高中數(shù)學(xué)人教B版必修三《7.2.3同角三角函數(shù)》（第一課時）聽評課記錄一.基本信息

聽課日期為2023年10月26日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師為李明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級/年級為高一（3）班，教學(xué)主題或章節(jié)為人教B版必修三《7.2.3同角三角函數(shù)》（第一課時）。

聽課人姓名為張華，聽課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長，聽課目的為教學(xué)研究，旨在探討同角三角函數(shù)的引入方法及學(xué)生認知過程。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準備

教師的教學(xué)計劃清晰，圍繞同角三角函數(shù)的定義展開，明確了課時目標：理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。教學(xué)資源準備充分，教材為最新版本人教B版必修三，教具包括三角板和量角器，多媒體展示了相關(guān)動畫和例題，輔助學(xué)生直觀理解函數(shù)關(guān)系。

2.教學(xué)過程

開始階段，教師通過復(fù)習特殊角的三角函數(shù)值導(dǎo)入新課，以“sin2θ+cos2θ=1”的已知結(jié)論引發(fā)學(xué)生思考“其他同角三角函數(shù)間是否存在類似關(guān)系”的問題，導(dǎo)入方式自然且具有啟發(fā)性，有效激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。

展開階段，教師采用講授與小組討論相結(jié)合的方法。首先，通過多媒體動態(tài)演示sin、cos、tan函數(shù)圖像的交點，引導(dǎo)學(xué)生觀察同角三角函數(shù)的幾何意義，隨后通過小組討論推導(dǎo)平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式。教師注重啟發(fā)式教學(xué)，提出問題“如何利用sin2θ+cos2θ=1推導(dǎo)出1+tan2θ=sec2θ？”，并鼓勵學(xué)生自主完成推導(dǎo)過程。部分小組通過代入特殊值驗證結(jié)論，教師及時糾正錯誤，并強調(diào)推理的邏輯性。在例題講解環(huán)節(jié)，教師選取了不同難度的問題，如“已知sinθ=0.6，求cosθ和tanθ”，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握解題步驟，同時強調(diào)“同角”條件的重要性。

結(jié)束階段，教師通過口答和板演檢查學(xué)生對基礎(chǔ)公式的掌握情況，并總結(jié)同角三角函數(shù)關(guān)系式的記憶方法“平方關(guān)系靠左，商數(shù)關(guān)系靠右”，最后布置作業(yè)：完成教材P35練習題，并嘗試證明“cot2θ+1=csch2θ”。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師每提出一個問題后都會給予學(xué)生充分思考時間，并通過巡視觀察學(xué)生的反應(yīng)。課堂中約有70%的學(xué)生參與討論，部分學(xué)生主動舉手分享推導(dǎo)過程，教師對回答正確的學(xué)生給予即時表揚，對有困難的學(xué)生進行個別指導(dǎo)。互動質(zhì)量較好，例如在推導(dǎo)商數(shù)關(guān)系式時，有學(xué)生提出“為何不能直接約分”，教師耐心解釋“分母不能為零”，強化了學(xué)生對函數(shù)定義域的認知。

4.學(xué)生學(xué)習狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習積極性較高，尤其在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生圍繞問題激烈討論，部分學(xué)生嘗試用不同方法推導(dǎo)公式。專注度方面，大部分學(xué)生在教師講解例題時保持專注，但個別學(xué)生出現(xiàn)走神現(xiàn)象，教師通過調(diào)整提問對象重新吸引其注意力。合作學(xué)習情況良好，小組內(nèi)分工明確，如一人記錄推導(dǎo)過程，另一人檢查結(jié)果，體現(xiàn)了生生互助的學(xué)習氛圍。

5.課堂管理

課堂紀律良好，學(xué)生能遵守發(fā)言規(guī)則，教師通過眼神和手勢調(diào)控課堂秩序。時間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，展開階段25分鐘，結(jié)束階段10分鐘，作業(yè)布置3分鐘，符合教學(xué)進度要求。課堂節(jié)奏控制得當，教師根據(jù)學(xué)生反饋靈活調(diào)整講解速度，如在推導(dǎo)商數(shù)關(guān)系式時放慢語速，確保學(xué)生理解。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，多媒體動畫直觀展示了三角函數(shù)的幾何關(guān)系，幫助學(xué)生理解抽象概念。教師還利用電子白板實時記錄推導(dǎo)過程，便于學(xué)生回顧，但部分學(xué)生因長時間盯著屏幕出現(xiàn)視疲勞，教師雖及時提醒，但可進一步優(yōu)化技術(shù)使用方式，如結(jié)合板書與多媒體交替呈現(xiàn)。技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用明顯，尤其在動態(tài)演示sin2θ+cos2θ=1時，學(xué)生更容易建立函數(shù)間聯(lián)系。

三.教學(xué)效果評價

1.目標達成

本課時教學(xué)目標明確且適切，圍繞“理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式”展開，具體包括：能夠說出同角三角函數(shù)的定義；能夠推導(dǎo)并運用平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式；能夠運用關(guān)系式解決簡單問題。目標的設(shè)定符合高一學(xué)生的認知水平，既注重知識記憶，也強調(diào)思維能力的培養(yǎng)。從課堂表現(xiàn)來看，學(xué)生基本達到了預(yù)期目標。導(dǎo)入環(huán)節(jié)，大部分學(xué)生能夠聯(lián)系已有知識提出探究方向，說明對“同角”概念的初步理解；展開階段，90%以上的學(xué)生參與了小組討論，并能嘗試推導(dǎo)公式，雖然部分推導(dǎo)過程不夠嚴謹，但體現(xiàn)了對公式的初步掌握；結(jié)束階段，通過口答和板演，85%的學(xué)生能夠正確運用關(guān)系式解決問題，表明對核心知識點的掌握達到預(yù)期水平。僅有少數(shù)學(xué)生在商數(shù)關(guān)系式的符號判斷上存在困難，反映出目標設(shè)定具有適當?shù)奶魬?zhàn)性，也指明了后續(xù)需要關(guān)注的方向。

2.知識掌握

學(xué)生對知識點的理解和記憶情況良好。平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1由于在之前已經(jīng)接觸過，學(xué)生記憶較為深刻，部分學(xué)生能夠自發(fā)將其與勾股定理類比，體現(xiàn)了知識的遷移能力。商數(shù)關(guān)系式1+tan2θ=sec2θ和1+cot2θ=csch2θ的推導(dǎo)過程，學(xué)生通過小組合作基本能夠掌握，但記憶效果存在差異。教師強調(diào)“平方關(guān)系靠左，商數(shù)關(guān)系靠右”的記憶口訣，部分學(xué)生能夠應(yīng)用該口訣進行快速回憶，但仍有學(xué)生混淆公式的適用條件，如將tan2θ與1的關(guān)系誤用于cos2θ。技能掌握方面，學(xué)生在解決簡單問題時表現(xiàn)出一定的熟練度，例如“已知sinθ=0.6，求cosθ和tanθ”的例題，多數(shù)學(xué)生能夠按照“平方關(guān)系求cosθ，商數(shù)關(guān)系求tanθ”的步驟進行計算，但部分學(xué)生在符號判斷上出現(xiàn)錯誤，如cosθ的符號根據(jù)θ所在象限未正確確定。這說明學(xué)生在技能應(yīng)用層面仍需加強練習，特別是對公式變形和符號處理的掌握。課堂練習中，基礎(chǔ)題的正確率較高，但綜合性稍強的題目錯誤率明顯上升，反映出學(xué)生對知識的綜合運用能力有待提升。

3.情感態(tài)度價值觀

本課時在促進學(xué)生的全面發(fā)展方面取得了一定成效。情感方面，教師通過動態(tài)演示和啟發(fā)式提問，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，課堂氛圍活躍，多數(shù)學(xué)生能夠積極參與到教學(xué)活動中，表現(xiàn)出對數(shù)學(xué)學(xué)習的積極情感。在小組討論中，學(xué)生之間的互助合作體現(xiàn)了良好的學(xué)習態(tài)度，教師對學(xué)生的鼓勵和肯定進一步增強了其學(xué)習信心。部分學(xué)生在推導(dǎo)過程中遇到的困難并未放棄，而是通過小組討論或教師指導(dǎo)逐步克服，這種面對挑戰(zhàn)的韌性值得肯定。態(tài)度方面，教師強調(diào)公式的邏輯推導(dǎo)過程，而非死記硬背，培養(yǎng)了學(xué)生嚴謹?shù)膶W(xué)習態(tài)度。同時，通過例題講解，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解題步驟的規(guī)范性，如先寫公式再代入數(shù)值，最后注明單位，這種細節(jié)上的要求有助于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)表達習慣。價值觀方面，教師通過“sin2θ+cos2θ=1”的幾何意義，向?qū)W生展示了數(shù)學(xué)知識的美妙與和諧，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和審美情趣。此外，在小組合作環(huán)節(jié)，教師強調(diào)分工與協(xié)作的重要性，引導(dǎo)學(xué)生認識到團隊精神在解決問題中的作用，促進了學(xué)生社會性的發(fā)展。然而，課堂中仍有少數(shù)學(xué)生參與度不高，可能源于對知識點的畏難情緒，教師雖進行了個別引導(dǎo)，但如何進一步關(guān)注個體差異、提升所有學(xué)生的學(xué)習參與感，是后續(xù)教學(xué)中需要思考的問題?？傮w而言，本課時在激發(fā)學(xué)習興趣、培養(yǎng)嚴謹態(tài)度和促進合作精神方面發(fā)揮了積極作用，符合新課程改革對學(xué)生全面發(fā)展的要求。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)較為成功的新授課。授課教師李明教學(xué)設(shè)計思路清晰，教學(xué)環(huán)節(jié)過渡自然，能夠圍繞教學(xué)目標展開教學(xué)活動。最突出的優(yōu)點在于教師注重啟發(fā)式教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生自主探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。例如，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師沒有直接給出公式，而是從學(xué)生熟悉的特殊角三角函數(shù)值出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考“一般角是否也滿足類似關(guān)系”，這一設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲。在展開階段，教師將推導(dǎo)任務(wù)分配給小組討論，不僅鍛煉了學(xué)生的合作能力，也培養(yǎng)了其邏輯推理能力。此外，教師能夠有效利用多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，動態(tài)演示三角函數(shù)圖像和關(guān)系式，直觀性強，有助于學(xué)生理解抽象概念。課堂管理方面，教師能夠較好地掌控課堂節(jié)奏，對學(xué)生的回答和表現(xiàn)給予及時反饋，整體教學(xué)秩序井然。綜合來看，本節(jié)課體現(xiàn)了新課程改革的理念，注重學(xué)生的主體地位和思維能力的培養(yǎng)，達到了預(yù)期的教學(xué)效果。

2.改進建議

針對存在的問題，提出以下具體改進措施：

（1）細化公式推導(dǎo)過程中的邏輯環(huán)節(jié)。雖然教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)了平方關(guān)系式和商數(shù)關(guān)系式，但在推導(dǎo)過程中對某些中間步驟的解釋不夠詳細，導(dǎo)致部分學(xué)生理解困難。例如，在推導(dǎo)1+tan2θ=sec2θ時，從sin2θ+cos2θ=1到1+(sinθ/cosθ)2=1/sec2θ的變形過程，部分學(xué)生未能完全理解分母有理化及等式兩邊同除以cos2θ的依據(jù)。建議教師在推導(dǎo)過程中增加過渡性提問，如“為什么要將分母有理化？”“等式兩邊同時除以cos2θ時，需要注意什么？”，并板書關(guān)鍵變形步驟，確保學(xué)生理解每一步的合理性。同時，可以增加變式推導(dǎo)，如從1+cot2θ=csch2θ出發(fā)推導(dǎo)其他關(guān)系式，讓學(xué)生體會公式的對稱性和統(tǒng)一性。

（2）加強符號判斷的針對性訓(xùn)練。本節(jié)課中，部分學(xué)生在解決含有符號判斷的問題時出現(xiàn)錯誤，如cosθ的正負判斷。這反映出學(xué)生對公式適用條件和象限知識的掌握不夠牢固。建議教師在教學(xué)設(shè)計中增加符號判斷的專項練習，可以通過表格或圖示的方式總結(jié)不同象限下三角函數(shù)的符號規(guī)律，并結(jié)合具體題目進行強化。例如，可以設(shè)計“已知tanθ<0且cosθ>0，求sinθ的符號”這類問題，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合關(guān)系式和象限知識進行分析。此外，可以引入“符號法則口訣”幫助學(xué)生記憶，如“一全正，二正弦，三切，四余弦”，并輔以反例說明口訣的適用范圍。

（3）關(guān)注個體差異，實施分層教學(xué)。課堂觀察發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握較為吃力，而少數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠靈活運用關(guān)系式解決復(fù)雜問題。建議教師在教學(xué)過程中實施分層教學(xué)策略，針對不同層次的學(xué)生設(shè)計不同難度的問題。例如，在小組討論環(huán)節(jié)，可以鼓勵基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助理解困難的學(xué)生，同時為優(yōu)秀學(xué)生提供拓展性問題。在作業(yè)布置上，可以設(shè)計基礎(chǔ)題、提高題和挑戰(zhàn)題三個梯度，讓學(xué)生根據(jù)自身情況選擇完成。此外，教師可以利用課后時間對學(xué)習困難的學(xué)生進行個別輔導(dǎo)，幫助他們掃清學(xué)習障礙。

（4）優(yōu)化現(xiàn)代教育技術(shù)的使用方式。雖然多媒體技術(shù)在本節(jié)課中發(fā)揮了積極作用，但部分學(xué)生因長時間盯著屏幕出現(xiàn)視疲勞，且電子白板記錄過多可能導(dǎo)致學(xué)生筆記負擔過重。建議教師在使用多媒體時注意動靜結(jié)合，例如在展示動態(tài)演示后，引導(dǎo)學(xué)生回到教材和板書進行總結(jié)，避免長時間依賴屏幕。同時，可以采用“電子白板+傳統(tǒng)板書”的混合模式，將關(guān)鍵公式和推導(dǎo)過程記錄在白板上，而將例題解析和補充練習留在傳統(tǒng)黑板進行，減輕學(xué)生的筆記壓力。此外，可以利用教學(xué)軟件的互動功能，如在線答題或小組競賽，提高學(xué)生的參與度和積極性。

如何進一步提升教學(xué)質(zhì)量？

（1）深化教材研究，挖掘知識內(nèi)在聯(lián)系。同角三角函數(shù)關(guān)系式是后續(xù)三角函數(shù)化簡、求值和證明的基礎(chǔ)，教師應(yīng)深入挖掘教材，幫助學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生將同角三角函數(shù)關(guān)系式與單位圓上的三角函數(shù)定義相結(jié)合，理解公式背后的幾何意義。此外，可以拓展到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生體會“同角”概念的廣泛適用性，為后續(xù)學(xué)習做好鋪墊。

（2）加強習題設(shè)計，提升解題能力。練習是鞏固知識、提升能力的重要手段，教師應(yīng)精心設(shè)計習題，覆蓋不同層次和類型。例如，可以設(shè)計“已知一個角的兩個三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)值”的題目，考察學(xué)生對公式變形的掌握；設(shè)計“利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角式”的題目，提升學(xué)生的運算能力；設(shè)計“證明簡單的三角恒等式”的題目，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。同時，可以引入一題多解和多題一解的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，優(yōu)化解題思路。

（3）開展教學(xué)反思，持續(xù)改進教學(xué)。教師應(yīng)養(yǎng)成教學(xué)反思的習慣，每節(jié)課后總結(jié)教學(xué)得失，及時調(diào)整教學(xué)策略。可以記錄學(xué)生在哪些環(huán)節(jié)表現(xiàn)突出，哪些環(huán)節(jié)存在困難，并分析原因。例如，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生在符號判斷上普遍出錯，可能需要調(diào)整教學(xué)進度，增加相關(guān)練習；如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生對公式的記憶方法掌握不佳，可以嘗試引入更多趣味性的記憶技巧。此外，可以與其他教師交流教學(xué)經(jīng)驗，互相借鑒，共同提高。

3.后續(xù)跟蹤

建議進行后續(xù)聽課跟進，以評估改進措施的實施效果。具體計劃如下：

（1）安排二次聽課，重點觀察教師對提出建議的落實情況。二次聽課可以聚焦于公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)的邏輯性是否更加清晰，符號判斷的訓(xùn)練是否更加系統(tǒng)，以及分層教學(xué)策略的實施效果。通過對比兩次聽課的表現(xiàn)，評估教師的教學(xué)改進程度。

（2）提供針對性支持措施，幫助教師成長。針對教師在二次聽課中仍存在的問題，可以安排集體備課或個別指導(dǎo)。例如，如果教師在符