第04講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定 2題型二：證明線線垂直 2題型三：證明線面垂直 4題型四：證明面面垂直 5題型五：面面垂直的性質(zhì)定理 7題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 8題型七：鱉臑幾何體中的垂直 1102重難創(chuàng)新練 1303真題實(shí)戰(zhàn)練 19題型一：垂直性質(zhì)的簡單判定1．設(shè)、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，且．下列四個(gè)命題：①若，則或

②若，則，③若，且，則

④若與和所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·四川成都·三模）已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．，，，則題型二：證明線線垂直4．（2024·四川宜賓·三模）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．5．（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.

證明：；6．如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的正方形，，．證明：；7．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖1，在平面四邊形中，，，垂足為，將沿翻折到的位置，使得平面平面，如圖2所示.

(1)設(shè)平面與平面的交線為，證明：.題型三：證明線面垂直8．如圖所示，是的直徑，點(diǎn)是上異于，平面ABC，、分別為，的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBC；9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，是上的點(diǎn)，且平面．求證：平面；10．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，是的中點(diǎn).

(1)求該圓柱體的體積；(2)證明：平面；11．（2024·寧夏銀川·一模）如圖，在四棱錐中，已知是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.題型四：證明面面垂直12．（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn).(1)證明：平面平面BCD；(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)若，，為中點(diǎn)，求三棱錐的體積．14．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在長方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，．求證：平面平面AEF；15．（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，，，為邊上的點(diǎn)，，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且三棱柱的體積為.證明：平面平面；題型五：面面垂直的性質(zhì)定理16．如圖，在四邊形中，是邊長為2的正三角形，.現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；17．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖所示，斜三棱柱的各棱長均為，側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

證明：點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)；18．如圖1，在矩形中，點(diǎn)在邊上，，將沿進(jìn)行翻折，翻折后點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，且滿足平面平面，如圖2．(1)若點(diǎn)在棱上，平面，求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．19．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）在三棱柱中，側(cè)面平面，，側(cè)面為菱形，且為中點(diǎn)．證明：平面；題型六：垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用20．如圖，在直三棱柱：中，，，是的中點(diǎn)，在上，為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在下列給出的三個(gè)條件中選取哪兩個(gè)條件可使平面？并證明你的結(jié)論.①為的中點(diǎn)；②；③.21．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)若為邊的中點(diǎn)，能否在棱上找到一點(diǎn)，使？請證明你的結(jié)論．22．已知正方體的棱長為，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．23．（2024·江西贛州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.24．（2024·高三·山西大同·期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，且分別為棱的中點(diǎn)，平面與平面交于直線.(1)求證：；(2)若與底面所成角為，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，平面.題型七：鱉臑幾何體中的垂直25．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，，是上一點(diǎn)，，，，將沿著翻折，使運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，得到四棱錐．證明：；26．國家主席習(xí)近平指出：中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化有著豐富的哲學(xué)思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以為人們認(rèn)識(shí)和改造世界提供有益啟迪.我們要善于把弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和發(fā)展現(xiàn)實(shí)文化有機(jī)統(tǒng)一起來，在繼承中發(fā)展，在發(fā)展中繼承.《九章算術(shù)》作為中國古代數(shù)學(xué)專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方,得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”.劉徽注解為：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云”.鱉臑，是我國古代數(shù)學(xué)對(duì)四個(gè)面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱.在四面體中，PA⊥平面ACB.(1)如圖1，若D、E分別是PC、PB邊的的中點(diǎn)，求證：DE平面ABC；(2)如圖2，若，垂足為C，且，求直線PB與平面APC所成角的大?。?3)如圖2，若平面APC⊥平面BPC，求證：四面體為鱉臑.27．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽馬中，側(cè)棱底面ABCD，且，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.

證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；28．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.

證明：平面；1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于，的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．平面C．平面平面D．平面2．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則或3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知直線，和平面，，，，則的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（

）①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①② B．③④ C．①④ D．①②④5．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知兩條直線m，n和三個(gè)平面α，β，γ，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，，則6．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知，為異面直線，直線與，都垂直，則下列說法不正確的是（

）A．若平面，則，B．存在平面，使得，，C．有且只有一對(duì)互相平行的平面和，其中，D．至少存在兩對(duì)互相垂直的平面和，其中，7．（2024·廣東·一模）已知點(diǎn)分別在平面的兩側(cè)，四棱錐與四棱錐的所有側(cè)棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四邊形可能是的菱形B．四邊形一定是正方形C．四邊形不可能是直角梯形D．平面不一定與平面垂直8．（2024·全國·模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》將兩底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．如圖，已知直三棱柱是塹堵，其中，則下列說法中不一定正確的是（

）A．平面 B．平面平面C． D．為銳角三角形9．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，分別是，的中點(diǎn)，正方形的邊長為2，則在三棱錐中（

）A．的面積為 B．C．平面平面 D．三棱錐的體積為10．（多選題）（2024·江蘇·二模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的有（

）A．若，，，則B．，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．（多選題）（2024·山西呂梁·二模）如圖，在平行六面體中，底面是正方形，為與的交點(diǎn)，則下列條件中能成為“”的必要條件有（

）

A．四邊形是矩形B．平面平面C．平面平面D．直線所成的角與直線所成的角相等12．（2024·陜西·三模）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，是底面圓周上異于的一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的序號(hào)是．（填序號(hào)）①；②；③平面；④平面平面．13．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知矩形，其中，，點(diǎn)D沿著對(duì)角線進(jìn)行翻折，形成三棱錐，如圖所示，則下列說法正確的是（填寫序號(hào)即可）．①點(diǎn)D在翻折過程中存在的情況；②三棱錐可以四個(gè)面都是直角三角形；③點(diǎn)D在翻折過程中，三棱錐的表面積不變；④點(diǎn)D在翻折過程中，三棱錐的外接球的體積不變．14．如圖，在平行四邊形中，，，且交于點(diǎn)，現(xiàn)沿折痕將折起，直至折起后的，此時(shí)的面積為．15．（2024·四川·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，沿直線將翻折，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積為．16．（2024·廣東·二模）如圖，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，側(cè)面是菱形，，平面平面．(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離．17．（2024·河南鄭州·二模）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，平面？試證明你的結(jié)論．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．(1)求證：平面平面；(2)若為的中點(diǎn)，底面是正方形，，求三棱錐的體積．19．（2024·四川成都·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，在邊上，平面平面，，，，，.(1)證明：；(2)若的面積為，求三棱錐的體積.1．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；6．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；7．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；8．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．，所以，9．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；10．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；11．（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；12．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求