【精品】人教版九年級數(shù)學(xué)中考壓軸試題

(含答案)

1.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點A

(-1,0)和B(0,3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)拋物線與x軻的正半軸交于點C,連接BC.設(shè)拋物線的頂點P

關(guān)于直線尸t的對稱點為點Q,若點Q落在△OBC的內(nèi)部，求t的

取值范圍.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)分別求出點Q落在直線BC和x軸上時的t的值即可判斷；

【解答】解：⑴??.拋物線y=-x2+mx+n經(jīng)過點A(-1,0)和B(0,

3),

.f-1-m+n=0

**1n=3'

解得嚴(yán):

In=3

???拋物線的解析式為y=-X2+2X+3.

(2)如圖，易知拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,4).

B

yjo?Q\^

觀察圖象可知當(dāng)點P關(guān)于直線y=t的對稱點為點Q中直線BC上時，

t=3,

當(dāng)點P關(guān)于直線y=t的對稱點為點Q在x軸上時，t=2,

???滿足條件的t的值為2<t<3.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法、軸對稱等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，學(xué)會尋找特殊點解決問題，屬于中考

?？碱}型.

2.(7分)在正方形ABCD中，點P在射線AC上，作點P關(guān)于直線CD

的對稱點Q,作射線BQ交射線DC于點E,連接BP.

(1)當(dāng)點P在線段AC上時，如圖1.

①依題意補全圖1；

②若EQ=BP,則NPBE的度數(shù)為45°,并證明；

(2)當(dāng)點P在線段AC的延長線上時,如圖2.若EQ=BP,正方形ABCD

的邊長為1,請寫出求BE長的思路.(可以不寫出計算結(jié)果)

【分析】(1)①作點P關(guān)于直線CD的對稱點Q,作射線BQ交射線DC

于點E,連接BP；②依據(jù)題意得到DP二EP,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和求得

ZBPE=90°,根據(jù)BP=EP,即可得到NPBE=45。；

(2)連接PD,PE,依據(jù)△CPD04CPB,可得DP=BP,NFN2,根據(jù)

DP=EP,可得N3=N1,進(jìn)而得到NPEB=45°,N3=N4=22.5。，ABCE

中，已知N4=22.5，,BO1,可求BE長.

【解答】解：(1)①作圖如下：

②如圖，連接PD,PE,易證4CPD絲Z\CPB,

???DP二BP,NCDP=NCBP,

VP.Q關(guān)于直線CD對稱,

AEQ=EP,

VEQ=BP,

ADP=EP,

AZCDP=ZDEP,

VZCEP+ZDEP=180°,

.,.ZCEP+ZCBP=180°,

VZBCD=90°,

AZBPE=90°,

VBP=EP,

AZPBE=45°,

故答案為：45。；

(2)思路：如圖，連接PD,PE,

易證ACPD/ACPB,

???DP=BP,Z1=Z2,

VP>Q關(guān)于直線CD對稱,

AEQ=EP,Z3=Z4,

VEQ=BP,

ADP=EP,

AZ3=Z1,

???N3=N2,

.?.Z5=ZBCE=90°,

VBP=EP,

AZPEB=45°,

AZ3=Z4=22.5°,

在aBCE中，已知/4=22.5。,BC=1,可求BE長.

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的

性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合運用，解決本題的關(guān)鍵

是熟記全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理.

3.（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的坐標(biāo)為（X”yj,點Q

的坐標(biāo)為（X2,丫2）,且xi?x2,y.^y2,若PQ為某個等腰三角形的腰，

且該等腰三角形的底邊與x軸平行，則稱該等腰三角形為點P,Q的

“相關(guān)等腰三角形”.下圖為點P,Q的“相關(guān)等腰三角形”的示意

圖.

（1）已知點A的坐標(biāo)為（0,1）,點B的坐標(biāo)為（75,0）,則點A,

B的“相關(guān)等腰三角形”的頂角為120°；

（2）若點C的坐標(biāo)為（0,6），點D在直線y=4正上，且C,D的“相

關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，求直線CD的表達(dá)式；

（3）。。的半徑為加，點N在雙曲線y二-2上.若在。。上存在一

x

點M,使得點M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，直接寫出

點N的橫坐標(biāo)x、的取值范圍.

【分析】（1）畫出圖形求出NBAO的度數(shù)即可解決問題；

（2）利用等邊三角形的性質(zhì)求出點D坐標(biāo)即可解決問題；

（3）因為點M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形，推出直線

MN與x軸的夾角為45°,可以假設(shè)直線MN的解析式為y=-x+b,當(dāng)

直線與。。相切于點M時，求出直線MN的解析式，利用方程組求出

點N的坐標(biāo)，觀察圖象即可解決問題.

???點A,B的“相關(guān)等腰三角形”AABC的當(dāng)C（道,0）或（-2戰(zhàn),

1）,

VtanZBAO=卓二的，

/.ZBA0=ZCA0=60°,

???NBAC=NABC'=120°,

故答案為120.

（2）如圖2中，設(shè)直線y=4加交y軸于F（0,4班）,

一2二一已一一么EWVL

\F/

、?

\?

、?

\/

\/

\/

C*

圖2

VC（0,正），

???CF=3心

???且C,D的“相關(guān)等腰三角形”為等邊三角形，

.\ZCDF-ZCD,F=60°,

??.DF=FD'=3V3*tan30°=3,

AD（3,4爪），）（-3,4Vs）,

.??直線CD的解析式為y=Tx+?,或y=-及x+遭.

(3)如圖3中,

??,點M、N的“相關(guān)等腰三角形”為直角三角形,

???直線MN與x軸的夾角為45°,

可以假設(shè)直線MN的解析式為y=-x+b,

當(dāng)直線與。。相切于點M時,易知b二土2,

，直線MN的解析式為y=-x+2或y=-x-2,

ry=-x+2_.

由3，解得匕或［J

y=—y=3y=-l

AN(-1,3),N'(3,1),

"y=-x-2

由3解得X：或I-，

y=-y=-3y=l

AN.(-3,1),N2(1,-3),

觀察圖象可知滿足條件的點N的橫坐標(biāo)的取值范圍為：-3<x、W-1

或1WXW3.

【點評】本題考查反比例函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、等邊三角形

的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、“相關(guān)等腰三角形”的定義等知識,

解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸

題.

4.(5分)如圖所示，某小組同學(xué)為了測量對面樓AB的高度，分工

合作，有的組員測得兩樓間距離為40米，有的組員在教室窗戶處測

得樓頂端A的仰角為30°,底端B的俯角為10。，請你根據(jù)以上數(shù)

據(jù)，求出樓AB的高度.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sinlO°^0.17,coslO0^0.98,tanl0°^0.18,亞

七1.41,^3^1.73)

A

【分析】過點D作DE1AB于點E,在RtAADE中tanN1二整，Z1=30°,

可得AE=DEXtanNl,代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得AE長，在RtZXDEB中，

tanN2二器，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得EB長，進(jìn)而可得AB=AE+BE的長,

【解答】解：過點D作DELAB于點E,

在RtAADE中，NAED=90°，tanNl=瞿，Zl=30°，

：.AE=DEXtanZ1=40Xtan30°=40X^^40X1.73X^23.1

JJ

在RtZ\DEB中，ZDEB=90°，tanZ2=^,Z2=10°，

：.BE=DEXtanZ2=40Xtan100^40X0.18=7.2,

???AB=AE+BE-23.1+7.2=30.3米.

A

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是讀懂題意，把

實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

5.（6分）已知：如圖，AB為。。的直徑，CE_LAB于E,BF〃OC,連

接BC,CF.

求證：ZOCF=ZECB.

【分析】延長CE交。0于點G,利用圓周角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】證明：延長CE交。。于點G.

〈AB為。。的直徑，CEJ_AB于E,

/.BC=BG,

AZG=Z2,

VBF#OC,

???N1=NF,

又YNG=NF,

AZ1=Z2.

即NOCF=NECB.

【點評】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理解答.

6.(6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x-2與雙曲線

尸K(kWO)相交于A,B兩點，且點A的橫坐標(biāo)是3.

(1)求k的值；

(2)過點P(0,n)作直線，使直線與x軸平行，直線與直線y二x

-2交于點M,與雙曲線尸K(kWO)交于點N,若點M在N右邊，

X

【分析】(1)把A橫坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標(biāo)，確定出A

坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可；

(2)根據(jù)題意畫出直線，根據(jù)圖象確定出點M在N右邊時n的取值

范圍即可.

【解答】解：(1)令x=3,代入y=x-2,則y=1,

AA(3,1),

???點A(3,1)在雙曲線y/(kWO)上,

/.k=3；

(2)聯(lián)立得:

解得：&網(wǎng)z即BS，-3),

如圖所示:

當(dāng)點M在N右邊時，n的取值范圍是n>l或-3VnV0.

【點評】此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，利用了數(shù)形

結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

7.(7分)已知：如圖，在aABC中，AB=AC,以AC為直徑作。。交

BC于點D,過點D作。0的切線交AB于點E,交AC的延長線于點F.

(1)求證：DE1AB；

求DF的長.

【分析】(1)連接0D,由EF為圓。的切線，利用切線的性質(zhì)得到0D

與EF垂直，又OD=OC,利用等邊對等角得到一對角相等，再由AB=AC,

根據(jù)等邊對等角得到另一對角相等，等量代換可得出一對同位角相等,

根據(jù)同位角相等兩直線平行可得出0D與AB平行，由與平行線中的一

條直線垂直，與另一條也垂直，即可得證:

(2)連接AD,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】證明：（1）連接0D,

VEF切。0于點D,

A0D1EF,

又?.?OD=OC,

/.ZODC=ZOCD,

VAB=AC,

???ZABC=ZOCD,

???NABC二NODC,

???AB〃OD,

ADE±AB；

(2)連接AD,

〈AC為。()的直徑，

AZADB=90°,

AZB+ZBDE=90°,ZB+Z1=9O°,

AZBDE=Z1,

VAB=AC,

AZ1=Z2.

又???NBDE=N3,

???N2=N3.

.,.△FCD^AFDA,

.FCCD

??而丁，

VtanZBDE=1,

/.tanZ2=^-,

.CDJ,

**DA=^2,

.FCJ,

??而至，

VCF=3,

AFD=6.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)

鍵.

8.（7分）綜合實踐課上，某小組同學(xué)將直角三角形紙片放到橫線紙

上（所有橫線都平行，且相鄰兩條平行線的距離為1）,使直角三角

形紙片的頂點恰巧在橫線上，發(fā)現(xiàn)這樣能求出三角形的邊長.

（1）如圖1,已知等腰直角三角形紙片△ABC,NACB=90°,AC=BC,

同學(xué)們通過構(gòu)造直角三角形的辦法求出三角形三邊的長，則AB二

V26;

（2）如圖2,已知直角三角形紙片ADEF,ZDEF=90°,EF=2DE,求

出DF的長；

（3）在（2）的條件下，若橫格紙上過點E的橫線與DF相交于點G,

直接寫出EG的長.

D

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出AD=CE=3,BE=DO2,

進(jìn)而利用勾股定理解答即可；

（2）過點E作橫線的垂線，交L,b于點M,N,根據(jù)相似三角形的

判定和性質(zhì)解答即可；

（3）利用梯形的面積公式解答即可.

【解答】解：（1）如圖1,

VZDAC+ZACD=90c,ZACD+ZECB=90°,

???ZDAC=ZECB,

在aADC與4BCE中，

'AC二BC

,NADC=NCEB二90c,

ZDAC=ZECB

AAADC^ABCE,

Z.AD=CE=3,BE=DC=2,

，AC=7AD2+DC2=V13,

???AB=7AC2+BC2=7（V13）2+（V13）2=V26;

故答案為：V26

(2)

DM

A

過點E作橫線的垂線，交L,L于點M,N,

/.ZDME=ZEDF=90c,

VZDEF=90°,

???N2+N3=90°,

VZ1+Z3=9O°,

AZ1=Z2,

AADME^AENF,

.DMMEDE

??麗二NF二EF'

VEF=2DE,

.DM_ME_DE_1

??麗二麗"EF革'

VME=2,EN=3,

???NF=4,DM=L5,

根據(jù)勾股定理得DE=2.5,EF=5,DF=|V5,

(3)根據(jù)(2)可得:

DM+EGEG+FNDM+FN,

，施lfT.1+-，心irx，

—乙z-乙z-*EN=乙-z-

即號至X2蹩X32滬X5,

解得：EG=2.5.

【點評】此題考查三角形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性

質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解答.

9.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y4x2+bx經(jīng)過點A(-

3,4).

(1)求b的值；

(2)過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點B,在直線AB上任取

一點P,作點A關(guān)于直線0P的對稱點Q

①當(dāng)點C恰巧落在x軸時，求直線0P的表達(dá)式；

②連結(jié)BC,求BC的最小值.

【分析】(1)將點A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求得b的值；

(2)①根據(jù)對稱的性質(zhì)，結(jié)合點A的坐標(biāo)求得點P的坐標(biāo)，然后利

用待定系數(shù)法求得直線解析式；

③以。為圓心，0A長為半徑作。0,連接B0,交。。于點C,結(jié)合點

與坐標(biāo)的性質(zhì)，點與圓的位置關(guān)系求BC的最小值.

【解答】解：(1)?.?拋物線y4x2+bx經(jīng)過點A(-3,4)

令x=-3,代入金x?+bx,則4=X9+bX(-3),

b--1；

(2)①如圖:

?.,AP〃OC,

.\Z1=Z2,

XVZA0P=Z2,

???ZAOP=Z1,

JAP二AO,

VA(-3,4),

/.A0=5,

AAP=5,

APi(2,4),

同理可得P2(-8,4),

AOP的表達(dá)式為y=2x或尸Jx.

②如圖：

X

以0為圓心，0A長為半徑作。0,連接B0,交。0于點C

VB（12,4）,

0B=4^/10,

???BC的最小值為氧而-5.

【點評】考查了二次函數(shù)綜合題.掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次

函數(shù)解析式，對稱是性質(zhì)的應(yīng)用，點的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及點與圓

的位置關(guān)系等知識點，綜合性比較強，難度較大.

10.（5分）如圖，建筑物的高CD為17.32米，在其樓頂3測得旗

桿底部B的俯角a為60°,旗桿頂部A的仰角B為20°,請你計

算旗桿的高度.（sin20°^0.342,tan20°^0.364,cos20°^0.940,

Vs^l.732,結(jié)果精確到0.1米）

【分析】首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，借助

公共邊CE等價轉(zhuǎn)換，解這兩個三角形可得AE、BE的值，再利用

AB=AE+BE,進(jìn)而可求出答案.

【解答】解：根據(jù)題意，再RtZ\BCE中，ZBEC=90°,tanQ二舞，

*BE?132—］八平

,?CE-石祈-?米’

再RtZiACE中，ZAEC=90°，tan6喑，

CIS

AAE=CE-tan20°、10義0.364=3.64米，

AAB=AE+BE=17.32+3.64=20.96~2L0米，

答：旗桿的高約為2L0米.

【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)

造直角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

11.(5分)如圖，李師傅想用長為80米的棚欄，再借助教學(xué)樓的外

墻圍成一個矩形的活動區(qū)ABCD.已知教學(xué)樓外墻長50米，設(shè)矩形ABCD

的邊長AB為x(米)，面積為S(平方米).

(1)請寫出活動區(qū)面積S與x之間的關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)當(dāng)AB為多少米時，活動區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

【分析】(1)設(shè)矩形的邊AB為x米，則邊BC為80-2x米，根據(jù)矩

形面積公式“面積=長乂寬”列出函數(shù)的關(guān)系式.

(2)將所得函數(shù)解析式配方成頂點式即可得.

【解答】解：⑴根據(jù)題意知AB=x,BC=80-2x,

/.S=x(80-2x)=-2X2+80X,

又0<80-2x^50,

解得15^x<40,

/.S=-2X2+80X(15<X<40)；

(2)VS=-2X2+80X

=-2(x-20)2+800,

.??當(dāng)x=20時，S最大值為800,

答：當(dāng)AB為20米時，活動區(qū)的面積最大，最大面積是800平方米.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù),

學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

12.(5分)如圖，ABC是等腰三角形，AB二AC,以AC為直徑的。0與

BC交于D,DE1AB,垂足為點E,ED的延長線與AC的延長線交于點

F.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,BE=1,求cos/A的值.

【分析】(1)連接0D,AD,由AC為圓的直徑，利用直徑所對的圓周

角為直角及垂直的定義得到AD垂直于BC,利用三線合一得到D為BC

中點，再由()為AC的中點，得到()D為三角形ABC的中位線，利用中

位線性質(zhì)得到0D與AB平行，進(jìn)而得到0D垂直于DE,即可得證；

(2)由半徑的長求出AB與AC的長，根據(jù)BE的長，由AB-BE求出

AE的長，由平行得相似，相似得比例，設(shè)CF=x,根據(jù)題意列出關(guān)于

x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出所求.

【解答】(1)證明：連接0D,AD,

〈AC為圓的直徑，

AZADC=90°，AD1BC,

VAB=AC,

???點D為BC的中點，

???點0為AC的中點，

AOD//AB,

VDE1AB,ZAED=90°,

AZ0DE=90°,

A0D1DE,

則DE為圓。的切線；

(2)解:,??廠2,

AAB=AC=2r=4,

VBE=1,

JAE=AB-BE=3,

VOD//AB,

/.△FOD^AFAE,

,_W=0D=_2

,*FA-AE-7，

設(shè)CF=x,則有OF=x+2,AF=x+4,

?x+22

解得:x=2,

AAF=6,

在Rt^AEF中，ZAEF=90°,

則cosA二黑二,.

ixT乙

c.

B

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

圓周角定理，以及解直角三角形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)

是解本題的關(guān)鍵.

13.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>

0)的對稱軸為x=b,點A(-2,m)在直線y=-x+3上.

(1)求m,b的值；

(2)若點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>0)上，求a的

值；

(3)當(dāng)二次函數(shù)y=ax2-2ax+l(a>0)與直線y=-x+3相交于兩點

時，設(shè)左側(cè)的交點為P(X”%)，若-3VXI<-1,求a的取值范

圍.

環(huán)

5-

4

3

2

1-

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2

-3

-4-

-5-

留用圖

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得b=祟二1.將A(-2,m)

代入y=-x+3,即可求出m=2+3=5；

(2)將D(3,2)代入尸ax?-2ax+l,即可求出a的值；

(3)把x=-3代入y=-x+3,求出y=6,把(-3,6)代入y=ax2-

2ax+l,求出a=4-再把x=-1代入y=-x+3,求出y=4,把(-1,

4)代入y=ax?-2ax+l,求出a=l.進(jìn)而得出a的取值范圍.

【解答】解：(1),?,二次函數(shù)y二a/-2ax+l(a>0)的對稱軸為x二b,

???點A(-2,m)在直線尸-x+3上，

/.n尸2+3=5；

(2)：點D(3,2)在二次函數(shù)y=ax?-2ax+l(a>0)上，

A2=aX32-2aX3+l,

._1

??a二寸

(3)。?,當(dāng)x--3B'j,y=-x+3=6,

???當(dāng)(-3,6)在y=ax2-2ax+l(a>0)上時，6=aX(-3)2-2a

X(-3)+1,

又丁當(dāng)x二時,y=-x+3=4,

???當(dāng)(-L4)在y=ax2-2ax+l(a>0)上時,4=aX(-1)2-2a

X(-1)+1,

/.a=l.

/.得Va<1.

【點評】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐

標(biāo)特征，掌握點在直線上，則點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式是解題的關(guān)

鍵.

14.(7分)如圖1,在矩形ABCD中，點E為AD邊中點，點F為BC

邊中點；點G,H為AB邊三等分點，I,J為CD邊三等分點.小瑞分

別用不同的方式連接矩形對邊上的點，如圖2,圖3所示，那么圖2

中西邊形GKLH的面積與圖3中四邊形KPOL的面積相等嗎？

AGHBAGHBAGHBgGE目

(1)小瑞的探究過程如下：在圖2中，小瑞發(fā)現(xiàn)，S四邊形GKU尸,S

四邊形ABCD；

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整;

設(shè)S/XDEP=a,SAAKG=B

VEC^AF.

/.△DEP^ADAK,且相似比為1：2,得到S^M4a.

VGD#BI,

**?△AGKO°AABM>且相似比為1：3,得到SAo（=9b

又「SADAG=4a+b=7-S四邊形AKD,SAABF=9b+a=4s四邊形ABG）?

04

??S四邊形ABo）=24a+6b=36b+4a.

?3__

a=.b,S四邊形ABCD=42b,S四邊形KPOL=6b.

?*S四邊形KPOL二卜S四邊形ABCD,則S四邊形KPOL<S四邊形GKLH（填與">”"V

或"一").

(2)小瑞又按照圖4的方式連接矩形ABCD對邊上的點，則S四邊形伽二

T~S四邊形RBCD?

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;

(2)如圖4中，延長CE交BA的延長線于T,連接DN,設(shè)5.飛，S

△AEN=b.想辦法證明S四邊形AkML=4b,S四邊形ABCD=20b,即可解決I可題;

【解答】解：(1)小瑞的探究過程如下：在圖2中，小瑞發(fā)現(xiàn)，S四邊

形GKUL/S四邊形ABCD；

在圖3中，小瑞對四邊形KPOL面積的探究如下，請你將小瑞的思路

填寫完整;

設(shè)SADEP=3,S^AKG=b.

???EC〃AF.

AADEP^ADAK,且相似比為1：2,得至ljS,K=4a.

VGD/7BI,

???△AGKOO2\,\BM,且相似比為1：3,得到S&HM=9b

=

又S/\DRG=4a+b=四邊形ABCD，S△AB1:=9b+a~S四邊形ABCD.

bq

??S四邊形ABQ)=24a+6b=36b+4a.

??,S四邊形ABCD二42b,四邊形Kpoi-6b.

S四邊形KPOI.二四邊形.*CI)，貝S四邊形KPOLVS四邊形GKLH?

故答案為慨，42,6,y,<.

0ZI

(2)如圖4中，延長CE交BA的延長線于T,連接DN,設(shè)S&Ha,S

△AEN二b?

VGL//PH,

AAAAGL^AAHP,相似比為1：2,得至＜S,p=4a,

VAT#CD,

???NT=NECD,

VZAET=ZCED,AE=ED,

AAAET^ADEC,

AAT=CD,

???AT〃CJ,

?AN=AT=_3

?SAADN_3

S2

「ADNJ，

可得SziDNj二名,

SAABF=4a+/b=、SS&ADJ二與b二4S

四邊形ABCD，四邊形ABCD，

30

???16a+箋b=20b,

J

；?a=-|-b,

?'?S四邊形ANML二卷(20b-8a-.b)=4b,

乙J

S四邊形AMI)二20b,

AS四邊形AVMI.四邊形.咽CD.

故答案為卷.

D

【點評】本題考查相似形綜合題、矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似

三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬

于中考壓軸題.

15.(8分)點P的“d值”定義如下：若點Q為圓上任意一點，線段

PQ長度的最大值與最小值之差即為點P的“d值”，記為九特別的，

當(dāng)點P,Q重合時，線段PQ的長度為0.當(dāng)。。的半徑為2時：

⑴若點C(一9，0),D(3,4),則)二1，5二4；

(2)若在直線y=2x+2上存在點P,使得dp=2,求出點P的橫坐標(biāo)；

(3)直線y=-哼x+b(b>0)與x軸，y軸分別交于點A,B.若線

段AB上存在點P,使得2W4V3,請你直接寫出b的取值范圍.

【分析】(1)圓內(nèi)的點的d值二這個點到圓心距離的2倍，圓上或圓

外的點的d值二圓的直徑，由此即可解決問題；

(2)根據(jù)題意，滿足4二2的點位于。0內(nèi)部，且在以0為圓心半徑

為1的圓上，可以假設(shè)P(a,2a+2),根據(jù)P0=l,構(gòu)建方程即可解決

問題；

(3)根據(jù)題意，滿足2W&V3的點位于點0為圓心外徑為?!?，內(nèi)徑

為1的圓環(huán)內(nèi)，分不清楚兩圓與線段AB相切時b的值即可解決問

題；

【解答】解：(1)根據(jù)題意可得圓內(nèi)的點的d值二這個點到圓心距離

的2倍，圓上或圓外的點的d值二圓的直徑，所以&=1,d?=4；

故答案為1,4；

(2)根據(jù)題意，滿足①二2的點位于。0內(nèi)部，且在以0為圓心半徑

???點P在直線y=2x+2上，，可以假設(shè)P(a,2a+2),

VPO=1,

Aa2+(2a+2)2=1,

解得a=-1或-

□

?,?滿足條件的點P的橫坐標(biāo)為-1或-

(3)根據(jù)題意，滿足2WdpV3的點位于點0為圓心外徑為,，內(nèi)徑

為1的圓環(huán)內(nèi)，

X

當(dāng)線段與外環(huán)相切時，可得b二正，

當(dāng)線段于內(nèi)環(huán)相切時，可得b二零，

所以滿足條件的b的值：與Wb<5.

【點評】本題考查一次函數(shù)、圓、點P的“d值”定義等知識，解題

的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用此時解決

問題，學(xué)會利用特殊位置、尋找特殊點解決問題，所以中考壓軸題.

16、（10分）某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行社會實踐活動時，

想利用所學(xué)的解直角三角形的知識測量某塔的高度，他們先在點D

用高L5米的測角儀DA測得塔頂M的仰角為30。，然后沿DF方向前

行40m到達(dá)點E處，在E處測得塔頂M的仰角為60°.請根據(jù)他們的

測量數(shù)據(jù)求此塔MF的高.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：V2^1.4L

后1.73,依2.45）

【分析】首先證明AB-BM-40,在RlABCM中，利用勾股定理求出

CM即可解決問題；

【解答】解：由題意:AB=40,CF=1.5,ZMAC=30°,ZMBC=60°,

ZMAC=30°,ZMBC=60°,

JZAMB=30°

???NAMB=NMAB

AAB=MB=40,

在RtABCM中，

ZMCB=90°,ZMBC=60°,

AZBMC=30°.

?*-BC=￡B1F20,

?*-MC=VMB2-BC2=2073?

AMC^34.64,

??.MF=CF+Q仁36.14心36.L

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學(xué)知識解決問題，本題的突破點是證明AB=BM=40,屬于中

考?？碱}型。

17.(7分)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P,給出如下定義：記

點P至到軸的距離為dl,到y(tǒng)軸的距離為d2,若dl》d2,則稱dl為點

P的最大距離；若dl〈d2，則稱d2為點P的最大距離.

例如：點P(-3,4)到到x軸的距離為4,到y(tǒng)軸的距離為3,

因為3V4,所以點P的最大距離為4.

(1)①點A(2,-5)的最大距離為5；

②若點B(a,2)的最大距離為5,則a的值為±5；

(2)若點C在直線y=-x-2上，且點C的最大距離為5,求點C

的坐標(biāo)；

(3)若。0上存在點M,使點M的最大距離為5,直接寫出。0的

半徑r的取值范圍。

【分析】(1)①直接根據(jù)“最大距離”的定義，其最小距離為“最

大距離”；②點B(a,2)至IJx軸的距離為2,且其“最大距離”

為5,所以奸±5；

(2)根據(jù)點C的“最大距離”為5,可得x=±5或y=±5,代入可

得結(jié)果;

(3)如圖，觀察圖象可知：當(dāng)。。于直線x=5,直線x=-5,直線y=5,

直線y=-5有交點時，。。上存在點M,使點M的最大距離為5,

【解答】解(1)①,??點A(2,-5)至IJx軸的距離為5,至IJy軸的

距離為2,,??2V5,

???點A的“最大距離”為5.

②??,點B(a,2)的“最大距離”為5,

-a二±5；故答案為5,±5.

(2)設(shè)點C的坐標(biāo)(x,y)

??,點C的“最大距離”為5,

x=±5或

y二±5,當(dāng)x=5

時，尸-7,當(dāng)

x=-5時，y=3,

當(dāng)y=5時，x=

-7

當(dāng)y=-5時,

x=3,

???點C(-5,3)或(3,-5)

(3)如圖，觀察圖象可知：當(dāng)。。于直線x=5,直線x=-5,直線y=5,

直線尸-5有交點時，。。上存在點M,使點M的最大距離為5,

【點評】本題考查一次函數(shù)綜合題、“最大距離”的定義、圓的有

關(guān)知識，解題的關(guān)犍是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)

會利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考壓軸題.

18.(5分)已知：如圖，在4ABC中，AB=AC=8,ZA=120°,求BC

的長.

【分析】過點A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：過點A作ADJ_BC于D.

VAB=AC,ZBAC=120°,

???NB=NC=30。,

BO2BD,

在Rt^ABD中，ZADB=90°，ZB=30°，AB=8,

BD

cosB=AB,

.,.BD=ABcos30°=8X*=4的,

ABC=8V3.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的

關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

19.（5分）已知：如圖，AB是半圓。的直徑，D是半圓上的一個動

點（點D不與點A,B重合），NCAD=/B

（1）求證：AC是半圓。的切線；

（2）過點。作BD的平行線，交AC于點E,交AD于點F,且EF=4,

AD=6,求BD的長.

【分析】（1）經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.欲

證AC是半圓。的切線，只需證明NCAB=90°即可；

（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定AAEFsaBAD；然后根據(jù)

相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得BD的長即可.

【解答】解:（1）=AB是半圓直徑,

AZBDA=90°,

/.ZB+ZDAB=90°,

XVZDAC=ZB,

AZDAC+ZDAB=90c,

即NCAB=90°,

二?AC是半圓0的切線.

（2）由題意知，OE〃BD,ZD=90°,

.,.ZD=ZAF0=ZAFE=90°,

A0E1AD,

.\ZAFE=ZD=ZAF0=90°,AF=^AD=3,

XVAD=6

.\AF=3.

又YNB=NDAE,

AAAEF^ABAD,

迷瑞，而EF=4,

.43

解得BD-|.

E

D

【點評】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì).要證某

線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），

再證垂直即可.

20.（7分）已知一次函數(shù)丫尸為-1,二次函數(shù)丫2寸-mx+4（其中m

>4）.

（1）求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)（用含川的代數(shù)式表示）；

（2）利用函數(shù)圖象解決下列問題：

①若m=5,求當(dāng)W>0且丫2<0時、自變量x的取值范圍；

②如果滿足y.>0且y2^0時自變量x的取值范圍內(nèi)有且只有一個整

數(shù)，直接寫出m的取值范圍.

【分析】（1）利用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；

（2）①把m=5代入y2,畫圖象，并求與x軸交點A、B、C三點的坐

標(biāo)，根據(jù)圖象可得結(jié)論；

2

②根據(jù)題意結(jié)合圖象可知x=3,把x=3代入y2=x-mx+4W0,當(dāng)x=4

2

時，y2=x-mx+4>0即可求得m的取值;

22

【解答】解：（1）Vy2=x-mx+4=（x--^-+4,

???二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為：（費，-4+4）…

2

（2）①當(dāng)m=5時,yi=-^x-1,y2=x-5x+4.…（4分）

如圖,當(dāng)yi=0時，x-1=0,x=2,

VA(2,0),

2

當(dāng)y2=0時,x-5x+4=0,

解得:x=l或4,

AB(1,0),C(4,0),

因為W>0,且y2<0,由圖象，得：2VxW4.…(5分)

②當(dāng)W>0時，自變量x的取值范圍：x>2,

???如果滿足y.>0且yzWO時的自變量x的取值范圍內(nèi)恰有一個整數(shù),

/.x=3,

2

當(dāng)x=3時，y2=3-3n1+4W0,

解得用》寫，

J

當(dāng)x=4時，，y2>0,BP16-4m+4>0,m<5.

??.m的取值范圍是：與WmV5.…（7分）

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)和

一次函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)圖象解不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思

想.

21.(8分)已知：如圖，AB為半圓。的直徑，C是半圓。上一點,

過點C作AB的平行線交。0于點E,連接AC、BC、AE,EB.過點

C作CGLAB于點G,交EB于點H.

(1)求證：NBCG二NEBG；

(2)若sinNCAB=坐，求器的值.