三角形的中位線(xiàn)

Q課程要求

了解要求，做到心中有教

1.把握中位線(xiàn)定理及中點(diǎn)四邊形相關(guān)學(xué)問(wèn).

2.把握中位線(xiàn)的常見(jiàn)構(gòu)造方法.

Q基本知識(shí)

分實(shí)錄馬，這立完祭加識(shí)體系

一、中位線(xiàn)定理

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。

如圖，在A/18C中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE,那么DE即為A/48C的中位線(xiàn)。

【留意】三角形的中位線(xiàn)與中線(xiàn)不同,

中線(xiàn)是連接三角形的頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)的線(xiàn)段，頂點(diǎn)一一中點(diǎn)

而構(gòu)成中位線(xiàn)需要兩個(gè)中點(diǎn)，中點(diǎn)一一中點(diǎn).

位置關(guān)系DE>BC

兩條線(xiàn)段關(guān)系

數(shù)量關(guān)系DE=\BC

【證明】

已知：如圖，點(diǎn)。，E分別是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn)

求證：DE//BC，且DE=之BC

證明：延長(zhǎng)DE到點(diǎn)R,使EF=0E，連接

???E為4。中點(diǎn)

AE=EC

又-.?AAED=ACEF

AD=CF,ZA=NECF

：.AB//CF

又?：D為AB中點(diǎn)

AD=BD

：.BD=CF

：.四邊形DBCF是

DF//BC,DF=BC

：.DEIIBC，且DE=

二、中位線(xiàn)定理

三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

在2L48C中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么DE||BC,DE=\BC

幾何語(yǔ)言：-AD=BD,AE=CE

1

DE||BC,DE=-BC

乙

三、中位線(xiàn)的構(gòu)造

1.三角形兩邊中點(diǎn)，連接構(gòu)造中位線(xiàn)

這里實(shí)為兩種中位線(xiàn)構(gòu)造方法：

②已有三角形和兩邊中點(diǎn)，連接中點(diǎn)即消失中位線(xiàn)；

②現(xiàn)無(wú)三角形，但有兩條一端點(diǎn)重合的帶中點(diǎn)的線(xiàn)段，那么連接兩線(xiàn)段不重合的端點(diǎn)，構(gòu)造出三角形，再

連接兩中點(diǎn)即消失三角形中位線(xiàn).

2.一邊中點(diǎn)，取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造中位線(xiàn)

?？碱}型

題型一:三角形中位線(xiàn)的求解問(wèn)題

三角形的中位線(xiàn)?？碱}型題型二:三角形中位線(xiàn)面積問(wèn)題

題型三：三角形中位線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用

題型精析

模塊化學(xué)習(xí)，建造簫爰能力

題型一三角形中位線(xiàn)的求解問(wèn)題

【例題11］如圖，在J\I3C中，ZACB=90°，.從A，分別是/W、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)5。至點(diǎn)〃，使CD=；AC.連

接DM、DN、MN.假設(shè)48=6,那么的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到MN=；8C、MN//BC,證明四邊形MTM是平行四邊形，可得

DN=CM,依據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=3A8=3,最終等量代換即可解答.

【詳解】解：如圖：連接CM

：億*分別是A&AC的中點(diǎn),

是工8c的中位線(xiàn)，

:.MN=LBC,MN〃BC,

2

VCD=-BC,

2

:.CD=MN,

?:MN〃BC,

???四邊形NDCM為平行四邊形，

:,DN=CM,

???NAC8=90。，"是A8的中點(diǎn)，

：.CM=-AB=-x6=3,

22

:.DN=3.

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查的是三角形的中位線(xiàn)定理、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等學(xué)問(wèn)點(diǎn)，

把握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【例題12］如圖，A。是的中線(xiàn)，是A￡＞的中點(diǎn)，是跖延長(zhǎng)線(xiàn)與4c的交點(diǎn)，假設(shè)AC=6,那

么NF=()

49

A.3B.2C.-D.一

34

【答案】B

【分析】BF的中點(diǎn)從連接?！?，依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到D"=g尸C,Z)H〃4C,證明

ADEN(ASA),依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可.

【詳解】解：取8尸的中點(diǎn)〃，連接?！?，

?:BD=DC,BH=HF,

/.DH=-FCDH//AC,

2t

￡HDE=NFAE,

在aAE尸和△/）￡〃中,

ZAEF=Z.DEH

?AE=DE,

NEAF=ZEDH

：.2AEF0^DEH(ASA),

/.AF=DH,

:.AF=-FC,

2

???AC=6,

???AF=-AC=2

3f

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出幫助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

【例題13］如圖，在/8C中，BC=3,將_A5C平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△ABG，點(diǎn)只。分別是A8,

AG的中點(diǎn)，尸。的值不行以是（）

【答案】D

【分析】取4瓦的中點(diǎn)M連接PM,MQ,依據(jù)平移的性質(zhì)和三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出加=5,BC=B?=3,

I3

M*B￡=^,然后利用三角形三邊關(guān)系得出PQ的取值范圍，然后作出推斷即可.

【詳解】解：如圖，取4月的中點(diǎn)M連接PM,MQ,如下圖:

???將一ABC平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A8IG，

APM=5,BC=B、C\=3,

???點(diǎn)科是Ag的中點(diǎn)，點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，

13

:.MQ=-BXCX=^

:.PM-MQ<PQ<PM+MQ,

即5-產(chǎn)30。45+j3

713

即產(chǎn)。4萬(wàn)，

???「。的取值范是57<尸。<]13,

71371371313

V-<4^—,-<5<—,-<6^—,7>—,

2222222

???P。的值不行能是7,故D正確.

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查平移的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，把握三角形三邊關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

【變式11]如圖，在.工3c中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,〃為8c的中點(diǎn)，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)/以

每秒1cm的速度從力點(diǎn)動(dòng)身，沿著力一少的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)ZT運(yùn)動(dòng)t秒后，△世把是直角三角形，那么2的值

為（）

A

A.2

【答案】C

【分析】分當(dāng)/應(yīng)陀=90。時(shí)，當(dāng)N8EO=90。時(shí)，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)方向分兩種狀況求解即可.

【詳解】解：VZ4C^=90°,Z/l^C=60°,BC=2cm,

???ABAC=30°,AB=2BC=4（cm）,

當(dāng)/跳出=90。時(shí)，DE//CA,

A

???〃為BC的中點(diǎn),

BD=-BC=\,

2

/.BE=2BD-2（cm）,

AE=AI3-BE=2（cn\）,

點(diǎn)F從A-8時(shí)，r=2+l=2（秒）,

當(dāng)瓦）=90。時(shí)，如下圖：

A

VZABC=60°,8c=2cm,。為8C的中點(diǎn),

^E=-BD=-x2xi=0.5（cm）,

222V7

點(diǎn)￡從時(shí),f=（4-0.5）X=3.5（秒）,

應(yīng)選：c.

【點(diǎn)睛】此題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，理解題意，嫻熟把握含30度角的直角

三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式12］如圖，在，中，AO是8c邊上的高，BO=CQ.點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，連接OE.假設(shè)

DE=5,BC=12,那么高AO的長(zhǎng)為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】先證明DE是/3C的中位線(xiàn)，得到47-2?！?10,再求出發(fā))的長(zhǎng)即可利用勾股定理求出的

長(zhǎng).

【詳解】解：點(diǎn)/：'為4c邊的中點(diǎn)，

是..ABC的中位線(xiàn)，

???AB=2DE=］0,

VBC=12,

BD=LBC=6,

2

丁A。是BC邊上的高，即

?*-AD=\lAB2-I3D2=8'

應(yīng)選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線(xiàn)定理，勾股定理，正確依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理求出AB=10是解題的

關(guān)鍵.

【變式13］如圖，四邊形ABCO中，AC_L3DAC=6,3。=8,點(diǎn)反/分別是邊A。、8c的中點(diǎn)，連接樣，

那么EF的長(zhǎng)是()

D

c.V321).10

【答案】B

【分析】取AB的中點(diǎn)G,連接EGFG,依據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出

EG、FG,并求出石G_LR,然后利用勾股定理列式計(jì)算即"J得解.

【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)6,連接EG、FG,

D

???￡、二分別是邊皿8的中點(diǎn),

：.EG//BDREG=-BD=-XS=4,

22

FG//ACREG=-AC=-x6=3,

22

VAC1BD,

I.EGA.FG,

:'EF=\IEG，F(xiàn)G￡=《4。？=5.

應(yīng)選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，勾股定理的應(yīng)用，作幫助線(xiàn)構(gòu)

造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【同步測(cè)試11】如圖，在-48c中，AB=IOcm,動(dòng)點(diǎn)尸在人A邊上從點(diǎn)力開(kāi)頭向終點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，那么線(xiàn)段CP

的中點(diǎn)。從開(kāi)頭到停止所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為cm.

A

【分析】取AC中點(diǎn)從中點(diǎn)T,連接MN.再依據(jù)點(diǎn)。從開(kāi)頭到停止所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為AC的中點(diǎn)到8。

的中點(diǎn)，即為MN的長(zhǎng)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)定理即可求解.

【詳解】如圖，取AC中點(diǎn)機(jī)8c中點(diǎn)M連接MN.

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P和1點(diǎn)重合時(shí)，那么點(diǎn)。與點(diǎn)M重合，

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸和8點(diǎn)重合時(shí)，那么點(diǎn)。與點(diǎn)#重合，

由三角形中位線(xiàn)定理可知MN=^AB=5cm.

由題意可知線(xiàn)段CP的中點(diǎn)Q從開(kāi)頭到停止所經(jīng)過(guò)的路徑即為線(xiàn)段MN,

???線(xiàn)段”的中點(diǎn)。從開(kāi)頭到停止所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為5cm.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】此題考杳三角形中位線(xiàn)定理.讀懂題意，理解點(diǎn)Q從開(kāi)頭到停止所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為AC的中點(diǎn)到8C

的中點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

【同步測(cè)試12】在.工8。中，點(diǎn)E、區(qū)〃分別是AB.4cBe邊上的中點(diǎn)，假設(shè)，A8C的周長(zhǎng)為10cm,那么

/研的周長(zhǎng)

【答案】5cm##5厘米

【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，可得E尸=尸從而得到

222

EF+DE+DF=^（BC+AC+AB],即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)E、F、〃分別是A伐AC8C邊上的中點(diǎn)，

???EF='BC,DE=LAC,DF='AB,

222

EF+DE+DF=-BC+-AC+-AH=-（BC+AC+AB）,

2222V7

???金。的周長(zhǎng)為10cm,

BC+AC+A8=10cm,

,EF+DE+DF=^(BC+AC+AI3)=5cm,

即,QM的周長(zhǎng)=5cm.

故答案為：5cm

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線(xiàn)定理，嫻熟把握三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形

的第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【同步測(cè)試13158C中，〃、E、少分別是邊A3、BC、C4的中點(diǎn)，假設(shè)」)EF的周長(zhǎng)為20cm,那么.A8C

的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【答案】40cm

【分析】先依據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，再利用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)即可得到答案.

【洋解】解：依據(jù)題意畫(huà)出圖形如下：

???點(diǎn)。、E、尸分別是44、AC、AC的中點(diǎn)

:.DE、EF、尸力是_A8c的三條中位線(xiàn)

/.AC=2DE.AB=2EF、BC=2FD,

丁.Z)斯的周長(zhǎng)是20cm

JDE+EF+FD=20cm

???AC+AB+BC=2(DE+EF+FD)=40cm

工../WC的周長(zhǎng)是40cm.

故答案為：40cm

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線(xiàn)的定義和性質(zhì)，嫻熟把握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于它的

一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

【同步測(cè)試14】如圖，RtAABC,ZBAC=90°,D,E分別為48,BC的中點(diǎn)，8c=10,AC=6,點(diǎn)/在C4

的延長(zhǎng)線(xiàn)上，/FDA=NB.

B

(1)求的長(zhǎng)；

(2)求四邊形AEE尸的周長(zhǎng).

【答案】⑴5

⑵16

【分析】(1)直接利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半求解即可；

(2)依據(jù)中位線(xiàn)及更角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)易證得四邊形定為平行四邊形，對(duì)邊相等，進(jìn)而可

得到OE,AF,AE,。尸的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：???N3AC=90。，E為8C的中點(diǎn)，8c=10,

AE=-BC=BE=5-

2

(2)VZ?,￡分別為AB,8C的門(mén)點(diǎn)，

/.DE//AC,DE=-/4C=3,

2

由(1)知，AE=BE,/.ZB=ZE4D,

*//FDA=NB,

^FDA=ZEAD,

???AEpF

???西邊形為平行四邊形，

??.QE=4產(chǎn)=3,AE=DF=5,

所以四邊形AED產(chǎn)的周長(zhǎng)=5+3+5+3=16.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線(xiàn)的定理，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是找到角之間的關(guān)系和邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.

【同步測(cè)試15】(1)回憶定理：如圖1,在乂8c中，/)￡是的中位線(xiàn).那么。石與8C的關(guān)系有

(2)運(yùn)用定理：如圖2,在四邊形48co中，ZABC=50°,NBCD=40°,點(diǎn)產(chǎn)為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BD

的中點(diǎn).假設(shè)AB=4,CD=6,求石產(chǎn)的長(zhǎng).

【答案】⑴DE//BC,DE=^BC；(2)屈

【分析】(1)直接依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理直接作答；

(2)取AC的中點(diǎn)〃，連接E”、FH,依據(jù)中位線(xiàn)定理可得E，=；CQ=3,EH//CD,即有

ZEHB=/BCD=40。,同理，F(xiàn)H=^AB=2tFH//AB^NH/C=NA3C=50。，即可得/石〃/=90。，

再依據(jù)勾股定理即可作答.

【詳解】解：(1)在..ABC中，DE是的中位線(xiàn)，

:.DE〃BC,DE=-BC,

2

故答案為：DE//BC,DE=；BC；

⑵取的中點(diǎn)"連接E”、FH,

???點(diǎn)〃為80的中點(diǎn)，點(diǎn)〃為8c的中點(diǎn),

AEH=-CD=3,EH//CD,

2

???/EHB=NBCD=40。,

同理，F(xiàn)H=；AB=2,FH〃AB.

???^FHC=ZABC=50°,

AZ￡WF=90°,

由勾股定理得,EF=yJEH2+FH2=V32+22=V13-

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理以及勾股定理，把握三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

題型二三角形中位線(xiàn)面積問(wèn)題

【例題21］如圖，AO是SBC的中線(xiàn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，假設(shè)的面積為24cnA那么ACDE的面

A.8cm'B.6cm"C.4cmD.3cm,!

【答案】B

【分析】依據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩局部，正而解答即可.

【詳解】解：?.是的邊8C上的中線(xiàn)，。的面積為24cm:

.?94DC的面積為:1x24=12(cm2),

二,點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，

.工C。石的面積為：^xl2=6(cm2),

應(yīng)選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形面積的求法和三角形的中線(xiàn)，把握三角形的中線(xiàn)將三角形分成面枳相等的

兩局部，是解答此題的關(guān)鍵.

【例題22］如圖，OE是*8。的中位線(xiàn)，J/是。片的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線(xiàn)交于*，那么MW:MC=,

【分析】利用。E是中位線(xiàn)，〃是。石的中點(diǎn)，依據(jù)各邊關(guān)系可以求出結(jié)果：把各邊關(guān)系轉(zhuǎn)換為面積的關(guān)系

來(lái)解答即可.

【詳解】解：DE是中位線(xiàn)，.機(jī)是DE中點(diǎn),

MNDM1

~NC~~BC~4'

NM1

/.---=-，

MC3

DE是中位線(xiàn),

°sADE-isABC，

S四邊形Q8CE=WS\，ABC，

連接AM，AE=CE,

QDM:BC=1:4,

S'NDM:S四邊形OBCM=1：15，

故答案為：1:3；1:5.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，利用相像三角形的面枳比等于相像比的平方，是解題的關(guān)鍵.

【例題23］如圖，是七巧板的例作圖，其中點(diǎn)反F、H、M、"分別是AO、OA,OD、OC、CO的中點(diǎn)，

且正方形￡尸。〃的面積是1,那么正方形A8CO的面積是_____.

【答案】8

【分析】依據(jù)點(diǎn)￡F、〃、I/、;V分別是4Z04OD.OC、CO的中點(diǎn)，正方形的面積是1,可得

OF=OA=OH=DH=],然后利用正方形的面積等「對(duì)角線(xiàn)乘積的一半即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：二?點(diǎn)反凡//、MI分別是ADOA.OD.OC、CD的中點(diǎn)，正方形EFOH的面積是1,

：?OF=OA=OH=DH=1,

，AC=BD=4,

/.正方形A8c。的面積=；乂4乂4=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì).解決此題的關(guān)鍵是七巧板中的每個(gè)板的面積都可以利用正方形的性質(zhì)

求出來(lái)的.

【例題24]如圖，在“灰?中，點(diǎn)〃，E,尸分別為邊BC,AD,CE的中點(diǎn)，且面積等于8cm?,那

么叢BEF的面積等于cm2.

【答案】2

【分析】依據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答即可.

【詳解】解：???點(diǎn)/是CE的中點(diǎn)，

EF=-EC,

2

???ABEF'I'石尸邊上的高與BEC中EC邊上的高相等，

??SBEF=QS.BEC，

同理，???月是A。的中點(diǎn),

=

??S盤(pán)BD，S2CDE~*^ZiACD

:?SEBC

,,SBEF=彳,ABC'

.謝=8cm：

???s府=；x8=2cm2即陰影局部圖形的面積為2cm2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查利用中線(xiàn)的性質(zhì)求三角形的面積，解題的關(guān)鍵是把握“三角形的中線(xiàn)把三角形分成兩個(gè)

面積相等的三角形".

【變式21］如圖，/6C三邊的中線(xiàn)AO,BE,C尸的公共點(diǎn)為G,且AG:GD=2:1,假設(shè)5獷8c=%,那

么圖中陰影局部的面積是____.

【答案】4

【分析】依據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形的面積分成相等的兩局部，可知/8C的面積即為陰影局部的面積的3

倍.

【詳解】解：???/8C的三條中線(xiàn)4。，BE,C/交于點(diǎn)6,AG:GD=2：］,

???AE=CE,

，SBGF=SBGD=3SBCF'

=

S/SACFSDBCF~不§△八8c=5X12=6,

x

.CGE=§SACF=3x6=2,SBGFBCF=_6=2,

=

S用影=S,CGE+SBGF4

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的面積，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式22】廚房角柜的臺(tái)面是三角形（如下圖），假如把各邊中點(diǎn)連線(xiàn)所圍成的三角形鋪成黑色大理石（圖

中陰影局部），其余局部鋪成白色大理石，那么黑色大理石面積與白色大理石的面積之比是

【答案】l：3##g

【分析】依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.易證明此圖

中分割的四個(gè)三角形的面積都相等.所以黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是1:3.

【詳解】解：如圖，

???〃、E、〃分別是鉆、DC.AC的中點(diǎn)，

：.DF=BE=EC,EF=AD=BD,DE=AF=FC,

，4BDEWAADF@ACEF@ADEF,

?c_q_q_q

??°ABDE-一°AC￡F一°ADEF，

???黑色大理石的面積與白色大理石面積的比是1:3.

應(yīng)選:C.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線(xiàn)定理，依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可以證明三角形被它的三條中位線(xiàn)分成

的四個(gè)三角形全等.

【變式23］如圖，在A8C中，點(diǎn)DE,尸分別為AD,CE的中點(diǎn)，假設(shè).工8C的面積為6cm?,那么

△BEF的面積為cm2.

【分析】依據(jù)三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形用5人腿表示出△ABO、.ACD、4BDE,

CDE的面積，然后表示出一8C石的面積，再表示出所的面積，即可得解.

【詳解】解：點(diǎn)。、E分別為BC、AO的中點(diǎn),

5ABD=SACD=]SABC'S4BDE=QS&ABD=]^ABC?^^CDE=3s^8=?

,**S△BCE=S^BDE+S.CDE~1S2眈+-S3BC=-S^BC,

尸是CE的中點(diǎn),

一,ABEF_3、八BCE_3X彳3八.8c一彳，

,?54BEF?SgBc=1：4,

ABC的面積為6cnv,

「.工詆=；x6='cm，

3

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線(xiàn)把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，是此

類(lèi)題目常用的方法，要嫻熟把握并敏捷運(yùn)用.

【同步測(cè)試21］如圖，AD平分/B4C,3。平分N/WC,DEJ.AB,垂足為E,.A8C的周長(zhǎng)為46cm,

面積為92cm之，求OE的長(zhǎng).

【答案】4cm

【分析】依據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可.

【洋解】解：如圖，連結(jié)C力.

A/）平分N84C,8。平分/ABC,

???點(diǎn)〃到AC,AI3,8。的距離相等，即為?！甑拈L(zhǎng).

ABC的周長(zhǎng)為46cm,面積為92cm2,

/.5./ItO/,Cr=S./ItAzCfK.+S.CrczlO）l1+S-t\lJ.O....=2-AC-DE+2-BCDE+2-ABDE,

即92=goEx46,解得OE=4（cm）.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出三個(gè)距離相等.

【同步測(cè)試22］如圖，在中，點(diǎn)。為邊A4的中點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一點(diǎn)E,使得

S.石=；SMe.（保存作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】圖見(jiàn)解析

【分析】依據(jù)題意，結(jié)合三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，可得出點(diǎn)七為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，S~E=gg首先

以點(diǎn)A和點(diǎn)。為圓心，以大于（AC的相同長(zhǎng)為半徑，分別在線(xiàn)段AC兩側(cè)畫(huà)弧，其弧的交點(diǎn)分布于線(xiàn)段AC

的兩側(cè)，連接兩交點(diǎn)，交線(xiàn)段AC「點(diǎn)E,此點(diǎn)即為所求點(diǎn)，然后連接OE.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)七即為所求.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)、尺規(guī)作圖，解此題的關(guān)鍵在理清題意，通過(guò)尺規(guī)作圖正確的

出線(xiàn)段AC的中點(diǎn).

【同步測(cè)試23］如圖1所示:在A8C中，點(diǎn)。、￡分別是力847的中點(diǎn),

A

⑴直接寫(xiě)出〃夕與外之間的關(guān)系：.理由：.

(2)如圖2,點(diǎn)〃、艮'分別是三邊中點(diǎn)，圖中有個(gè)平行四邊形，求證：SM=4SDEF；

(3)如圖3,點(diǎn)、P、Q、R、S分別是四邊形力時(shí)的中點(diǎn)，問(wèn)題1,圖中是否有平行四邊形，有請(qǐng)指出并證明

你所指出的四邊形是平行四邊形.問(wèn)題2、猜測(cè)四邊形/地力和四邊形即輪之間的面積關(guān)系.并證明你的猜

測(cè).

【答案】(1)OE〃8C,=三角形的中位線(xiàn)平行「第三邊，并且等「第三邊的一半

(2)3；證明見(jiàn)解折

⑶加力形./產(chǎn)？*恒；叱,證明見(jiàn)解析

【分析】⑴由點(diǎn)。、E分別是AB,AC的中點(diǎn)，依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得。七〃8C,DE=；BC,

即可得出問(wèn)題的答案；

(2)由點(diǎn)。、E、尸分別是三邊中點(diǎn)得。石〃EF//AB.FD//AC,由?〃呼：EF〃乩)得四邊

形以汨尸是平行四邊形，同理得四邊形4。尸石是平行四邊形，四邊形C瓦牙是平行四邊形，所以圖中有3

個(gè)平行四邊形；依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證明/加注DEF0SS),EDA0DEF(SSS),CFE^.DEF(SSS),

++

那么SSFIU)==SJCFE=5乂辟，即可推導(dǎo)出^AABC=SfHO^AEIM^tv?FE+=4sA02f;

①連接80，由點(diǎn)/＞、S分別是A3、A力的中點(diǎn)得尸S〃8Z),PS=^BDt由點(diǎn)Q、R分別是CB、CD

的中點(diǎn)得。R〃8。，QR=；BD,那么PS〃QR,PS=QR,即可證明四邊形PQ?S是平行四邊形：

②連接8。交RS尸點(diǎn)/，交/'Q于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。作。石〃BC交QR的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,作RHLBD『點(diǎn)H,

由0E〃AQ,Q石〃4。得四邊形及犯。是平行四邊形，由QR〃產(chǎn)G,FR〃QG得四邊形A'GQ氏是平行四邊形,

同理得四邊形尸GPS是平行四邊形，再推導(dǎo)出S^q邊物好=京中書(shū)明形^的，由NE=NCQR,ZED/?=ZC,DR=CR

證明ADERMCQR,那么4由=S,期，所以S平行四邊彩吸=S“加，那么加.叫邊形『=?小，同理

S卒行四邊=gs心,即可證明$伽似Q=2%切彬的.

(1)

解：如圖1,點(diǎn)D、E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

DE//BC,DE=^BC(三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半)，

故答案為：DE//BC,DE=；BC,三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

(2)

??,點(diǎn)。、E、尸分別是三邊中點(diǎn)，

??DE〃BC,EF//AB,FD//AC,

DE//BF,EF//BD,

???四邊形5DEF是平行四邊形；

EF//AD,FD//AE

二?四邊形AD/話(huà)是平行四邊形；

DE//CF,FD//EC

二.四邊形CED尸是平行四邊形，

???圖中有3個(gè)平行四邊形.

證明：四邊形3。四是平行四邊形，

BF=ED，BD=EF>DF=FD,

；.AFBD@DEF(SSS),

同理，EDA0DEFSSS),、CF噲DEF(SSS),

*'?SaBD==，上用=SVJ叮，

,?SMBC=SAM+S.0A+SMFE+5Aoe=45^^.?

故答案為：3.

(3)

①有，四邊形尸是平行四邊形,

證明：如圖3,連接BO，

.點(diǎn)P、S分別是AB、A。的中點(diǎn),

:.PS〃BD、PS=；BD：

點(diǎn)Q、R分別是CB、C。的中點(diǎn),

:.QR〃BD,QR=；BD,

：.PS//QR,PS=QR,

???四邊形尸。冊(cè)是平行四邊形.

②S四邊形八灰刀=2s四邊形“肥.，

證明：如圖4,連接8。交RS于點(diǎn)尸，交PQ干點(diǎn)、G,過(guò)點(diǎn)。作。E〃8c交QR的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，作吸

于點(diǎn)H,

DE//BQ.QE//BD,

???四邊形雙龍。是平行四邊形，

QR//FG,FR//QG,

???四邊形尸GQR是平行四邊形，

同理，四邊形死心是平行四邊形，

QR=；BD,

：.：QRRH=；x；BDRH,

S平行四邊形/~S，『行四邊形創(chuàng)幽，

NE=NCQR,NEDR=NC,DR=CR,

:.tDERMCQR(AAS),

■?S\DM=S".QR,

S平斤四切形HDEQ=S\DER+S四邊出HQRQ=S4僅K+S四邊形血即=S4皿，

?',S?行網(wǎng)邊形FGQfi=QSACBO,

問(wèn)理，網(wǎng)邊形卬脖=-S、ABD，

=

S平行網(wǎng)功形股把f=S平行內(nèi)邊杉m0K+S平行內(nèi)邊影“JPS2S“7W)+2S^ABD=2Sw3&W(7)'

S四切形ABCD=2s四地形PQRS.

【點(diǎn)睛】此題考看三角形的中位紇定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、依據(jù)轉(zhuǎn)化

思想解決面積問(wèn)題等學(xué)問(wèn)與方法，敏捷運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

題型三中位線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用

【例題31］如圖，為測(cè)量池塘兩端A4的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)。，從點(diǎn)。不經(jīng)過(guò)池塘可以直接

到達(dá)點(diǎn)A和8,連接04,0B,分別取。4、08的中點(diǎn)C,D,連接C。后，量出C。的長(zhǎng)為12米，那么

就可以算出A,幺的距離是〔)

【答案】B

【分析】依據(jù)題意可知C。為三角形。48的中位線(xiàn)，結(jié)合三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)即可獲得答案.

【詳解】解：如以下圖，連接人A,

,：C、。分別為04、。8的中點(diǎn).

???C。為二。48的中位線(xiàn)，

又?「8=12米,

Z.A8=2CO=24米.

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線(xiàn)的應(yīng)用，理解并把握三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【例題32］如圖，為了測(cè)量池塘邊48兩地之間的距離，在48的同側(cè)取一點(diǎn)C,連接C4并延長(zhǎng)至點(diǎn)〃,

連接。并延長(zhǎng)至點(diǎn)反使得點(diǎn)力、〃分別是CD、CE的中點(diǎn)，假設(shè)測(cè)得。E=l8m,那么爾〃間的距離是

A.7mB.8mC.9mD.10m

【答案】C

【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可.

【詳解】解：???/1、4分別是勿、絲的中點(diǎn)，

???〃是△板的中位線(xiàn)，

:?AB=^DE=三義18=9.

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線(xiàn)定理，把握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解

題的關(guān)鍵.

［例］題33］如圖，在平坦的地面上，為測(cè)量位于水塘旁的兩點(diǎn)A,B間的距離,先確定一點(diǎn)O,分別取

08的中點(diǎn)C,。，量得8=40%那么A,A之間的距離是()

【答案】C

【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可.

【詳解】解；,:點(diǎn)C,〃為01,勿的中點(diǎn)，6Z?=40m,

，⑦是△物8的中位線(xiàn)，

：./、B=2CD=80(m),

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線(xiàn)定理，把握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解

題的關(guān)鍵.

【例題34］如圖，為了測(cè)量池塘兒4兩地的距離，圓圓在池塘外取點(diǎn)C,得到線(xiàn)段力，倒井分別取力,

。的中點(diǎn)〃E,連接DE.假設(shè)測(cè)得〃的長(zhǎng)為8米，那么46兩地相距()

A.12米B.14米C.16米D.18米

【答案】C

【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可.

【詳解】???點(diǎn)〃￡分別為⑦的中點(diǎn)，

是△?!旗的中位線(xiàn)，

：.AB=2DE,

?:嶺8米，

???得16米，

應(yīng)選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線(xiàn)定理，把握三角形中位線(xiàn)等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式31］為了更好開(kāi)展勞動(dòng)教育，實(shí)現(xiàn)五育并舉，某校開(kāi)設(shè)了勞動(dòng)實(shí)踐課程：該校的某勞動(dòng)實(shí)踐小組幫

助公園園區(qū)工人測(cè)量人工湖湖辟心〃兩點(diǎn)之間的距離，如圖，是該實(shí)踐小組所畫(huà)的示意圖，先在湖邊地面

上確定點(diǎn)。，再用卷尺分別確定小，如的中點(diǎn)最終用卷尺量出C￡>=10m,那么16之間的距離是m.

A

D

B

【答案】20

【分析】依據(jù)中位線(xiàn)定理解答即可.

【詳解】解：；C,〃是。t仍的中點(diǎn)

.??C。是一Q48的中位線(xiàn)

:.AB=2CD

CD=\Om

：.AB=20m

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線(xiàn)定理，是重要考點(diǎn)，把握相關(guān)學(xué)問(wèn)是解題關(guān)鍵.

【變式32］如圖，在二A8C中，AB=AC,D、E、產(chǎn)分別是A8、BC、AC邊的中點(diǎn)，求證：四邊形所是

菱形.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理可得DK〃AC,Q〃AD,EF=\AB.DE=\AC,可證明四邊形AD￡尸是

平行四邊形，再由A8=AC,可得DE=EF,即可求證.

【詳解】證明：???〃、E、尸分別是AB、BC、AC邊的中點(diǎn)，

ADE//AC,EF//ABEF=-AB.DE=-AC,

t22

即DE〃A￡m〃40,

???四邊形AOE/是平行四邊形，

'：AB=AC,

:?DE=EF,

???四邊形4）四是菱形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形中位線(xiàn)定理，菱形的判定，嫻熟把握三角形中位線(xiàn)定理，菱形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

【同步測(cè)試31］如圖，在矩形A8C￡＞中，P,例分別是AD,的中點(diǎn).請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按以下要

求作圖.

(1)在圖1中，作出m的即邊上的中線(xiàn);

⑵在圖2中，以為邊作一個(gè)菱形.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)連接AC,8。，作點(diǎn)M與AC、BO交點(diǎn)的線(xiàn)段并延長(zhǎng)至線(xiàn)段總交于點(diǎn)E,連接AE即為所

求；

(2)分別取BC、A3的中點(diǎn)尸、E,連接A//、FE、EP，四邊形尸日加即為所求.

【詳解】(1)如圖1,AE即為所作

D

M

BC

圖1

(2)如圖2,四邊形尸EFM即為所作

D

M

B

圖2

【點(diǎn)睛】此題考查了根本作圖，矩形、菱形的性質(zhì)，三角形中線(xiàn)等學(xué)問(wèn)，熟識(shí)以上學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【同步測(cè)試32】要測(cè)量反。兩地的距離，小明想出一個(gè)方法：在池塘外取點(diǎn)4得到線(xiàn)段AB,AC,并取

AB,AC的中點(diǎn)〃，E,連結(jié)力E.只要測(cè)出。石的長(zhǎng)，就可以求得反C兩地的距離.你認(rèn)為這個(gè)方法正確

嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】這種說(shuō)法正確，理由見(jiàn)解析

【分析】連接8C,依據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理，得出8C=2￡>E,再推斷即可.

【詳解】這種說(shuō)法正確，理由如下：

連接3C,

AB,4c的中點(diǎn)為〃，E,

:.QE是A8C的中位線(xiàn)，

:.BC=2DE,

只要測(cè)出OE的長(zhǎng)，就可以求得。，。兩地的距離，

所以，這個(gè)說(shuō)法是正確的.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，嫻熟把握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，旦等于第三邊的一半

是解題的關(guān)鍵.

【同步測(cè)試33】如圖，四邊形/I康力中，AD=^-BC,AB=DC,A?！˙C,點(diǎn)后是醫(yī)的中點(diǎn).請(qǐng)用無(wú)刻度

2

直尺按以下要求畫(huà)圖.（保存畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)作法）

圖2

(1)在圖1中，過(guò)點(diǎn)石作四邊形4外〃的高;

(2)在圖2中，作一力EC的中位線(xiàn).

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)作圖見(jiàn)解析

【分析】(1)連接/仁、物且交于點(diǎn)0.連接加并延長(zhǎng)，交力〃于點(diǎn)片連接即那么"即為過(guò)點(diǎn)￡的四

邊形力磨9的高；

(2)連接力隊(duì)切且交于點(diǎn)G.連接力￡交應(yīng)于點(diǎn)，.連接切并延長(zhǎng)，交切于點(diǎn)/.連接以，交4。于點(diǎn)

連接〃/并延長(zhǎng)，交比于點(diǎn)花連接/〃、HK、KI,那么〃/,IIK,4/即為一DEC的中位線(xiàn).

(1)

如圖，線(xiàn)段項(xiàng)即為所作；

⑵

如圖，線(xiàn)段/〃，HK,人7即為所作.

【點(diǎn)睛】此題考查作圖一簡(jiǎn)單作圖，等腰梯形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)等學(xué)問(wèn).解題關(guān)鍵是理解題意，敏捷

運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題.

【同步測(cè)試34］如圖（1）,要在燃?xì)夤艿?上修建一個(gè)泵站，分別向/I、8兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什

么地方，可使所用的輸氣管線(xiàn)最短？

聰慧的小華通過(guò)思索，很快得出了解決這個(gè)問(wèn)題的正確方法.她把管道/看成一條直線(xiàn)（圖2：,問(wèn)題就轉(zhuǎn)

化為：要在直線(xiàn)/上找一點(diǎn)R使//與即的和最小，她的做法是這樣的：

①作點(diǎn)8關(guān)于直線(xiàn)/的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)U；

②連接交直線(xiàn)/于點(diǎn)R那么點(diǎn)〃即為所求.

請(qǐng)你參照小華的做法解決以下問(wèn)題，如圖（3）,在△"C中，點(diǎn)〃、￡分別是力〃、〃、邊的中點(diǎn)，BC=6,

，切邊上的高為4,請(qǐng)你在比邊上確定一點(diǎn)夕，使△〃的的周長(zhǎng)最小.

（1）在圖中作出點(diǎn)P（保存作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）求△儂周長(zhǎng)的最小值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；

（2）8

【分析】（1）作點(diǎn)〃關(guān)于比的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。連接用交比于尺連接外，點(diǎn)P即為所求作.

（2）過(guò)點(diǎn)//作4/JL比于//,連接應(yīng)；設(shè)〃7交比于反利用三角形中位線(xiàn)定理求出〃區(qū)DF,再利用勾股

定理求出￡7,可得結(jié)論.

（1）

解：如圖，點(diǎn)P即為所求.

A

解：過(guò)點(diǎn)力作力從L砥于"連接國(guó)設(shè)〃T交比于E

,:AD=DB,AE=EC,

：,DE=WBC=3,

?：DFLBC,AIIIBC,

:?/〃AH,AD=DB,

:.RF=FH,

:.DF=』AH=2,

，：DTLBC,DE//BQ

：.DE1DT,

在近△外7中，龍=3.DT=2DF=A,

:?ET=4DE?+=J32+42=5,

:.PE+P/DE=D計(jì)陪PT=陽(yáng)ET=3+5=8,

???△〃城的周長(zhǎng)的最小值為8.

【點(diǎn)睛】此題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，勾股定理，三角形中位線(xiàn)定理等學(xué)問(wèn)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱(chēng)解決最低問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

課后限時(shí)訓(xùn)練［15min〕

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖在ZXABC中，點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，BC=6,那么DE的長(zhǎng)（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】依據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)可得結(jié)果.

【詳解】,??點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)

ADE為AABC的中位線(xiàn)

/.DE=1BC=3

應(yīng)選B.

【點(diǎn)睛】此題考查中位線(xiàn)的性質(zhì)，熟記中位線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，D,E分別是的邊A4,4c的中點(diǎn)，點(diǎn)/是線(xiàn)段OE上的一點(diǎn)，且A，、J_斯，假設(shè)瓦'=2,

AB=6,那么8C=()

【答案】B

【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)求出?！?，進(jìn)而求出。E,依據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可.

【詳解】解：在Rf/用中，ZA肥=90。，。是"的中點(diǎn)，AB=6,

DF=-AB=3

2t

:.DE=DF+EF=5,

。，E分別是/8C的邊A8,AC的中點(diǎn)，

.?.OE是48c的中位線(xiàn)，

BC=2DE=l0,

應(yīng)選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，熟記三角形中位線(xiàn)等于第三

邊的一半是解題的關(guān)鍵.

3.如圖.欣△肪。中，NACB=90°,點(diǎn)〃是△力旗的重心，連接劭并延長(zhǎng)交〃'于點(diǎn)E,連接⑦并延長(zhǎng)交

35

于點(diǎn)區(qū)連接阮假設(shè)力。=5，CF=-,那么3=()

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】先依據(jù)三角形的重心是三角形的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)求得AC,再依據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)求

得AB,然后利用勾股定理和三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)求得陽(yáng)和EF.

【詳解】解：???點(diǎn)〃是△/出。的重心，

:.小CE,AF^BF,

35

???Rt△48。中，/[％=90°,AE=-CF=一,

2t2

力后3,AF2C片5,那么冊(cè)《AB-AC?=4,

:』六三BO2,

應(yīng)選:D.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形的重心、勾股定理、三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，理解三角形的重心定義，嫻熟把握三

角形的相關(guān)學(xué)問(wèn)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

4.以下命題是假命題的是()

A.順次連接矩形各邊的中點(diǎn)所成的四邊形是菱形B.四個(gè)角都相等的四邊形是矩形

C.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形I).對(duì)角線(xiàn)相互垂直且相等的四邊形是正方形

【答案】D

【分析】依據(jù)中位線(xiàn)定理和菱形的判定定理推斷A選項(xiàng)；依據(jù)矩形的判定推斷B選項(xiàng)；依據(jù)平行四邊形的

判定推斷C選項(xiàng)；依據(jù)正方形的判定定理推斷D選項(xiàng).

【詳解】解：A選項(xiàng)，順次連接矩形各邊的中點(diǎn)所成的四邊形是菱形，這是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意;

B選項(xiàng)，四個(gè)角都相等的四邊形，那么每個(gè)角都等于90°,是矩形，這是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

C選項(xiàng)，一組對(duì)邊平行且相等的匹邊形是平行四邊形，這是真命題，故該選項(xiàng)不符合題意；

D選項(xiàng)，對(duì)角線(xiàn)相互垂直平分且相等的四邊形是正方形，原來(lái)命題是假命題，故該選項(xiàng)符合題意;

應(yīng)選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了命題與定理，把握中點(diǎn)四邊形，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題

的關(guān)鍵.

5.在比中，AC=5,BC=6,點(diǎn)、D,E,歹分別是力反BG勿的中點(diǎn)，連接〃￡EF,那么四邊形

月〃加的周長(zhǎng)是（）

A.15B.11C.10D.9

【答案】D

【分析】依據(jù)二角形中位線(xiàn)定理、線(xiàn)段中點(diǎn)的概念分別求出//、DE、EF、AF,依據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算

即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)〃E,尸分別是力〃，BC,。的中點(diǎn)，

...般；4C=2.5,力后;力。=2.5,E吟止2,Akg/l斤2,

：.四邊形力龐廣的周長(zhǎng)=力"龍+牙M49,

應(yīng)選:D.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形中位線(xiàn)定理，把握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，在菱形人8c。中，對(duì)角線(xiàn)4C,3。交于點(diǎn)。，E是力。的中點(diǎn)，連接。￡,假設(shè)OE=4,那么菱

形A8C。的周長(zhǎng)是.

【答案】32

【分析】由菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)。為8。中點(diǎn)，AB=BC=CD=AD,結(jié)合題意可確定。石為△ABO的中位線(xiàn),

即得山/W=2QE=8,從而可求出菱形A8CZ）的周長(zhǎng).

【詳解】???四邊形ABC。是菱形，

，點(diǎn)。為8。中點(diǎn)，AB=BC=CD=AD.

???點(diǎn)七是八。的中點(diǎn)，

???0E為△A3。的中位線(xiàn)，

，AB=2OE=8,

???菱形ABCD的周長(zhǎng)為4AB=32.

故答案為：32.

【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的判定和性質(zhì).把握三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，

并且等于第三邊的一半是解題關(guān)鍵.

7.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小夢(mèng)進(jìn)行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片/歷。(/