七星關(guān)區(qū)高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.[1,+∞)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|等于（）

A.1

B.2

C.√2

D.√3

3.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=3，公差d=2，則a?的值是（）

A.7

B.9

C.11

D.13

4.直線y=kx+1與圓(x-1)2+(y-2)2=5相切，則k的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

5.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的可能取值是（）

A.kπ+π/2(k∈Z)

B.kπ-π/2(k∈Z)

C.kπ(k∈Z)

D.kπ+π/4(k∈Z)

6.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則a·b等于（）

A.-5

B.5

C.7

D.-7

7.不等式|2x-1|<3的解集是（）

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-2,4)

8.已知三角形ABC中，∠A=45°，∠B=60°，則∠C等于（）

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

9.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，則兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

10.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則f(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)f'(2)等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-2x+1

B.y=x2

C.y=log?/?x

D.y=e?

2.在△ABC中，若a2=b2+c2-bc，則∠A可能的度數(shù)是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

3.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列命題中，真命題是（）

A.若a2=b2，則a=b

B.若a>b，則a2>b2

C.不存在實(shí)數(shù)x使得x2<0

D.若a·b=0，則a=0或b=0

5.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.線段AB的長(zhǎng)度為2√2

B.線段AB的斜率為-2

C.過(guò)點(diǎn)A且與直線AB垂直的直線方程為y=1/2x+3/2

D.過(guò)點(diǎn)B且與直線AB平行的直線方程為y=-2x+6

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知集合A={x|-1<x<3}，B={x|x≥1}，則A∩B=_______。

2.計(jì)算：sin(30°)cos(45°)+cos(30°)sin(45°)=_______。

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=54，則該數(shù)列的公比q=_______。

4.拋擲一個(gè)均勻的六面骰子，則出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是_______。

5.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-5·2^x+2=0。

2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+2)，求f(2)的值。

3.計(jì)算：lim(x→3)(x2-9)/(x-3)。

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，C=60°，求邊c的長(zhǎng)度。

5.求不定積分：∫(x2+2x+3)/xdx。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義需滿足x-1>0，解得x>1，即定義域?yàn)?1,+∞)。

2.C

解析：復(fù)數(shù)z=1+i的模|z|=√(12+12)=√2。

3.D

解析：等差數(shù)列{a?}中，a?=a?+(n-1)d，所以a?=3+(5-1)×2=13。

4.C

解析：直線y=kx+1與圓(x-1)2+(y-2)2=5相切，則圓心(1,2)到直線的距離d=|k×1-1+2|/√(k2+1)=√5，解得k=2。

5.C

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，需滿足sin(ω(-x)+φ)=sin(ωx+φ)，即ω(-x)+φ=ωx+φ+k·2π或ω(-x)+φ=π-(ωx+φ)+k·2π，化簡(jiǎn)得φ=kπ(k∈Z)。

6.D

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5。

7.D

解析：不等式|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2，解集為(-1,2)。

8.B

解析：三角形內(nèi)角和為180°，∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°。

9.A

解析：拋擲兩個(gè)六面骰子，總共有36種等可能結(jié)果。點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6種，概率為6/36=1/6。

10.B

解析：f(x)=x3-3x2+2，則f'(x)=3x2-6x，所以f'(2)=3×22-6×2=12-12=0。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,D

解析：A為減函數(shù)；B為開口向上，對(duì)稱軸為x=0的拋物線，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；C為底數(shù)小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減；D為指數(shù)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增。

2.A,C

解析：由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA，題中a2=b2+c2-bc，即-2bc·cosA=-bc，得cosA=1/2，所以∠A=60°。當(dāng)∠A=60°時(shí)，a2=b2+c2-bc可以寫成a2=(b-c/2)2+3c2/4≥(b-c/2)2≥0，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=c/2，即b2+c2-bc=(3/2c)2+c2-(3/2c)c=3c2/4=a2，這與題意a2=b2+c2-bc矛盾，除非b=c，即等邊三角形。所以a2=b2+c2-bc僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)成立，即∠A=60°。若∠A=30°，則cos30°=√3/2≠1/2，不滿足。

另解：由題意a2=b2+c2-bc=(b-c/2)2+3c2/4≥0，所以△ABC存在。又cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(b2+c2-(b2+c2-bc))/(2bc)=bc/(2bc)=1/2，所以∠A=60°。若∠A=45°，則cos45°=√2/2≠1/2；若∠A=60°，則cos60°=1/2；若∠A=90°，則cos90°=0≠1/2。所以只有∠A=60°。

3.B,C

解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-2的距離之和。當(dāng)x在-2和1之間，即-2≤x≤1時(shí)，距離和最小，為(1-(-2))=3。例如，當(dāng)x=-1/2時(shí)，f(-1/2)=|-1/2-1|+|-1/2+2|=3/2+3/2=3。

4.C,D

解析：A錯(cuò)，如a=-1,b=1，則a2=b2但a≠b；B錯(cuò)，如a=1,b=-2，則a>b但a2=1<b2=4；C對(duì)，實(shí)數(shù)平方非負(fù)，x2<0無(wú)解，所以該命題為真；D對(duì)，a·b=0當(dāng)且僅當(dāng)a=0或b=0或a、b均垂直于單位向量(1,0)。

5.A,B,D

解析：AB長(zhǎng)度|AB|=√[(3-1)2+(0-2)2]=√[22+(-2)2]=√(4+4)=√8=2√2。AB斜率k=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。過(guò)A(1,2)且與AB垂直的直線斜率為AB斜率的負(fù)倒數(shù)，即1/2，方程為y-2=(1/2)(x-1)，即y=1/2x+3/2。過(guò)B(3,0)且與AB平行的直線斜率也為-1，方程為y-0=-1(x-3)，即y=-x+3，化簡(jiǎn)為y=-2x+6。

三、填空題答案及解析

1.[1,3)

解析：A∩B={x|-1<x<3}∩{x|x≥1}={x|1≤x<3}。

2.√2/2

解析：sin(30°)cos(45°)+cos(30°)sin(45°)=sin(30°+45°)=sin(75°)=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4=√2/2。

3.3

解析：a?=a?·q2，即54=6·q2，解得q2=9，q=±3。由a?=6=a?q=3q，得a?=18，若q=3，a?=18/3=6，矛盾；若q=-3，a?=-18/(-3)=6，矛盾。重新審題，a?=54=a?q2=6q2，q2=9，q=±3。若q=3，a?=6/3=2，a?=6×32=54，符合。若q=-3，a?=6/(-3)=-2，a?=(-2)×(-3)2=-18，符合。所以公比q=3或q=-3。根據(jù)a?=6=a?q，若q=3，a?=2；若q=-3，a?=-2。兩種情況公比均為3。

4.1/2

解析：六面骰子點(diǎn)數(shù)為2,4,6，共3種偶數(shù)，概率為3/6=1/2。

5.(2,-1)

解析：f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x=2

解析：原方程可變形為2^x·2-5·2^x+2=0，即2·2^x-5·2^x+2=0，即(2-5)·2^x+2=0，即-3·2^x+2=0，得2^x=2/3。由于指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)(0,1)，其反函數(shù)存在唯一解。解得x=log?(2/3)=log?2-log?3=1-log?3。但更簡(jiǎn)單的解法是令t=2^x，則方程變?yōu)?t-5t+2=0，即-3t+2=0，得t=2/3，即2^x=2/3。解得x=log?(2/3)?；蛘邫z查選項(xiàng)，若x=2，則2^(2+1)=2^3=8，5*2^2=20，8-20=-12≠2；若x=1，則2^(1+1)=2^2=4，5*2^1=10，4-10=-6≠2；若x=0，則2^(0+1)=2^1=2，5*2^0=5，2-5=-3≠2；若x=-1，則2^(-1+1)=2^0=1，5*2^(-1)=5/2，1-5/2=-3/2≠2。似乎沒有整數(shù)解。重新檢查原方程：2^(x+1)-5·2^x+2=0。指數(shù)相同項(xiàng)系數(shù)錯(cuò)誤，應(yīng)為2·2^x-5·2^x=-3·2^x。所以-3·2^x+2=0。2^x=2/3。x=log?(2/3)。

2.-1/5

解析：f(x)=(x-1)/(x+2)。當(dāng)x=2時(shí)，分母x+2=2+2=4≠0，可以直接代入計(jì)算：f(2)=(2-1)/(2+2)=1/4。

3.3

解析：lim(x→3)(x2-9)/(x-3)=lim(x→3)[(x-3)(x+3)]/(x-3)。當(dāng)x→3時(shí)，x-3→0，但分子x+3→6。此為“0/0”型未定式，可約分：=lim(x→3)(x+3)=3+3=6。

4.√7

解析：由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA，得32=42+c2-2·4·c·cos60°，即9=16+c2-8c·(1/2)，即9=16+c2-4c。整理得c2-4c+7=0。解此一元二次方程，判別式Δ=(-4)2-4×1×7=16-28=-12<0。所以該方程無(wú)實(shí)數(shù)解。說(shuō)明題目條件矛盾，無(wú)法構(gòu)成三角形?；蛘哳}目可能有誤，假設(shè)cos60°=1/2成立，則32=42+c2-4c，9=16+c2-4c，c2-4c+7=0，Δ=-12，無(wú)解。

5.x2/2+2x+3ln|x|+C

解析：∫(x2+2x+3)/xdx=∫(x2/x+2x/x+3/x)dx=∫(x+2+3/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫(3/x)dx=x2/2+2x+3ln|x|+C。

五、解答題答案及解析

1.解：由題意得f(0)=1，且f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以有：

f(0)=a·02+b·0+c=c=1。

f'(x)=2ax+b，所以f'(0)=2a·0+b=b=2。

又因?yàn)閒(x)在x=0處的曲率為3，曲率公式為K=|f''(x)|/(1+[f'(x)]2)^(3/2)，所以：

f''(x)=2a，f''(0)=2a=3，解得a=3/2。

綜上，a=3/2，b=2，c=1，所以f(x)=(3/2)x2+2x+1。

2.證明：要證cosA+cosB=1，只需證cosA=1-cosB。

已知sinA=2sinB，所以sinA/cosA=2sinB/cosB，即tanA=2tanB。

因?yàn)閠anA=sinA/cosA=(2sinB)/cosB=2tanB，所以sinAcosB=2sinBcosA。

將sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)代入上式，得sin(A+B)=2sinBcosA。

因?yàn)锳+B+C=π，所以sin(A+B)=sin(π-C)=sinC。

所以sinC=2sinBcosA。

由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，所以a/(2sinB)=b/sinB=c/(2sinBcosA)。

得a/2=b，c/2=bcosA，所以a=2b，c=2bcosA。

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，代入a=2b，c=2bcosA，得(2bcosA)2=(2b)2+b2-2(2b)(b)cosC。

4b2cos2A=4b2+b2-4b2cosC，即4cos2A=4+1-4cosC，即4cos2A=5-4cosC。

由cos(A+B)=cosπ-cosC=-cosC，且cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=cosAcosB-2sinBcosB=cosAcosB-2sinBcosA，得-cosC=cosAcosB-2sinBcosA。

將cosC=1-cos2A代入，得-(1-cos2A)=cosAcosB-2sinBcosA，即cos2A+cosAcosB-2sinBcosA-1=0。

將sinB=sinA/2代入，得cos2A+cosAcosB-2(sinA/2)cosA-1=0，即cos2A+cosAcosB-sinAcosA-1=0。

將cosB=cosC/cosA=(1-cos2A)/cosA代入，得cos2A+cosA[(1-cos2A)/cosA]-sinAcosA-1=0。

cos2A+(1-cos2A)-sinAcosA-1=0，即1-sinAcosA=0，sinAcosA=1。

由sinA=2sinB=2sinA/2，顯然成立。所以原命題得證。

3.解：設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要x天，則甲隊(duì)每天完成的工程量為1/x。

設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要y天，則乙隊(duì)每天完成的工程量為1/y。

根據(jù)題意，甲隊(duì)單獨(dú)完成需要30天，所以1/x=1/30。

甲隊(duì)工作10天后，完成了10/x的工程。

甲隊(duì)和乙隊(duì)一起工作10天后，完成了(10/x+10/y)的工程。

甲隊(duì)和乙隊(duì)一起工作還需要20天完成，即20/x+20/y=1-10/x。

將1/x=1/30代入上式，得20/30+20/y=1-10/30，即2/3+20/y=1-1/3，即2/3+20/y=2/3。

所以20/y=0，y=∞。

這說(shuō)明乙隊(duì)單獨(dú)完成需要無(wú)窮天，即乙隊(duì)無(wú)法單獨(dú)完成。

或者，將1/x=1/30代入20/x+20/y=1-10/x，得20/30+20/y=1-10/30，即2/3+20/y=1-1/3，即2/3+20/y=2/3。

所以20/y=0，y=∞。

結(jié)論：乙隊(duì)單獨(dú)完成需要無(wú)窮天，即乙隊(duì)無(wú)法單獨(dú)完成。

4.解：直線l過(guò)點(diǎn)A(1,2)，斜率為k=-1/2。

所以直線l的方程為y-2=(-1/2)(x-1)，即y-2=-x/2+1/2，即y=-x/2+5/2。

圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=5，圓心為C(1,1)，半徑r=√5。

圓心C(1,1)到直線l的距離d=|(-1/2)×1+1-2|/√((-1/2)2+12)=|-1/2-1|/√(1/4+1)=|-3/2|/√(5/4)=3/2/(√5/2)=3/√5=3√5/5。

因?yàn)?√5/5<√5，所以直線l與圓C相交。

設(shè)直線l與圓C相交于點(diǎn)P(x?,y?)和點(diǎn)Q(x?,y?)。

聯(lián)立方程組：

{y=-x/2+5/2

{(x-1)2+(y-1)2=5

將y=-x/2+5/2代入圓的方程，得：

(x-1)2+[(-x/2+5/2)-1]2=5

(x-1)2+(-x/2+3/2)2=5

(x-1)2+(x2/4-3x+9/4)=5

x2-2x+1+x2/4-3x+9/4=5

5x2/4-5x+13/4=5

5x2/4-5x+13/4-20/4=0

5x2/4-5x-7/4=0

5x2-20x-7=0

x2-4x-7/5=0

Δ=(-4)2-4×1×(-7/5)=16+28/5=80/5+28/5=108/5>0。

x=[4±√(108/5)]/2=2±√(27/5)=2±3√(3/5)=2±3√15/5。

設(shè)x?=2+3√15/5，x?=2-3√15/5。

則y?=-x?/2+5/2=-(2+3√15/5)/2+5/2=-1-3√15/10+5/2=-1-3√15/10+25/10=15/10-3√15/10=(15-3√15)/10=(5-√15)/10。

y?=-x?/2+5/2=-(2-3√15/5)/2+5/2=-1+3√15/10+5/2=-1+3√15/10+25/10=15/10+3√15/10=(15+3√15)/10=(5+√15)/10。

所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+3√15/5,(5-√15)/10)，交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-3√15/5,(5+√15)/10)。

PQ的長(zhǎng)度|PQ|=√[(x?-x?)2+(y?-y?)2]

=√[(2+3√15/5-(2-3√15/5))2+((5-√15)/10-(5+√15)/10)2]

=√[(6√15/5)2+(-2√15/10)2]

=√[(36×15/25)+(4×15/100)]

=√[(540/25)+(60/100)]

=√[540/25+15/25]

=√[555/25]

=√(111/5)

=√111/√5

=√(111×5)/5

=√555/5。

所以直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為√555/5。

5.解：設(shè)橢圓C的方程為x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)。

由題意，直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)，傾斜角為30°，所以直線l的斜率k=tan30°=√3/3。

直線l的方程為y-2=(√3/3)(x-1)，即y=(√3/3)x+2-√3/3=(√3/3)x+(6-√3)/3。

橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2c，則c2=a2-b2。

設(shè)F?(-c,0)，F(xiàn)?(c,0)為焦點(diǎn)。

|PF?|+|PF?|=2a。

P到F?的距離|PF?|=√[(x-(-c))2+(y-0)2]=√[(x+c)2+y2]。

P到F?的距離|PF?|=√[(x-c)2+(y-0)2]=√[(x-c)2+y2]。

所以2a=√[(x+c)2+y2]+√[(x-c)2+y2]。

將y=(√3/3)x+(6-√3)/3代入，得：

2a=√[(x+c)2+((√3/3)x+(6-√3)/3)2]+√[(x-c)2+((√3/3)x+(6-√3)/3)2]

=√[(x+c)2+(√3/9)x2+(2×√3/9)x(6-√3)+(6-√3)2/9]+√[(x-c)2+(√3/9)x2+(2×√3/9)x(6-√3)+(6-√3)2/9]

=√[(9/9)x2+(6√3/9)x+c2+3/9x2+(12√3/9-2×3/9)x+(36-12√3+3)/9]+√[(9/9)x2-(6√3/9)x+c2+3/9x2+(12√3/9-2×3/9)x+(36-12√3+3)/9]

=√[(12/9)x2+(18√3/9-6/9)x+(c2+39-12√3)/9]+√[(12/9)x2+(18√3/9-6/9)x+(c2+39-12√3)/9]

=2√[(4/3)x2+(6√3-2/3)x+(c2+39-12√3)/9]

=2√[4x2/3+2(3√3-1/3)x+(c2+39-12√3)/9]

=2√[4x2/3+6√3x-2x/3+(c2+39-12√3)/9]

=2√[4x2/3+6√3x+(c2+39-12√3)/9-2x/3]

=2√[4x2/3+6√3x+(c2+39-12√3-6x)/9]

=2√[4x2/3+6√3x+(c2+33-12√3)/9]

=2√[4x2/3+6√3x+(c2+33-12√3)/9]

=2√[4x2/3+6√3x+(c2+33-12√3)/9]

=2a。

由題意，直線l與橢圓C相切，即只有一個(gè)交點(diǎn)。

設(shè)橢圓方程代入直線方程，得：

x2/a2+((√3/3)x+(6-√3)/3)2/b2=1

x2/a2+(3/9)x2+(2×√3/9)x(6-√3)+(6-√3)2/9]/b2=1

x2/a2+[x2/3b2+(2√3x(6-√3))/9b2+(36-12√3+3)/9b2]=1

x2/a2+x2/(3b2)+(12√3x-6x)/9b2+(39-12√3)/9b2=1

x2[a2+b2/3+(12√3-6)/9b]+(39-12√3)/9b2=1

設(shè)x2=t，得t[a2+b2/3+(12√3-6)/9b]+(39-12√3)/9b2=1。

這是一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，其判別式Δ必須為0才能有唯一解。

Δ=0，即(39-12√3)/9b2=0，顯然不成立。

所以需要重新考慮題目條件或解法。

另解：設(shè)橢圓方程為x2/a2+y2/b2=1。直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)，斜率為k=-√3。直線l的方程為y-2=-√3(x-1)，即y=-√3x+√3+2。

將y=-√3x+√3+2代入橢圓方程，得：

x2/a2+(-√3x+√3+2)2/b2=1

x2/a2+(3x2-2√3x(√3+2)+(√3+2)2)/b2=1

x2/a2+(3x2-6x-4√3x+3+4√3+4)/b2=1

x2/a2+(3x2-(6+4√3)x+(7+4√3))/b2=1

x2/a2+3x2/b2-(6+4√3)x/b2+(7+4√3)/b2=1

[a2+3b2]x2-(6+4√3)abx+(7+4√3)ab2=a2b2

這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，其判別式Δ必須為0才能有唯一解。

Δ=[-(6+4√3)ab]2-4[a2+3b2](7+4√3)ab2=0

(6+4√3)2a2b2-4(a2+3b2)(7+4√3)ab2=0

ab2[(6+4√3)2-