=0，解得x=0或x=a，此時(shí)B={0,a}，不可能包含僅1，故a=1不成立。若B={2}，則x^2-ax+1=4，即x^2-ax-3=0，解得(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1，此時(shí)B={3,-1}，不可能包含僅2，故a=2不成立。若B=?，則x^2-ax+1=0無(wú)解，即Δ=a^2-4<0，解得-2<a<2。綜上，a=1或2時(shí)B?A，故選C。

2.C

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-2的距離之和。當(dāng)x在-2和1之間時(shí)，即-2≤x≤1，|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3。此時(shí)函數(shù)取得最小值3。故選C。

3.A

解析：復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z=±1。z=1的模長(zhǎng)為|1|=1；z=-1的模長(zhǎng)為|-1|=1。故z的模長(zhǎng)為1。故選A。

4.C

解析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a_1，公差為d。則a_1+a_4+a_7=a_1+(a_1+3d)+(a_1+6d)=3a_1+9d=15。所以a_1+3d=5。則a_3+a_5+a_6=(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+5d)=3a_1+11d=3(a_1+3d)+2d=3*5+2d=15+2d。由于3a_1+9d=15，即3(a_1+3d)=15，所以2d=0，即d=0。則a_3+a_5+a_6=15。故選C。

5.B

解析：圓x^2+y^2-4x+4y-1=0，即(x-2)^2+(y+2)^2=9，圓心為(2,-2)，半徑為3。點(diǎn)P到直線x-y=0的距離d=|2-(-2)|/√(1^2+(-1)^2)=4/√2=2√2。最小距離為圓心到直線的距離減去半徑，即2√2-3。故選B。

6.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像向右平移π/4個(gè)單位后與自身重合，即f(x-π/4)=f(x)。所以sin(ω(x-π/4)+φ)=sin(ωx+φ)。即sin(ωx-ωπ/4+φ)=sin(ωx+φ)。所以ωπ/4=2kπ，k∈Z。由于ω>0，最小正周期為2π/ω，所以2π/ω=kπ，k∈Z。即ω=2k。最小正周期為2π/(2k)=π/k。要使周期為π，則k=1。所以ω=2。故選C。

7.A

解析：在△ABC中，由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以b=a*sinB/sinA=√2*sin45°/sin60°=√2*(√2/2)/(√3/2)=2/√3=2√3/3。故選A。

8.A

解析：f(x)=e^x-ax。f'(x)=e^x-a。在x=1處取得極值，所以f'(1)=e-a=0。解得a=e。故選A。

9.C

解析：直四棱柱ABC-D1C1B1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AA1=1。取AD中點(diǎn)O，連接BO，CO，BO⊥AD，CO⊥AD，∠BOC為二面角A-BB1-C的平面角。BO=√(AB^2-AO^2)=√(2^2-1^2)=√3。CO=√(AC^2-OC^2)=√(2^2-1^2)=√3。BC=2。由勾股定理，BC^2=BO^2+CO^2，所以∠BOC=90°。則二面角A-BB1-C的平面角為90°，余弦值為cos90°=0。故選C。

10.B

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x。f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x+2/3)=3[(x-1)^2-1/3]=3(x-1-√3/3)(x-1+√3/3)。令f'(x)=0，解得x=1-√3/3或x=1+√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，所以x=1-√3/3為極大值點(diǎn)。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，所以x=1+√3/3為極小值點(diǎn)。f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=(1-√3/3)[(1-√3/3)^2-3(1-√3/3)+2]=(1-√3/3)(1-2√3/3+3/9-3+√3+2)=(1-√3/3)(-8/9+4√3/3)=(1-√3/3)(4√3/3-8/9)=(4√3-8)/9(1-√3/3)=(4√3-8)/9*(3-√3)/3=(12√3-8-12+8√3)/27=(20√3-20)/27。f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=(1+√3/3)[(1+√3/3)^2-3(1+√3/3)+2]=(1+√3/3)(1+2√3/3+3/9-3-√3+2)=(1+√3/3)(-8/9-4√3/3)=(1+√3/3)(-4√3/3-8/9)=(-4√3-8)/9*(3+√3)/3=(-12√3-24)/27=(-4√3-8)/9。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-1-3-2=-6。f(3)=3^3-3*3^2+2*3=27-27+6=6。比較f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(3)的值，f(1-√3/3)=(-4√3-8)/9≈-1.154，f(1+√3/3)=(-12√3-24)/27≈-1.154，f(3)=6。最大值為6。故選B。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABCD

解析：f(x)=x^2-2ax+a^2+1=(x-a)^2+1。圖像為開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)為(a,1)。若f(x)在x=1處取得最小值，則頂點(diǎn)橫坐標(biāo)a=1。此時(shí)f(x)=(x-1)^2+1，f(0)=1^2+1=2。圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=a=1。故ABC正確，D錯(cuò)誤。

2.ABCD

解析：a_2=a_1*q=6。a_4=a_1*q^3=54。所以a_1*q=6，a_1*q^3=54。q^2=a_4/a_2=54/6=9。所以q=3或q=-3。若q=3，a_1*3=6，得a_1=2。a_6=a_1*q^5=2*3^5=2*243=486。S_4=a_1*(q^4-1)/(q-1)=2*(3^4-1)/(3-1)=2*(81-1)/2=80。若q=-3，a_1*(-3)=6，得a_1=-2。a_6=(-2)*(-3)^5=(-2)*(-243)=486。S_4=a_1*(q^4-1)/(q-1)=-2*((-3)^4-1)/(-3-1)=-2*(81-1)/(-4)=-2*80/-4=40。故ABCD均正確。

3.ABCD

解析：AB斜率k_AB=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。BC斜率k_BC=(1-0)/(2-3)=1/-1=-1。AC斜率k_AC=(1-2)/(2-1)=-1/1=-1。AB斜率與BC斜率不相等，所以AB與BC不平行?！鰽BC中，角A=∠BAC，角B=∠ABC。AB的斜率為-1，∠BAC為銳角，所以tan∠BAC=-1/(-1)=1?！螧AC=45°。BC的長(zhǎng)度|BC|=√((2-3)^2+(1-0)^2)=√((-1)^2+1^2)=√2。AC的垂直平分線過(guò)AC中點(diǎn)E((1+2)/2,(2+1)/2)=(3/2,3/2)，且垂直于AC。AC斜率為-1，所以垂直平分線斜率為1。方程為y-3/2=1*(x-3/2)，即y=x。x+y=3。故ABCD均正確。

4.ACD

解析：f(x)=sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx=1+sin2x。最小正周期T=2π/2=π。函數(shù)為奇函數(shù)f(-x)=1+sin(-2x)=1-sin2x=-f(x)。圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。最大值為1+1=2。故ACD正確，B錯(cuò)誤。

5.BCD

解析：PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC。△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AB=AC=2，BC=2。PC為△PAB和△PAC的高。由勾股定理，PB=AB^2+PA^2=2^2+2^2=8=2√2。PC=AC^2+PA^2=2^2+2^2=8=2√2。二面角P-AB-C的平面角為∠PCB。cos∠PCB=BC/PC=2/(2√2)=√2/2。三棱錐P-ABC的體積V=(1/3)S△ABC*PA=(1/3)*(√3/4)*2^2*2=√3*2/3*4=2√3。平面PAB與平面PBC所成二面角的平面角為∠PAB。tan∠PAB=PA/AB=2/2=1。故BCD正確，A錯(cuò)誤。

三、填空題答案及解析

1.(-1,1)

解析：f(x)=ln(x+1)-x。f'(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)。令f'(x)>0，解得x<1。所以單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)。

2.-4

解析：a_5=a_1+4d=10。a_10=a_1+9d=a_5+4d=10+4*(-2)=10-8=-4。

3.(3,-4)

解析：x^2+y^2-6x+8y-11=0，即(x^2-6x+9)+(y^2+8y+16)=11+9+16，即(x-3)^2+(y+4)^2=36。圓心為(3,-4)，半徑為6。

4.1

解析：z=1+i。z^2=(1+i)^2=1^2+2*1*i+i^2=1+2i-1=2i。虛部為2。

5.2

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB。b=a*sinB/sinA=√3*sin45°/sin60°=√3*(√2/2)/(√3/2)=√2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.最大值為6，最小值為-2。

解析：f(x)=x^3-3x^2+2x。f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x+2/3)=3[(x-1)^2-1/3]=3(x-1-√3/3)(x-1+√3/3)。令f'(x)=0，解得x=1-√3/3或x=1+√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，所以x=1-√3/3為極大值點(diǎn)。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，所以x=1+√3/3為極小值點(diǎn)。f(1-√3/3)=(1-√3/3)^3-3(1-√3/3)^2+2(1-√3/3)=(1-√3/3)(1-2√3/3+2/9-3+√3+2)=(1-√3/3)(-8/9+4√3/3)=(4√3-8)/9(1-√3/3)=(4√3-8)/9*(3-√3)/3=(12√3-20)/27。f(1+√3/3)=(1+√3/3)^3-3(1+√3/3)^2+2(1+√3/3)=(1+√3/3)(1+2√3/3+2/9-3-√3+2)=(1+√3/3)(-8/9-4√3/3)=(-4√3-8)/9*(3+√3)/3=(-12√3-24)/27=(-4√3-8)/9。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2(-1)=-1-3-2=-6。f(3)=3^3-3*3^2+2*3=27-27+6=6。比較f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(3)的值，f(-1)=-6，f(1-√3/3)≈-1.154，f(1+√3/3)≈-1.154，f(3)=6。最大值為6，最小值為-6。

2.S_n=n(a_1+(n-1)/2*d)=n(2+1/2*(3-1))=n(2+3/2)=n*7/2=7n/2。

解析：首項(xiàng)a_1=2，公差d=3。前n項(xiàng)和S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(2*2+(n-1)*3)=n/2*(4+3n-3)=n/2*(3n+1)=3n^2/2+n/2=7n/2。

3.圓心為(2,-3)，半徑為5。

解析：x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。圓心為(2,-3)，半徑為√16=4。原答案半徑為5錯(cuò)誤，應(yīng)為4。

4.模長(zhǎng)為5，輻角主值為arctan(4/3)。

解析：z=3+4i。模長(zhǎng)|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。輻角θ滿足tanθ=4/3。θ在第一象限，所以θ=arctan(4/3)。

5.b=√7，c=√15。

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。b=a*sinB/sinA=5*sin45°/sin60°=5*(√2/2)/(√3/2)=5√6/3。c=a*sinC/sinA=5*sin60°/sin60°=5*√3/3=5√3/3。由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，得5^2=(5√6/3)^2+(5√3/3)^2-2*(5√6/3)*(5√3/3)*cos60°。25=50+25-50=25。驗(yàn)證無(wú)誤。原答案b=√7，c=√15計(jì)算有誤，b=5√6/3，c=5√3/3。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

1.集合與函數(shù)：集合的運(yùn)算（交集、并集、補(bǔ)集），函數(shù)的概念、定義域、值域、圖像、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性），函數(shù)的平移變換。

2.數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的極限和遞推關(guān)系。

3.解析幾何：直線方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式），圓的方程和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到圓的距離，直線與圓的位置關(guān)系，圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的基本性質(zhì)。

4.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模