專題七附加題

目錄

專題七附加題（必做部分）..............................................-1-

第1講立體幾何中的向量方法...........................................-1-

第2講計數(shù)原理、數(shù)學歸納法、隨機變量及其分布列.......................-19-

專題七附加題（選做部分）.............................................-32-

第1講幾何證明選講..................................................-32-

第2講矩陣與變換....................................................-43-

第3講坐標系與參數(shù)方程..............................................-50-

第4講不等式選講....................................................-59-

專題七附加題（必做部分）

第1講立體幾何中的向量方法

高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有：（1）空間向量的坐標表示及坐標運算，屬

B級要求；（2）線線、線面、面面平行關(guān)系判定，屬B級要求；（3）線線、線面、面

面垂直的判定，屬B級要求；（4）求異面直線、直線與平面、平面與平面所成角，

屬B級要求.

真題感悟?考點整合明考向扣要點__________________________________________________

真題感悟

（2015?江蘇卷）如圖，在四棱錐中，已知孫，平面且四邊形458

JT

為直角梯形，ZABC=ZBAD=yR4=AD=2,AB=BC=\.

BC

（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）點Q是線段BP上的動點，當直線CQ與DP所成的角最小時，求線段BQ的長.

解以｛養(yǎng)，AD,辦｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系工平，則各點的

坐標為8(1,0,0),C(l,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)因為平面出8,所以在是平面R18的一個法向量，疝=(0,2,0).因為

PC=(1,1,-2),田=(0,2,-2).設(shè)平面尸CO的法向量為〃?=(x,y,z),

則mPC=0,mPb=09

x+y—2z=0

即彳,c9令y=l,解得z=l,x=l.

jLy2z=0.

所以加=(1,1,1)是平面PCD的一個法向量，

從而cos｛AD,m)=/D'n=喙,

mm\

所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為坐

(2)因為旃=(—1,0,2),設(shè)匝=2而=(一九0,2Q(O〈2W1),

又旃=(0,-1,0),則詼=場+苑=(一九-1,2A),

又訪=(0,-2,2),

〈國詢=魚正1+22

從而cos

yjiO^+2

\CQ\\DP\

設(shè)1+22=3/e[l,3],

rI2,k_\2?___2______.9

川cos<CQ,DP)=5/2―]O/+9=芥20^而

9匕-a+y

當且僅當即2=|ll寸，|cos(CQ,EP'I的最大值為與弱.因為y=cosx在(0,E

上是減函數(shù)，此時直線CQ與。P所成角取得最小值.

又因為80=、產(chǎn)+22=#,所以BQ=^BP=羋.

考點整合

1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法

設(shè)直線/的方向向量為4=(0,加，Cl),平面a,4的法向量分別為"=伍2,b2,C2),

v=(a-s，仇，。3)，則

(1)線面平行

I//。=4_/_"=47/=0=042+仇62+。1。2=0.

(2)線面垂直

1工aoa〃MQa=k/i=a\=ka2,b\=kb?,c\=kci.

(3)面面平行

a〃夕Q"〃yQ"=2v="2=%a3，62=263,。2=助3.

(4)面面垂直

a_1__Z.UQ"V=00。2。3+岳力3+C2c3=0.

2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算

設(shè)直線/,加的方向向量分別為a=(a”bi，Cl),b=(a2,b2,C2),平面a,4的法

向量分別為〃=(的，仇，ci),v=(a4,64?。4)(以下相同).

(1)線線夾角

7F

設(shè)/,〃？的夾角為伙owewq,則

#_|。圖2+與6讓C<2|

C°S同救廠—十屆+cN接+員+/

(2)線面夾角

7T

設(shè)直線/與平面a的夾角為。(0〈。忘受)，則

sine='(^=|cos(a,

(3)面面夾角

設(shè)平面a,4的夾角為。(OWe〈7i),則|cosO|=j^j=|cos〈“，v)|.

熱點聚焦?題型突破研熱點析角度

熱點一向量法證明平行與垂直

【例1】如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面Z8EE和面Z8C。都是正方形且互相

垂直，M為的中點，。為。歹的中點，求證:

(1)。河〃平面8CE；

(2)平面平面EFCD.

證明法一由題意，AB,AD,/E兩兩垂直，以力為原點建立如圖所示的空間

直角坐標系.

設(shè)正方形邊長為1,則4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,1,0),。(0,1,0),F(l,

⑴弟二(o,

BA=(-1,0,0),

，切正瓦(=0,，血，瓦1.：棱柱/。后力3是直三棱柱，，/81.平面8。/，，瓦1

是平面8CF的一個法向量，

且OMI平面BCF,：.OM//平面BCF.

⑵設(shè)平面加￡廳與平面EEC。的一個法向量分別為〃/=(X|,力，Z1),“2=(X2,/，

z2).VDF=(1,-1,1),麗=g，一1，0)，DC=(\,0,0),由〃/?而=〃/?加=

Xi-yi+zi=0,"=gxi，

0,得《1解得＜1

岳f[z產(chǎn)-品，

令Xi=l,則〃/=(1,一；).同理可得〃2=(0,1,1).

則〃/?〃2=0,二平面平面EFCD.

法二(1)血=赤+或+就仁夢'一法+昴

+明一游+城=一癡_涉+折

=~^BC+BA)~^BF+^BA

——^BC—^BF.

...向量而與向量防，能共面，

又平面BCE,，0M〃平面8CE

(2)由題意知，BF,BC,8/兩兩垂直,

'：CD=BA,FC=BC-BF,

；.而①=(_g就一;而B=0,

OM-FC=^-jBC-^BF)-(BC-BF)

=~^BC2+^BF2=0..*.OMVCD,OMLFC,又CQAEC=C,.,.OM，平面EFCD

又OMu平面MDF,：.平面MDFL平面EFCD.

探究提高解決本類問題的關(guān)鍵步驟是建立恰當?shù)淖鴺讼担米鴺吮硎鞠蛄炕蛴?/p>

基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運算.

【訓(xùn)練1】如圖，在四棱錐以88中，平面底面/BCD是菱形，

PA=AB=2,ZBAD=6Q°,E是我的中點.

(1)求證：直線尸C〃平面8DE；

(2)求證:BDLPC.

證明設(shè)ZCn8D=O.因為/氏〃)=60。，AB=2,底面/BCD為菱形，所以80=

1,4O=CO=小,AC,LBD.

如圖，以。為坐標原點，以08,。。所在直線分別為x軸，y軸，過點。且平行

于PA的直線為z軸，建立空間直角坐標系Qxyz,

則P（0,一仍，2）,4（0,一小，0）,5（1,0,0）,C（0,小，0）,。（一1,0,0）,

E（0,一小，1）.

⑴設(shè)平面班歷的法向量為〃1=（X1，%，21），因為部=（一1,一小，1）,BD=（~

n\BD=0,—2xi=0,

2,0,0）,由’_令zi=ML得刈=1,

~x\~\[3y[+zi=0,

?i-5￡'=0,

所以〃i=（0,1,?。?

又無=（0,2小，-2）,所以無?〃i=0+2小一2小二0,

即無，〃1，又PC4平面BDE,所以PC〃平面BOE.

（2）因為無=（0,2小，-2）,BD=（~2,0,0）,所以戶號由）=0.故8OLPC

熱點二利用空間向量求空間角

【例2】（2013?江蘇卷）如圖,在直三棱柱44G-48c中,ABLAC,AB=AC=2,

小4=4,點。是8。的中點.

⑴求異面直線48與G。所成角的余弦值；

（2）求平面NOG與平面48小所成二面角的正弦值.

解（1）以〃為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系N一肛z,

則A[0,0,0),BQ,0,0),C(0,2,0),D(l,1,0),4(0,0,4),C,(0,2,

4),所以府=(2,0,-4),CYD=(L-1,-4).

因為cos(篇B,QD)=?CQ——

18_3也后“證

V20XV18-10'

所以異面直線48與CQ所成角的余弦值為嘴.

(2)設(shè)平面ZOG的法向量為〃i=(x,歹，z),因為就)=(1,1,0),於1=(0,2,4),

所以〃「就)=0,n\AC\=Q,即x+y=0且y+2z=0,取z=l,得x=2,y=~2,

所以，

〃i=(2,—2,1)是平面ZOG的一個法向量.取平面44歸的一個法向量為〃2=(0,

1,0),設(shè)平面ZOG與平面所成二面角的大小為夕

*|C0S叫T育閣=而篇1=看得sin0巖.

_\[5

因此，平面ADCX與平面48小所成二面角的正弦值為

探究提高利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于''四破"：第一，破“建系

關(guān)”，構(gòu)建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關(guān)”，準確求解相關(guān)點的

坐標；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破''應(yīng)用公式關(guān)”.

【訓(xùn)練2】(2015?全國II卷)如圖,長方體力88—/西6。1中，Z8=16,BC=10,

44產(chǎn)8,點E,E分別在小囪，AG上，小己=。尸=4.過點E,E的平面a與此長

方體的面相交，交線圍成一個正方形.

(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);

(2)求直線AF與平面a所成角的正弦值.

解(1)交線圍成的正方形EHGE如圖：

(2)作垂足為則⑷l/=Z|E=4,EM=AA}=S.

因為EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是加〃=也萬匚前=6,所以

AH=W.

以D為坐標原點，易的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,

則4(10,0,0),77(10,10,0),￡(10,4,8),尸(0,4,8),施=(10,0,0),HE

n-FE=0

=(0,-6,8).設(shè)〃=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，則'f即

n-HE=0,

10x=0,

*

6y+8z=0,

所以可取〃=(0,4,3).乂赤=(—10,4,8),

故|cos〈〃，加尸皿畫=*.

同回

所以ZE與平面EHGF所成角的正弦值為嗜.

熱點三利用空間向量解決探索性問題

【例3】(2015?蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在四棱錐融中，底面N8C。為直

角梯形，AD//BC,乙4。。=90。，平面必。，底面N8C。，Q為AD的中點，PA

=PD=2,BC=^AD=\,CD—yf3.

(1)求證：平面PQB±平面PAD；

(2)在棱PC上是否存在一點“，使二面角MBQC為3。。,若存在，確定M的位置;

若不存在，請說明理由.

⑴證明".'AD//BC,BC=^AD,。為/。的中點，

???西邊形BCDQ為平行四邊形，

：.CD//BQ.

'：ZADC=90°,

：.ZAQB=90°,即QB_L4Z),

?：PA=PD,J.PQLAD,

,：PQHBQ=Q,.,.Z。，平面P80,

?.ZOu面PAD,

.?.平面尸。6,平面PAD.

(2)解?；R4=PD,。為Z。的中點，：.PQLAD.

?.?平面平面/BCD,且平面R/On平面/8CZ)=4),，尸。，平面N8CD

以。為原點，。/為x軸，QB為y軸，。。為z軸建立空間直角坐標系，則平面

8。。的一個法向量〃=(0,0,1),0(0,0,0),尸(0,0,仍)，5(0,市，0),C(-

1,小，0).

設(shè)滿足條件的點M(x,y,z)存在，則PA/=(x,y,z~~小),MC={—\-x,小—y,

-z),

^PM^tMC,其中/>0,

rt

,、x~~T+t,

(x=t(—1—x),

y=f(S-y)，.，.<尸普，

、z-S=/(-z)’

7-i+f

在平面MB0中，

在=(o,/,o),改=(一備舍’窯|，

...平面M5。的一個法向量〃?=(仍，0,/),

?.?二面角MS。。為30。，

nm\t\\I3

???cos30。=而而=7JTo+?=2'解得，=3.

所以滿足條件的點M存在，M是棱PC的靠近點C的四等分點.

探究提高空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復(fù)

雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷.解題時，把要成立的結(jié)論

當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有

解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運

用這一方法.

【訓(xùn)練3]（2015?揚州市檢測）如圖，在底面邊長為1,側(cè)棱長為2的正四棱柱

NBC。-小囪GOi中，P是側(cè)棱CG上的一點，CP=m.

（1）若加=1,求異面直線ZP與8a所成的角的余弦；

⑵是否存在實數(shù)〃?，使直線工尸與平面Z囪。所成角的正弦值是?若存在，求出

他的值；若不存在，請說明理由.

解（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(1,0,0),5(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),。(0,0,0),囪(1,1,2),

Z)i(0,0,2).當加=1時，BDX={~\,-1,2),辦二(-1,1,1).

BD\AP2^2

cos{BD\,AP}

\BDi\\AP\#X小3

即異面直線AP與BD1所成角的余弦是坐.

(2)假設(shè)存在實數(shù)m,使直線AP與平面4B1D1所成的角的正弦值等于今

則派1=(1,1,0),力a=(-1,0,2),靜=(一1,1,m),設(shè)平面NBQi的法向

nLD\B\,［x+y=0,

量為〃=(x,丹z),則由得J-八取x=2,得平面4囪口的一

［nl.AbxJx+2z=0，

個法向量為〃=(2,-2,1).

???直線AP與平面4BD所成的角的正弦值等于去

—2-2+加177

?*.加2+2-=§，解得加=不因為0W/?W2,所以滿足條件，所以當加

71

=拙，直線/P與平面力80所成的角的正弦值等于東

歸納總結(jié)-思維升華探規(guī)律防失誤__________________________________________________

1.利用空間向量證明線面關(guān)系時，應(yīng)抓住直線的方向向量與平面的法向量之間的

關(guān)系，如直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向

向量與平面的法向量垂直時，直線和平面平行或直線在平面內(nèi).

2.兩條直線夾角的范圍為［0,引.設(shè)直線/1，/2的方向向量分別為〃I，〃2,其夾角

為仇則COSO=|COS<〃1，〃2>|=備曷.

3.二面角的范圍為［0,兀］.設(shè)半平面a與夕的法向量分別為〃1與〃2,二面角為仇

則|cosO|=|cos<〃i，瑞.

4.利用空間向量求角時考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系

⑴求線面角時，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，而不是線面

角的余弦；

(2)求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析.

專題訓(xùn)練?對接而考求落實迎高考___________________________________________________

1.(2015?全國I卷)如圖，四邊形N8CO為菱形，ZABC=120°,E,E是平面

同一側(cè)的兩點，平面/8C。，。尸1.平面NBC。，BE=2DF,AE1EC.

⑴證明：平面NECJL平面NEC；

（2）求直線ZE與直線C戶所成角的余弦值.

⑴證明如圖，連接60,設(shè)8On/C=G,連接EG,FG,EF.

在菱形Z8CQ中，不妨設(shè)GB=1.由NZ8C=120。，可得NG=GC=，1

由BE,平面ABC。，AB=BC,可知NE=EC

又AE工EC,所以EG=小,SLEGLAC.

、歷

在RtaEBG中，可得8后=啦，故。尸=學.

在RtaEDG中，可得戶7=坐.在直角梯形中，由8。=2,BE=yfl,DF=

孚，可得EF=坐,從而EG2+FG2=EF2,所以EG,尸G.

又NCCEG=G,可得EG，平面NEC

因為EGu平面NEC,所以平面AEC1.平面ZEC.

（2）解如圖，以G為坐標原點，分別以既，求的方向為x軸，》軸正方向，|秀|

為單位長，建立空間直角坐標系Gxyz,由（1）可得40,f,0）,E（l,0,啦），

《一1,0,乎），。（0,小，0）,所以需=（1,小，啦），次=（一1,一小，當.

故cos<AE,而=生查=—卓

函商

J3

所以直線NE與直線。尸所成角的余弦值為竽.

2.（2015?安徽卷）如圖所示,在多面體48boi-DC區(qū)4,四邊形44出由，ADD\A\,

N8C。均為正方形，E為的中點，過小，D,E的平面交CD］于E

(1)證明：EF〃B\C；

(2)求二面角E-AQ-Bi的余弦值.

(1)證明由正方形的性質(zhì)可知A\B\"AB//DC,且AiB尸AB=DC,所以四邊形

為平行四邊形，從而8C〃小。，又小。＜=面4OE,田。4面小。應(yīng)于是

囪。〃面A、DE又8|Cu面BCa.面A\DE^面B}CD}=EF,所以EF//BXC.

⑵解因為四邊形44/歸,〃。。1小,48。。均為正方形，所以441，4―444/。,

且/小=/8=ZD以/為原點，分別以崩，AD,qI為x軸，歹軸和z軸

單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標系，可得點的坐標N(0,0,0),5(1,0,

0),0(0,1,0),小(0,0,1),BQ,0,1),5(0,1,1),而E點為團5的中點,

所以￡點的坐標為&；，11

設(shè)面小DE的法向量〃1=(口，si，。)，而該面上向量WZ=g0),A^b=(0,1,

—1),由n\X.A\E.

得小si，人應(yīng)滿足的方程組5“+下i=°'

0—九=0,

(—1,1,1)為其一組解，所以可取1,1).

設(shè)面小SCO的法向量〃2=&2,S2,72)，而該面上向量彳耳=(1，0,0),疝)=(0,

1,-1),由此同理可得“2=(0，1，1).

所以結(jié)合圖形知二面角E-AQ-Bi的余弦值為需瑞=［自萬=坐

3.(2014新課標全國I卷)如圖，三棱柱ABC-AiBQi中，側(cè)面BBQC為菱形,

ABVB\C.

(1)證明：AC^ABv，

(2)若NC_L/S，ZC55i=60°,AB=BC,求二面角Z-4|B|-G的余弦值.

⑴證明連接8G，交囪C于點O,連接NO.

因為側(cè)面88cle為菱形，所以8CJ_8G，且O為8C及8G的中點.

又N8_LBC，4BCBO=B,所以歷。，平面480.

由于ZOu平面48。，故8do.

又BQ=CO,故NC=/B|.

(2)解因為ZULZE，且。為囪。的中點，所以/O=CO.

又因為所以△804義△8OC.

故。4_1_。8,從而CM,OB,081兩兩互相垂直.

以O(shè)為坐標原點，OB,OB\,總的方向分別為x軸、歹軸、z軸的正方向，|西|

為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Qxjz因為NC88I=60。，

所以△CBS為等邊三角形.又AB=BC,OC=OA,則

4(0,0,當,5(1,0,0),雨,乎,0),《0,一坐0).

麗=(0,當_卓)，A^B\=AB=[\,0,一用,57C|=5C=^—1,一坐,

設(shè)〃=(x,y,z)是平面44周的法向量，則

rf^3_^3_

〃?甌=0,33z~0,

(即j廠

[%一牽=0.

所以可取〃=(1,5,仍).

方1=0,

設(shè)股是平面481G的法向量，則＜

m'B\C\=0.

同理可取加=(1,一小,小).則cos〈〃,m)=j：贏二；

所以二面角A-A\B\-C\的余弦值為今

4.(2015?浙江卷)如圖,在三棱柱Z5C4131G中,NB4c=90。,AB=AC=2,A\A

=4,小在底面/8C的射影為8C的中點，。是8cl的中點.

(1)證明：4。，平面48G

(2)求二面角A出DBi的平面角的余弦值.

(I)證明設(shè)E為8C的中點，由題意得平面/8C,所以

因為Z8=/C,所以ZE_LBC.

故ZEJ_平面AiBC.

由，E分別為&G，8c的中點，得

DE〃BiB且DE=BiB,從而DE〃44且。所以小ZED為平行四邊形.故

A\D//AE.

又因為ZE,平面48C,所以4Z)_L平面為3C.

(2)解法一作4小，80且連接SE

由4E=EB=j,N4E4=N4EB=90。,得48=4/=4.

由小。=8Q,A\B=B\B,得AAQB與ABiDB全等.

由小E_L8。，WB\FA_BD,因此N4F8|為二面角/歸。囪的平面角.

由小。=啦，小8=4,ND4i6=90。，得

r-41

BD=3y[2,小尸=囪/=§.由余弦定理得cosN4五S=一和故二面角A\BDB\的平面

角的余弦值為一!

O

法二以C8的中點E為原點，分別以射線及4,E8為x,丁軸的正半軸，建立空

間直角坐標系Exyz，如圖所示.

由題意知各點坐標如下:

4（0,0,舊），8（0,啦，0）,。（一啦，0,5），囪（一啦，啦，?。?因此疫

=（0,啦，一?。?（一啦，一啦，?。?，麗=（0,啦，0）.

設(shè)平面小8。的法向量為，〃=（n，為，zi）,平面8出。的法向量為〃=（物及，Z2）.

mA\B=0,即]揚|一52|=0,

由,

m冊=0,1~yl2x\—\[2y\+V14zi=0,

可取，”=（0,巾,1）.

\n-DB=0,即產(chǎn)及=0，

叱加}。,

.一啦X2—啦竺+=0,

可取〃=（巾，0,1）.于是|cos（m,加|=|^'^|=1.

由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角小8。囪的平面角的余弦值為

1

8,

5.（2014?湖北卷）如圖，在棱長為2的正方體/BCD4181GA中，E,F,M,N分

別是棱Z'">，A\B\,小。1的中點，點P,。分別在棱。2，上移動，且。P

=BQ=2（0<2V2）.

⑴當a=1時，證明：直線3G〃平面EFP0；

(2)是否存在力使面EEP0與面尸所成的二面角為直二面角？若存在，求出

2的值；若不存在，說明理由.

解以。為原點，射線D4,DC,。。分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖所示的

空間直角坐標系。xyz.由已知得仇2,2,0),G(0,2,2),E(2,1,0),F(l,0,

0),P(0,0,A).

5Ci=(-2,0,2),FP=(-l,0,A),FE=(1,1,0),

(1)證明當4=1時，F(xiàn)P={~\,0,1),因為比|=(一2,0,2),所以比i=2麗,

即BC\//FP.

而"u平面EFPQ,且8GQ平面EFP0,故直線BQ〃平面

FEn=0,

(2)解設(shè)平面EFPQ的一個法向量為〃=(x,y,z),則由可得

_FPn=0,

x+y=0,

于是可取〃=(九A1).

—x+2z=0.

同理可得平面MN尸0的一個法向量為，”=?—2,2-2,1).

若存在九使面EEP。與面尸。陰V所成的二面角為直二面角，則加?〃=”-2,2-

A,1)-(2,一九1)=0,即42—2)—42—2)+1=0,解得2=1土坐.故存在2=1土羋,

使面EFPQ與面PQVW所成的二面角為直二面角.

6.如圖，四棱柱/88-4囪。。1中，側(cè)棱小21.底面NBC。，AB//DC,ABLAD,

AD=CD=\,AAi=AB=2,E為棱441的中點.

(1)證明5,Ci±C￡；

(2)求二面角8CEG的正弦值；

(3)設(shè)點M在線段GE上，且直線與平面出所成角的正弦值為坐，求線

段Z"的長.

解如圖，以點Z為原點建立空間直角坐標系，依題意得/(0,0,0),5(0,0,

2),C(l,0,1),向(0,2,2),G(l,2,1),2(0,1,0).

(1)證明易得瓦d=(1,0,-1),

CE=(-\,1,-1),

于是瓦匕?無=0,所以8Ci_LCE.

(2)^C=(1,-2,-1).設(shè)平面8CE的法向量加=(x,y,z),

m?BjC—0,\x-2y—z=0,

則即；c消去x,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一個

[mCE=Q,〔一X+LZ=0-

法向量為加=(一3,-2,1).

由(1),B\C\YCE,又CGLBCi，可得5G，平面CEG，故瓦乙二(1,0,-1)

為平面CEG的一個法向量.

_"rBCi_____—4_2巾叵

于是cos(m,B\C\)從而sin{tn,B^C\)

|/w||S7Ci|四X啦77，

所以二面角B\CEC\的正弦值為當

(3)施=(0,1,0),比i=(l,1,1),設(shè)的=2比|=(九九2),0W2W1,有其=

AE+EM=(LA+l,A).可取需=(0,0,2)為平面NOQ小的一個法向量.

設(shè)。為直線NM與平面/。功小所成的角，則

sin0=|cos(AM,AB)|二I，腸典

\AM\\AB\

222

~yl^+(2+1)2+Z2X2―山產(chǎn)+22+1'

于是、3乃；2%+]=*'解得％=/負值舍去)，所以4"=啦.

第2講計數(shù)原理、數(shù)學歸納法、隨機變量及其分布列

高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原

理，B級要求.(2)排列與組合，B級要求.(3)數(shù)學歸納法的簡單應(yīng)用，B級要求；

(4)〃次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布、離散型隨機變量的均值與方差,B級要求.

真題感情?考點整合明考向扣要點___________________________________

真題感悟

(2014?江蘇卷)盒中共有9個球，其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球，這些球

除顏色外完全相同.

(1)從盒中一次隨機取出2個球，求取出的2個球的顏色相同的概率P；

(2)從盒中一次隨機取出4個球，其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為X2,》3,

隨機變量X表示為，X2,冷中的最大數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學期望E(R.

解(1)取到的2個顏色相同的球可能是2個紅球、2個黃球或2個綠球，所以P

C；+C：+C，6+3+15

=C5=36=而

(2)隨機變量X所有可能的取值為2,3,4.

{X=4}表示的隨機事件是“取到的4個球是4個紅球"，故2儂=4)=3=卷；

{X=3}表示的隨機事件是“取到的4個球是3個紅球和1個其他顏色的球，或3

個黃球和1個其他顏色的球”，

,,、dc|+cic^20+613

故尸f=--=F=e

于是P(X=2)=1—P(X=3)-P(X=4)

_B_J__11

=1-笈一市二百

所以隨機變量X的概率分布如下表:

X234

11131

P

1463126

因此隨機變量X的數(shù)學期望

11,13,120

E(㈤=2X應(yīng)+3XQ+4X^F

考點整合

1.兩種計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.

2.排列

(1)排列的定義；(2)排列數(shù)公式:An，=n(n—l)(n—2)-"(fi—m+l)=

(ntWn,m,/GN*).

3.組合

(1)組合的定義;

YI(n-1)(〃一2)???(〃一7%+1)冏！

(2)組合數(shù)公式：&'=--------

m!m!(〃一加

m,〃￡N*)?

(3)組合數(shù)性質(zhì)：C：=Crm;Cf+C”=C%.

4.數(shù)學歸納法

運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))，證明當〃取

第一個值〃o(〃oeN*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè)),假設(shè)〃=網(wǎng)上

左dN*)時命題成立，證明當〃=左+1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定

命題對從〃。開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可.

5.概率、隨機變量及其分布

(1)離散型隨機變量及其概率分布的表示：

①離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量;

②離散型隨機變量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；

性質(zhì)：l°p,^O(z=l,2,3,…，〃)；2%+p2+p3T-----Hp.=l.

(2)特殊的概率分布列：①0—1分布(兩點分布)符號表示：X~0—1分布;

②超兒何分布：1°符號表示：X?H(n,M,N)；

-M

2。概率分布列：X?H(r；〃，M,N)=P(X=r)=--；

LN

③二項分布(又叫獨立重復(fù)試驗，伯努利試驗)：1。符號表示：X?B(〃,p)；2。概率

分布列：尸(X=左)=CM[1-p)"f

注意：P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)H-----FP(X=r)H-----YP(X=ri)=\.

熱點聚焦?題型突破研熱點析角度___________________________________________________

熱點一與計數(shù)原理有關(guān)的問題

【例1】(2011?江蘇卷)設(shè)整數(shù)〃24,尸(a,6)是平面直角坐標系X0中的點，其中

a,AG{1,2,3,…，n},a>h.

(1)記4,為滿足a—8=3的點尸的個數(shù)，求4;

(2)記5?為滿足/。一方)是整數(shù)的點P的個數(shù)，求B?.

解(1)點尸的坐標滿足條件lWb=a—3W〃-3,所以A,尸〃一3.

⑵設(shè)左為正整數(shù)，記加t)為滿足條件以及aT=3左的點P的個數(shù)，只要討論%依)21

的情形.

M--]

由1?6=4-3左★〃一3左矢口工⑻=〃一3左，且左W-y,設(shè)〃-1=3加+%其中wEN*.

mm3m("7+1)

尸￡{0,1,2},則kWm,所以B〃=—3A)=mn—=

m(2〃一3加一3)

2'

〃一1一〃八、、],,f(〃一1)(〃一2)r(r—1)，

=

X尋m-彳弋入上工I，化簡付Bn-——，丹「以Bn

%(〃一3)，京是整數(shù)，

6

(〃一1)(〃一2),W不是整數(shù)?

6

探究提高此計數(shù)原理問題中要計算點的個數(shù)，因此要根據(jù)條件對正整數(shù)的取值

進行分類，弄清可能的取值類別，再根據(jù)加法原理進行計算.

【訓(xùn)練1】(2015?南通調(diào)研)記1,2…，〃滿足下列性質(zhì)T的排列⑶，改…，?！钡?/p>

e

個數(shù)為/(〃)(〃22,〃61^*).性質(zhì)Tt排列a\,a2,中有且只有一^1、?/>?；+1(/{1,

2,…，?—1}).

(1)求人3)；

(2)求寅〃).

解(1)當」=3時，1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,

3,1),(3,1,2),(3,2,1),其中滿足僅存在一個i@{l,2,3},使得?>0+1

的排列有(1，3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),所以犬3)=4.

⑵在1,2,…，〃的所有排列(0,如…，%)中，

若aj=〃(KW〃一1),從〃一1個數(shù)1,2,3,…，〃一1中選i—1個數(shù)按從小到大

順序排列為0，“2,…，”i，其余按從小到大的順序排列在余下位置，于是滿足

題意的排列個數(shù)為C=\.

若為=〃，則滿足題意的排列個數(shù)為火〃一1).

綜上，/(〃)=/(〃_1)+￡C=\=/(〃一1)+2"T—1.

/=1

,,23(1一2"-3)

從而./(〃)-^~2—-3)+/(3)=2"一〃-1.

熱點二數(shù)學歸納法的應(yīng)用

【例2】(2015?江蘇卷)已知集合入={1,2,3},7?={],2,3,…，〃}(〃WN*),

設(shè)S”={(a,6)|a整除b或力整除a,a^X,b^Yn},令/(〃)表示集合&所含元素的

個數(shù).

(1)寫出寅6)的值;

(2)當“26時，寫出火〃)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.

解(1%={1，2,3,4,5,6},S6中的元素(。，份滿足：

若a=l,則6=1,2,3,4,5,6；若a=2,則6=1,2,4,6；

若a=3,則6=1,3,6.所以{6)=13.

(2)當〃26時，

(nn\

+tn=6t,

.(n~1.n-1],

w+2+l-2~~+~2~j9〃=6，+1，

〃+2+停+〃§2),〃=6/+2,

/〃)=<昨N*).

(n—1n\

〃+2+[2力=6z+3,

(nn-1、

〃+2+g+3J,〃=6/+4,

.,[n—1,〃一2、,

〃+2+[-2~~-r〃=6f+5

下面用數(shù)學歸納法證明:

①當〃=6時，/6）=6+2+1+專=13,結(jié)論成立;

②假設(shè)〃=左（左26）時結(jié)論成立，那么n=k+1時，Sm在&的基礎(chǔ)上新增加的元素

在（1,左+1）,（2,左+1）,（3,hH）中產(chǎn)生，分以下情形討論：

1）若左+1=6/,則A=6（/—1）+5,此時有

k—1卜一2

人左+1）=人上）+3=4+2+亍+丁+3

=（A+l）+2+g」+V工，結(jié)論成立;

2)若4+1=6/+1,則％=6],此時有

kk

於+1)=必)+1=%+2+/？+1

.........(左+1)—1,(4+1)—1,,、“，'一

=(左+1)+2+2+3'結(jié)論成"；

3）若左+1=67+2,則左=67+1,此時有

k—[k—]

Ak+1)=〃1)+2=4+2+-^-+二一+2

Z+l(Z+1)—2

=(k+1)+2+方一+----------,結(jié)論成立;

4)若」+1=6什3,則％=6什2,此時有

kk—2

j(k+1)=/(左)+2=左+2+]+丁+2

,,(A+1)—1,左+1人、“q—

=(%+1)+2+-------2-------+工，結(jié)論成立;

5)若左+1=6/+4,則左=67+3,此時有

k—1k

義%+l)=A%)+2=%+2+-^-+§+2

左+1(%+1)—1,,.?>

=(^+1)+2+^—+---------------,結(jié)論成立；

6)若比+1=67+5,則左=67+4,此時有

kk—1

分+1)=9)+1=^+2+2+—+1

(左+1)-1(左+1)-2

結(jié)論成立.

=(^+1)+2423

綜上所述，結(jié)論對滿足〃26的自然數(shù)〃均成立.

探究提高在數(shù)學歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可.在較復(fù)雜的式子中，

注意由〃=左到〃=k+1時，式子中項數(shù)的變化應(yīng)仔細分析，觀察通項.同時還應(yīng)

注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學歸納法.

【訓(xùn)練2】(2014?江蘇卷)已知函數(shù)加好=七%>0),設(shè)立(x)為加i(x)的導(dǎo)數(shù),〃WN*.

⑴求2力圖+基圖的值；

⑵證明：對任意的〃GN*,等式或一周+孤仔)=乎都成立.

⑴解由已知，得力(x)=%(x)=(竽』詈一等，于是力(X)=力。)=(箋月,

(2)證明由已知，得研(x)=sinx,等式兩邊分別對求導(dǎo)，得%(x)+M)(x)=cosx,

即為(x)+勸(x)=cosx=sin(x+，)，類似可得

2/i(x)+x/2(x)=_sinx=sin(x+7t),

奶(x)+/(x)=-cosx=sinfx+^,

4/3(x)+x/4(x)=sinx=sin(x+27i).

下面用數(shù)學歸納法證明等式H/?-I(X)+X/?(X)

=sin(x+用對所有的“eV都成立.

6)當〃=1時，由上可知等式成立.

(ii)假設(shè)當〃=左時等式成立，

即飯-G)+9(x)=sin(x+用.

因為［域-G)+或(x)丫=4AT(X)+4(x)+*(x)=(A+1芯(x)+班+G),sin(x+y)j

(.kii\(kii\I"(左+1)7t

=coslx+lx十萬J=sin|x+-----2------,

所以伏+1減。)+班+i(x)=si?x+--------------

因此當〃=左+1時，等式也成立.

綜合(i),(ii)可知等式班T(X)+M(X)

=sin,+管)對所有的〃WN*都成立.

令*=去可得項-0+%◎

=sin仔+嗷〃WN*).

所以班.用+%制=當〃C

熱點三隨機變量的分布列及其數(shù)學期望

【例3】(2015泰州調(diào)研)設(shè)E為隨機變量，從棱長為1的正方體/8C。小囪GOi

的八個頂點中任取四個點，當四點共面時，4=0,當四點不共面時，4的值為四點

組成的四面體的體積.

(1)求概率產(chǎn)憶=0);

(2)求4的分布列，并求出數(shù)學期望E(0.

解(1)從正方體的八個頂點中任取四個點，共有&=70種不同取法.其中共面的

情況共有12種(6個側(cè)面，6個對角面)，則尸(。=0)=1|=卷.

(2)任取四個點，當四點不共面時，四面體的體積只有以下兩種情況:

①四點在相對面且異面的對角線上，體積為1—4x(=；.

這樣的取法共有2種.

②四點中有三個點在一個側(cè)面上，另一個點在相對側(cè)面上，體積為今

這樣的取法共有70—12—2=56(種).

二4的分布列為

11

0

e36

6128

p353535

111OR1

數(shù)學期望￡,(<)=：3X35+6X35~7-

探究提高求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的

意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這

些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學期望和方差的公式計算.

【訓(xùn)練3](2015?蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)甲、乙兩個同學進行定點投籃游戲，已知

2

他們每一次投籃投中的概率均為亨且各次投籃的結(jié)果互不影響.甲同學決定投5

次，乙同學決定投中1次就停止，否則就繼續(xù)投下去，但投籃次數(shù)不超過5次.

(1)求甲同學至少有4次投中的概率；

(2)求乙同學投籃次數(shù)e的分布列和數(shù)學期望.

解(1)設(shè)甲同學在5次投籃中，恰有x次投中，“至少有4次投中”的概率為P,

則

P=P(x=4)+P(x=5)

_112

=而

(2)由題意4=1，2,3,4,5.

2

P^=\)=y

122

收=2)=]X§=§,

P(一)$x/義|=看,

尸（。=4）=（（|%尹器

^的分布表為

12345

22221

P

39278181

22221121

4的數(shù)學期望雙。=1XQ+2XG+3義方+4乂五+5義無=而-.

JyZ/o1o1o1

歸納總結(jié)?思維升華探規(guī)律防失誤__________________________________________________

1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理

如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加;

如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的

方法種數(shù)相乘.

2.數(shù)學歸納法主要是用來解決與自然數(shù)有關(guān)的命題.通常與數(shù)列、不等式證明等

基礎(chǔ)知識和基本技能相結(jié)合來考查邏輯推理能力，要了解數(shù)學歸納法的原理，并

能加以簡單的應(yīng)用.

3.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之

和.

4.求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示

的意義；

第二步是