第6章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)6.1相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)及絕對(duì)運(yùn)動(dòng)6.2點(diǎn)的速度合成定理6.3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理6.4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理及科氏加速度思考題習(xí)題

6.1相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)及絕對(duì)運(yùn)動(dòng)

6.1.1兩種參考系

本章采用兩種參考系描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。一個(gè)是固定參考系，簡(jiǎn)稱(chēng)為定系。如無(wú)特殊說(shuō)明，則認(rèn)為定系固結(jié)于地面，用Oxyz表示。固結(jié)于相對(duì)地球運(yùn)動(dòng)的其它參考體上的坐標(biāo)系稱(chēng)為動(dòng)參考系，簡(jiǎn)稱(chēng)為動(dòng)系，用O′x′y′z′表示，動(dòng)參考系是隨動(dòng)參考體一起運(yùn)動(dòng)的幾何空間。物體相對(duì)于定系與相對(duì)于動(dòng)系的運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，與動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)有關(guān)。

下面舉例分析。圖6-1是機(jī)加工車(chē)間、火車(chē)站常見(jiàn)的橋式起重機(jī)(行車(chē)或天車(chē))。當(dāng)起吊重物時(shí)，若橋架在水平位置保持不動(dòng)，而卷?yè)P(yáng)小車(chē)沿橋架做直線平動(dòng)，同時(shí)將吊鉤上的重物鉛垂向上提升，則重物A在鉛垂平面內(nèi)做平面曲線運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)將重物A視為考察的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于卷?yè)P(yáng)小車(chē)上，定系固結(jié)于橋架或地面，則重物A相對(duì)于定系的平面曲線運(yùn)動(dòng)，可以看成是動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于

動(dòng)系(卷?yè)P(yáng)小車(chē))的鉛垂向上的直線運(yùn)動(dòng)和動(dòng)點(diǎn)隨動(dòng)系(卷?yè)P(yáng)小車(chē))一起水平向右的直線運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。為了分析以上幾種運(yùn)動(dòng)，引入三個(gè)重要概念，即絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。圖6-16.1.2三種運(yùn)動(dòng)

動(dòng)點(diǎn)相對(duì)定參考系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，其軌跡、速度、加速度分別稱(chēng)為絕對(duì)軌跡、絕對(duì)速度va和絕對(duì)加速度aa；動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其軌跡、速度、加速度分別稱(chēng)為相對(duì)軌跡、相對(duì)速度vr和相對(duì)加速度ar；動(dòng)系相對(duì)于定系的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為牽連運(yùn)動(dòng)，它是剛體的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)稱(chēng)為牽連點(diǎn)，牽連點(diǎn)具有瞬時(shí)性，牽連點(diǎn)的速度和加速度稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在該瞬時(shí)的牽連速度ve和牽連加速度ae。在圖6-2中，車(chē)輪沿直線軌道做純滾動(dòng)。若以輪緣上的

M為動(dòng)點(diǎn)，定系固結(jié)于地面，動(dòng)系固結(jié)于車(chē)廂，則M點(diǎn)相對(duì)

地面的運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，軌跡為旋輪線；M點(diǎn)相對(duì)車(chē)廂的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)，軌跡為圓周曲線；動(dòng)系相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)是牽連運(yùn)動(dòng)，為水平移動(dòng)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)M重合的那一點(diǎn)為牽連點(diǎn)。圖6-2

在圖6-3中，車(chē)刀在車(chē)削工件。若以車(chē)刀的刀尖M為動(dòng)點(diǎn)，定系固結(jié)于地面，動(dòng)系固結(jié)于工件，M點(diǎn)相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為水平直線；M點(diǎn)相對(duì)于工件的運(yùn)動(dòng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線；牽連運(yùn)動(dòng)為動(dòng)系相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)，即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，工件上與刀尖M重合的那一點(diǎn)稱(chēng)為牽連點(diǎn)。(讀者可自行對(duì)圖6-1中的三種運(yùn)動(dòng)做出分析)。

總之，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)既取決于動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，又取決于動(dòng)參考系的牽連運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是相對(duì)運(yùn)動(dòng)與牽連運(yùn)動(dòng)合成的結(jié)果。圖6-3

6.2點(diǎn)的速度合成定理

本節(jié)研究點(diǎn)的絕對(duì)速度va、相對(duì)速度vr與牽連速度ve三者之間的關(guān)系。

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線AB，如圖6-4所示。為了容易理解，設(shè)想AB為一平板上的細(xì)槽，動(dòng)點(diǎn)M為槽內(nèi)一小球，小球M在隨平板運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還在細(xì)槽內(nèi)做相對(duì)運(yùn)動(dòng)。圖6-4設(shè)瞬時(shí)t動(dòng)點(diǎn)位于曲線AB上的M點(diǎn)，經(jīng)過(guò)極短的時(shí)間間隔Δt之后，動(dòng)參考系移動(dòng)到新的位置A′B′；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)沿弧線MM′移動(dòng)到M′，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為弧線MM′。動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿曲線AB移動(dòng)到M2，弧線MM2是動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。在Δt時(shí)間間隔內(nèi),曲線AB上與動(dòng)點(diǎn)重合的那一點(diǎn)沿弧線MM1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M1。矢量MM′、MM2和MM1分別為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)位移、相對(duì)位移和牽連位移。根據(jù)速度的定義，動(dòng)點(diǎn)M在瞬時(shí)t的絕對(duì)速度為

,其方向沿絕對(duì)軌跡MM′的切線方向；相對(duì)速度為，其方向沿相對(duì)軌跡MM2的切線方向；牽連速度為曲線AB上與動(dòng)點(diǎn)M重合的A點(diǎn)在瞬時(shí)t的速度，

，其方向沿曲線MM1的切線方向。由圖中的矢量關(guān)系可得

用Δt除以上式兩端，并取極限可得因?yàn)楫?dāng)Δt→0時(shí)，曲線A′B′趨于曲線AB，故有

所以

va=ve+vr

(6-1)這就是點(diǎn)的速度合成定理：動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)速度等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對(duì)速度的矢量和。即動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度va可由牽連速度ve和相對(duì)速度vr為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)確定，這個(gè)平行四邊形稱(chēng)為速度平行四邊形。

在推導(dǎo)點(diǎn)的速度合成定理時(shí)，并沒(méi)有限制動(dòng)參考系做什么樣的運(yùn)動(dòng)，因此該定理適用于任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)參考系可做平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或其它任何復(fù)雜形式的運(yùn)動(dòng)。

例6-1曲柄搖桿機(jī)構(gòu)如圖6-5所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈聯(lián)接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊在搖桿O1B上滑動(dòng)，并帶動(dòng)O1B繞固定軸O1擺動(dòng)。設(shè)曲柄長(zhǎng)OA=r，兩軸間的距離OO1=l。求當(dāng)曲柄在水平位置時(shí)搖桿O1B的角速度ω1。

解：選擇曲柄端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于搖桿O1B上。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以點(diǎn)O為圓心，以r為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿O1B的直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)是搖桿O1B繞O1軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖6-5絕對(duì)速度va大小等于rω，方向垂直于曲柄OA；相對(duì)速度vr的方向沿O1B；而牽連速度ve是桿O1B上與A點(diǎn)重合的那一點(diǎn)的速度，其方向垂直于O1B。

根據(jù)速度合成定理，作出速度平行四邊形如圖6-5所示，由幾何關(guān)系可得

ve=vasinφ

又，且va=rω，所以。設(shè)搖桿此瞬時(shí)的角速度為ω1，則

其中,。

所以此瞬時(shí)搖桿的角速度為

轉(zhuǎn)向沿逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

例6-2在如圖6-6(a)所示的尖底凸輪機(jī)構(gòu)中，凸輪半徑為R，偏心距為e，以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，頂桿AB在滑槽中上下平動(dòng)，頂桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且O、A、B位于同一鉛垂線上。在圖示瞬時(shí)，OC位于水平位置，求頂桿AB的速度。圖6-6

解：選擇頂桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于凸輪。

點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為隨頂桿AB的上下直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿凸輪廓線的圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)是凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

絕對(duì)速度va沿鉛垂方向，大小待求；相對(duì)速度沿A處凸輪廓線的切線方向，大小未知；牽連速度為凸輪上與桿端A點(diǎn)重合的那一點(diǎn)的速度，方向垂直于OA，大小為ve=ω·OA。

根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形,如圖6-6(a)所示。由幾何關(guān)系即可求得動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度為

由于AB桿做平動(dòng)，因此動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)速度即為AB桿的速度，方向如圖6-6(a)所示。

此題也可選擇凸輪的輪心C為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于AB桿。有興趣的讀者可結(jié)合圖6-6(b)自行分析動(dòng)點(diǎn)C的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)，并對(duì)其進(jìn)行速度分析。需要注意的是在這種情況下va與ve共線，速度平行四邊形退化成一直線。

例6-3在如圖6-7所示的平底凸輪機(jī)構(gòu)中，凸輪為偏心圓盤(pán)，其半徑為R，偏心距為e，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。頂桿的平底借助彈簧始終與凸輪接觸。求在任意位置θ時(shí)頂桿的速度。

解：此例與上例有點(diǎn)類(lèi)似，不同之處是頂桿上與凸輪接觸的點(diǎn)是不斷變化的點(diǎn)，因此動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系的選擇需另作考慮，必須使得動(dòng)點(diǎn)有比較明確的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡。圖6-7選擇凸輪輪心C為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于頂桿。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為C點(diǎn)繞O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為C點(diǎn)平行于x′軸的直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為頂桿沿垂直方向的直線平

動(dòng)。

絕對(duì)速度va垂直于OC，大小為va=ω·OC=ωe；相對(duì)速度

vr方向沿x′軸，大小未知；牽連速度ve方向沿y′軸，大小

待求。

根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形如圖6-7所示。由幾何關(guān)系可得

ve=va·cosθ=eωcosθ,

vr=va·sinθ=eωsinθ

假定OC的初始位置水平，則θ=ωt，由于頂桿做平動(dòng)，牽連速度即為頂桿的速度，于是可得任意瞬時(shí)頂桿的速度大小為

v=ve=eωcosωt

方向如圖6-7所示。6.3牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理

設(shè)Oxyz是定坐標(biāo)系，O′x′y′z′為平動(dòng)坐標(biāo)系，x′、y′、z′各軸方向不變，并與定坐標(biāo)軸x、y、z分別平行，如圖6-8所示。如動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)坐標(biāo)為x′、y′、z′，而i′、j′、k′為動(dòng)坐標(biāo)軸的單位矢量，則點(diǎn)M的相對(duì)速度和相對(duì)加速度分別為

(6-2)

(6-3)圖6-8由點(diǎn)的速度合成定理，有

上式兩端對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可得

(6-4)上式左端為動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)加速度aa。由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，動(dòng)系上各點(diǎn)的速度、加速度在任一時(shí)刻都是相同的，因而動(dòng)系原點(diǎn)O′的速度vO′和加速度aO′就等于牽連速度ve和牽連加速度ae。將式(6-2)兩端對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，注意到動(dòng)系平動(dòng)時(shí)，i′、j′、k′的大小和方向都不改變，為恒矢量，因而有

(6-5)所以

aa=ae+ar

(6-6)

上式即為牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)加速度等于該瞬時(shí)的牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和。

例6-4在圖6-9(a)所示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長(zhǎng)OA＝10cm，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)φ=30°時(shí)，其角速度為ω=1rad/s，角加速度為α=1rad/s2。試求導(dǎo)桿BC的加速度及滑塊A在滑道中的相對(duì)加速度。

解：取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于導(dǎo)桿BC上。A點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞O點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為動(dòng)點(diǎn)在槽AB內(nèi)的往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為滑道的上下直線平動(dòng)。圖6-9絕對(duì)加速度分為切向加速度ata和法向加速度ana兩部分，其大小分別為

相對(duì)加速度ar沿水平方位，假定指向向右，大小待求；牽連加速度ae沿鉛垂方位，假定指向向上，大小待求。此時(shí)，點(diǎn)的加速度合成定理可寫(xiě)為

選定坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖6-9(b)所示，將上式分別向x、y軸投影，可得

解得

求出的ae和ar均為正值，說(shuō)明假設(shè)的方向是正確的，由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，因此ae即為導(dǎo)桿在此瞬時(shí)的平動(dòng)加速度。

例6-5在圖6-10所示的凸輪機(jī)構(gòu)中，凸輪在水平面上向右做減速運(yùn)動(dòng)，凸輪半徑為R，圖示瞬時(shí)凸輪的速度和加速度分別為v和a，求桿AB在圖示位置時(shí)的加速度。

解：以桿AB上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于凸輪，則動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為上下直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)為沿凸輪廓線的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪的水平平動(dòng)。圖6-10由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，因此點(diǎn)的加速度合成定理可寫(xiě)為

aa=ae+ar=ae+atr+anr(a)

式中,aa的方位沿直線AB，假定指向向下，大小待求；牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，牽連加速度即為凸輪的加速度，有ae=a；相對(duì)加速度可分解為切向加速度atr和法向加速度anr兩部分，方向分別如圖所示，atr的大小未知，anr=v2r/R。式中,相對(duì)速度vr的

大小可根據(jù)速度合成定理求出，作出點(diǎn)的速度分析圖,如圖

6-10(b)所示，可求出相對(duì)速度大小為矢量方程(a)中只有aa、atr的大小未知，可求解。將式(a)向法線軸n上投影，得

解得

當(dāng)φ<90°時(shí)，aa>0，說(shuō)明假設(shè)aa的方向正確。6.4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度

合成定理及科氏加速度

牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，加速度的合成較為復(fù)雜，先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。假設(shè)圓盤(pán)以勻角速度ωe繞垂直于盤(pán)面的固定中心軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖6-11所示。一小球M在圓盤(pán)上半徑為r的圓槽內(nèi)按ωe轉(zhuǎn)向以勻速率vr相對(duì)于圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)考察小球M的加速度。圖6-11取動(dòng)點(diǎn)為小球M，動(dòng)系固結(jié)于圓盤(pán)，定系固結(jié)于地面。動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度為vr，故相對(duì)加速度ar的大小為

(6-7)

方向指向圓心O。牽連運(yùn)動(dòng)是圓盤(pán)以勻角速度ωe繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度ve的大小為ve=ωer，方向與vr一致；牽連加速度ae的大小為

(6-8)方向也指向圓心O。由于vr和ve方向相同，故點(diǎn)M的絕對(duì)速度的大小為

va=ve+vr=ωer+vr=常數(shù)

可見(jiàn)，動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)也是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是M的絕對(duì)加速度aa的大小為

(6-9)

方向也是指向圓心O。考慮到(6-7)、(6-8)兩式，有

aa=ae+ar+2ωevr

(6-10)

從上式可以看出，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度除了牽連加速度和相對(duì)加速度兩項(xiàng)外，還多了一項(xiàng)2ωevr，可見(jiàn)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度并不等于牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和，而多出的一項(xiàng)與牽連轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ωe和相對(duì)速度vr有關(guān)，多出的這一項(xiàng)稱(chēng)為科氏加速度，是1832年由法國(guó)科學(xué)家科里奧利首先發(fā)現(xiàn)的。牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理為：牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對(duì)加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度、相對(duì)加速度與科氏加速度的矢量和,即

aa=ae+ar+ac

(6-11)

式中ac為科氏加速度，它等于動(dòng)系角速度矢與點(diǎn)的相對(duì)速

度矢矢積的兩倍，即

ac=2ωe×vr

(6-12)

剛體的角速度矢的模等于角速度的大小，其方位沿剛體的轉(zhuǎn)軸，指向用右手螺旋法則來(lái)確定(右手四指代表角速度的轉(zhuǎn)向，拇指表示角速度矢的指向)。

ac的大小為

ac=2ωevrsinθ

其中,θ為ωe與vr兩矢量間的最小夾角。矢ac垂直于ωe與vr，指向按右手法則確定，如圖6-12所示。

當(dāng)ωe與vr平行時(shí)(θ=0°或180°)，ac=0；當(dāng)ωe與vr垂直時(shí)，ac=2ωevr。常見(jiàn)的平面機(jī)構(gòu)中，ωe與vr是相互垂直的，

此時(shí)ac=2ωevr；且vr按ωe轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過(guò)90°就是ac的指向。

科氏加速度是當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于牽連運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響而產(chǎn)生的?，F(xiàn)舉一特例給以形象說(shuō)明。圖6-12在圖6-13(a)中，動(dòng)點(diǎn)M沿直桿AB運(yùn)動(dòng)，而桿又繞A軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)動(dòng)系固結(jié)于桿AB。在瞬時(shí)t，動(dòng)點(diǎn)在M處，其相對(duì)速度和牽連速度分別為vr和ve。經(jīng)過(guò)時(shí)間間隔Δt后，桿轉(zhuǎn)到位置AB′，動(dòng)點(diǎn)移到M′，其相對(duì)速度為vr1，牽連速度為ve1。

由圖6-13(b)、(c)可知，在Δt間隔內(nèi)，相對(duì)速度和牽連速度的改變量分別為

式中,Δvr′表示相對(duì)速度大小的改變量，Δvr″表示牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的相對(duì)速度方向的改變量；Δve′表示牽連速度方向的改變量，Δve″表示牽連速度大小的改變量。圖6-13動(dòng)點(diǎn)M在瞬時(shí)t的絕對(duì)加速度為上式中每一項(xiàng)的物理意義說(shuō)明如下：

表明相對(duì)速度本身改變的加速度，這顯然就是動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度。

表明牽連速度方向改變的加速度，這就是牽連加速度(由于轉(zhuǎn)動(dòng)是勻速的，故牽連切向加速度為零)。表明由于牽連轉(zhuǎn)動(dòng)使相對(duì)速度vr方向改變的加速度，這是科氏加速度的一部分。

表明由于相對(duì)速度的存在使?fàn)窟B速度的大小發(fā)生改變的加速度，這是科氏加速度的另一部分。因而科氏加速度為

其大小為

普遍情形下加速度合成定理式(6-11)的推導(dǎo)，可參閱哈工大理論力學(xué)教研室編寫(xiě)的《理論力學(xué)》教材。由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球上運(yùn)動(dòng)的物體總存在科氏加速度。由于地球自轉(zhuǎn)角速度很小，一般情況下科氏加速度可略去不計(jì)；但在某些情況下，卻必須給予考慮。

例如，在北半球，河水向北流動(dòng)時(shí)，河水的科氏加速并ac向西，即指向左側(cè)，如圖6-14所示。由動(dòng)力學(xué)可知，有向左的加速度，河水必須受右岸對(duì)水向左的作用力。根據(jù)作用與反作用定律，河水必對(duì)右岸有向右的反作用力。北半球的江河，其右岸都有較明顯的沖刷痕跡，這是地理學(xué)中的一項(xiàng)規(guī)律。另外，像彈道偏差、季風(fēng)等都受科氏加速度的影響，是可以觀察到的自然現(xiàn)象。圖6-14

例6-6求例6-1中的搖桿O1B在圖6-15所示位置時(shí)的角加速度。

解：動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇同例6-1。因?yàn)閯?dòng)系做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此要用到牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理

aa=ae+ar+ac

(a)

由于ate=α·O1A，欲求搖桿O1B的角加速度α，只需求

出ate即可。圖6-15加速度合成定理中的各項(xiàng)加速度具體分析如下：

aa：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以O(shè)為圓心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故只有法向加速度，方向如圖6-15所示，大小為

aa=ω2r

ae：搖桿上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)(A)的加速度。搖桿擺動(dòng)，其上點(diǎn)A的切向加速度ate垂直于O1A，假設(shè)指向如圖6-15所示；法向加速度為ane，它的大小為

方向如圖6-15所示。

ar：因?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為直線，故ar沿O1B，大小未知。

ac：由ac=2ωe×vr可知

ac=2ω1vrsin90°=2ω1vr

由例6-1可知，相對(duì)速度

于是有

方向如圖6-15所示。為了求得ate，將加速度合成定理表達(dá)式(a)向O1x′軸投影：

解得

式中負(fù)號(hào)表示ate的真實(shí)指向與圖中假設(shè)的方向相反。所以，搖桿O1A的角加速度為

負(fù)號(hào)表示搖桿的角加速度α的真實(shí)轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖6-15所示。

例6-7某氣閥上的凸輪機(jī)構(gòu)如圖6-16(a)所示。頂桿可沿鉛垂導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，其端點(diǎn)A由彈簧壓緊在凸輪表面上，當(dāng)凸輪繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，推動(dòng)頂桿上下直線平動(dòng)。已知凸輪以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示位置時(shí)OA=r，輪廓曲線上A點(diǎn)的法線與AO的夾角為θ，A處輪廓線的曲率半徑為ρ。求圖示瞬時(shí)頂桿平動(dòng)的速度和加速度。

解：選取頂桿上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)于凸輪，定系固結(jié)于地面。

絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為動(dòng)點(diǎn)A的上下直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為A點(diǎn)沿凸輪輪廓線的曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡為輪廓線；牽連運(yùn)動(dòng)為凸輪繞O點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形，如圖6-16(b)所示。由圖可知

方向如圖6-16(b)所示。根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理

(a)

作出加速度分析圖如圖6-16(c)所示，式中，

aa、atr大小未知，假設(shè)方向如圖6-16(c)所示。將式(a)向An軸投影，得

可解得

若計(jì)算出的aa值為正，則實(shí)際方向與圖示一致，否則相反。圖6-16工程中設(shè)計(jì)凸輪壓緊彈簧時(shí)，必須考慮頂桿加速度的影響。

應(yīng)用加速度合成定理時(shí)，正確地選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系是非常重要的。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系必須是運(yùn)動(dòng)的，因此它們不能處于同一剛體上。選擇動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系時(shí)還要注意相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡是否清楚、簡(jiǎn)單。若相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡不清楚，則相對(duì)加速度atr、anr的方向就難以確定，致使求解困難。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)問(wèn)題解題步驟如下：

(1)選取動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)系和定系。所選的動(dòng)系應(yīng)將動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)。因此，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系不能選在同一物體上；一般應(yīng)使相對(duì)運(yùn)動(dòng)有比較簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)軌跡。

(2)分析三種運(yùn)動(dòng)和三種速度。分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)各是怎樣的一種運(yùn)動(dòng)(直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)或其它某種曲線運(yùn)動(dòng))，牽連運(yùn)動(dòng)是怎樣一種運(yùn)動(dòng)(平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)或其它某種剛體運(yùn)動(dòng))。

(3)應(yīng)用速度合成定理，作出速度平行四邊形。必須注意，作圖時(shí)要使絕對(duì)速度位于速度平行四邊形的對(duì)角線上。各速度都有大小和方向兩個(gè)要素，只有已知其中四個(gè)要素時(shí)才能作出速度平行四邊形，由幾何關(guān)系求解未知量。

(4)根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)的形式，選擇合適的加速度合成定理進(jìn)行加速度分析。點(diǎn)的加速度合成定理一般可寫(xiě)成如下形式：

矢量式中每一項(xiàng)都有大小和方向兩個(gè)要素，必須認(rèn)真分析每一項(xiàng)，才有可能正確地解決問(wèn)題。在平面問(wèn)題中，一個(gè)矢量方程相當(dāng)于兩個(gè)代數(shù)方程，因而可求解兩個(gè)未知量。上式中各法向加速度的方向總是指向相應(yīng)曲線的曲率中心，它們的大小總是可根據(jù)相應(yīng)的速度大小和曲率半徑求出。因此,在應(yīng)用加速度合成定理解決問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)先進(jìn)行速度分析，這樣各法向加速度都是已知量；科氏加速度ac的大小和方向可由牽連角速度ωe和相對(duì)速度vr確定，ωe、vr可由速度分析求出。這樣，只有三個(gè)切向加速度的六個(gè)要素可能是待求量，若知道其中四個(gè)要素，則余下的兩個(gè)要素就完全確定了。思考題

6-1何謂動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度及相對(duì)加速度？何謂點(diǎn)的牽連速度及牽連加速度？為什么不宜說(shuō)是參考系的速度及加速度？

6-2牽連點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)有什么不同？如何選擇動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系？

6-3思6-3圖中所示的速度平行四邊形有無(wú)錯(cuò)誤？若有錯(cuò)，請(qǐng)改之。思6-3圖

6-4是否只要牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)，就必定有科氏加速度？在什么條件下，科氏加速度為零？

6-5思6-5圖所示的結(jié)構(gòu)中，OA桿以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

(a)、(b)兩圖中哪種分析正確？

(a)以O(shè)A上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，以BC為動(dòng)參考體；

(b)以BC上的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)A為動(dòng)參考體。思6-5圖習(xí)題

6-1題6-1圖所示為一橋式起重機(jī)，重物以勻速度u上升，行車(chē)以勻速度v在靜止橋梁上向右移動(dòng)，求重物相對(duì)地面的速度。題6-1圖

6-2水流在水輪機(jī)工作輪入口處的絕對(duì)速度va=15m/s，并與直徑成β=60°的角，如題6-2圖所示。工作輪的半徑

R=2m，轉(zhuǎn)速n=30r/min，為避免水流與工作輪葉片相沖擊，葉片應(yīng)恰當(dāng)?shù)匕惭b，以使水流對(duì)工作輪的相對(duì)速度與葉片相切。求在工作輪外緣處水流對(duì)工作輪相對(duì)速度的大小和方向。題6-2圖

6-3題6-3圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA=r，以勻角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)，套筒A可沿BC桿滑動(dòng)。已知BC=DE，且BD=CE=l，求在圖示位置時(shí)BD桿的角速度。題6-3圖

6-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B，其絕對(duì)速度為v1=4m/s，方向與鉛直線成30°角，如題6-4圖所示。設(shè)傳送帶B與水平面成15°角，其速度為v2=2m/s。求此時(shí)礦砂對(duì)于傳送帶B的相對(duì)速度,并問(wèn)當(dāng)傳送帶B的速度為多大時(shí)，礦砂的相對(duì)速度才能與它垂直？題6-4圖

6-5如題6-5圖所示，瓦特離心調(diào)速器以角速度ω繞鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由于機(jī)器負(fù)荷的變化，調(diào)速器重球以角速度ω1向外張開(kāi)。如ω=10rad/s，ω1=1.2rad/s，球柄長(zhǎng)l=500mm，懸掛球柄的支點(diǎn)到鉛直軸的距離為e=50mm，球柄與鉛直軸間所成的交角β=30°,求此時(shí)重球的絕對(duì)速度。題6-5圖

6-6題6-6圖所示為內(nèi)圓磨床，砂輪直徑d=60mm，轉(zhuǎn)速n1=10000r/min；工件孔徑D=80mm，轉(zhuǎn)速n2=500r/min，轉(zhuǎn)向與n1相反。求磨削時(shí)砂輪與工件接觸點(diǎn)之間的相對(duì)速度。題6-6圖

6-7題6-7圖所示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長(zhǎng)OA=r，并以等角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。裝在水平桿上的滑槽DE與水平線成60°角。求當(dāng)曲柄與水平線的交角分別為φ=0°、30°、60°時(shí)，桿BC的速度。題6-7圖

6-8半徑為R的半圓