分?jǐn)?shù)與指數(shù)冪基礎(chǔ)練習(xí)題匯編——概念鞏固·技巧提升·思維拓展一、引言分?jǐn)?shù)與指數(shù)冪是初中代數(shù)向高中數(shù)學(xué)過渡的關(guān)鍵內(nèi)容，是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的基礎(chǔ)工具。其核心是將根式與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算統(tǒng)一為更簡潔的指數(shù)形式，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)則的“大一統(tǒng)”。掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義、性質(zhì)及運(yùn)算技巧，能有效提升代數(shù)化簡與求值的效率，為后續(xù)復(fù)雜函數(shù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文圍繞基礎(chǔ)概念“運(yùn)算規(guī)則”“實(shí)際應(yīng)用”三大維度，設(shè)計(jì)了分層練習(xí)題，涵蓋概念辨析、基本運(yùn)算、化簡求值、方程求解等題型，兼顧“夯實(shí)基礎(chǔ)”與“思維拓展”，適合初中高年級(jí)及高中新生使用。二、知識(shí)回顧在練習(xí)前，先回顧分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的核心知識(shí)，確保概念清晰：（一）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義1.正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：若\(n\)為大于1的整數(shù)，\(m\)為正整數(shù)，且\(\frac{m}{n}\)為最簡分?jǐn)?shù)，則\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad(a>0\text{時(shí)，根式有意義；}a=0\text{時(shí)，}0^{\frac{m}{n}}=0)\]注：當(dāng)\(n\)為偶數(shù)時(shí)，\(a\)必須非負(fù)（否則根式無意義）；當(dāng)\(n\)為奇數(shù)時(shí)，\(a\in\mathbb{R}\)。2.負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：\[a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}\quad(a>0)\]3.0的指數(shù)冪：\(0^0\)無意義；\(0^k=0\)（\(k>0\)）；\(0^{-k}\)無意義（\(k>0\)）。（二）指數(shù)冪的基本性質(zhì)（\(a>0,b>0,r,s\in\mathbb{Q}\)）1.同底數(shù)冪相乘：\(a^r\cdota^s=a^{r+s}\)2.同底數(shù)冪相除：\(a^r\diva^s=a^{r-s}\)3.冪的乘方：\((a^r)^s=a^{rs}\)4.積的乘方：\((ab)^r=a^rb^r\)5.商的乘方：\(\left(\frac{a}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}\)三、題型分類練習(xí)（一）概念辨析題（檢測定義理解）例1判斷下列說法是否正確（正確打“√”，錯(cuò)誤打“×”）：（1）\((-2)^{\frac{2}{4}}=\sqrt{-2}\)（2）\(0^{\frac{3}{5}}=0\)（3）\(a^{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{a}\)（\(a>0\)）（4）\(\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}\)（\(a\in\mathbb{R}\)）*解析*（1）×：左邊\((-2)^{\frac{2}{4}}=(-2)^{\frac{1}{2}}\)，但負(fù)數(shù)的偶次根式無意義；右邊\(\sqrt{-2}\)也無意義，但等式不成立（因指數(shù)化簡需保證底數(shù)非負(fù)）。（2）√：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0（符合定義）。（3）×：負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示倒數(shù)，而非相反數(shù)，正確應(yīng)為\(a^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\)。（4）√：3為奇數(shù)，\(a\in\mathbb{R}\)時(shí)根式均有意義，符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義。練習(xí)1判斷下列說法是否正確：（1）\(5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5^2}\)（2）\((-3)^{\frac{3}{5}}=-\sqrt[5]{27}\)（3）\(a^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{a})^2\)（\(a\in\mathbb{R}\)）（4）\(2^{-\frac{3}{4}}=-\sqrt[4]{8}\)（二）基本運(yùn)算題（掌握運(yùn)算規(guī)則）例2完成下列運(yùn)算：（1）將\(\sqrt[3]{x^2y^5}\)（\(x>0,y>0\)）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；（2）計(jì)算\(2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\cdot2^{\frac{1}{6}}\)；（3）計(jì)算\((3^{\frac{2}{3}})^3\div3^{\frac{1}{2}}\)；（4）計(jì)算\(\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}\)。*解析*（1）\(\sqrt[3]{x^2y^5}=x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{5}{3}}\)（直接應(yīng)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義）；（2）同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加：\(2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2^1=2\)；（3）冪的乘方后相除：\(3^{2}\div3^{\frac{1}{2}}=3^{2-\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)；（4）負(fù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為倒數(shù)：\(\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\)。練習(xí)2（1）將\(\sqrt{a\cdot\sqrt[3]{a}}\)（\(a>0\)）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；（2）計(jì)算\(5^{\frac{3}{4}}\div5^{\frac{1}{2}}\)；（3）計(jì)算\((2^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{3}})^6\)；（4）計(jì)算\((0.125)^{-\frac{2}{3}}\)；（5）計(jì)算\(\sqrt[4]{81\times16}\)（用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算）。（三）化簡求值題（綜合應(yīng)用技巧）例3化簡并求值：（1）已知\(x=2^{\frac{1}{2}}\)，求\(x^4+x^{-4}\)的值；（2）化簡\(\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}+\frac{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}\)（\(a>0,b>0,a\neqb\)）。*解析*（1）先算低次冪：\(x^2=(2^{\frac{1}{2}})^2=2\)，\(x^4=(x^2)^2=4\)，\(x^{-4}=\frac{1}{x^4}=\frac{1}{4}\)，故和為\(4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)；（2）通分后化簡：\[\frac{(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})^2+(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})^2}{(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})}=\frac{(a-2\sqrt{ab}+b)+(a+2\sqrt{ab}+b)}{a-b}=\frac{2a+2b}{a-b}=\frac{2(a+b)}{a-b}\]練習(xí)3（1）已知\(y=3^{\frac{1}{3}}\)，求\(y^6-y^{-6}\)的值；（2）化簡\(\frac{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}}}\)（\(a\neqb\)）；（3）化簡\((a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}})(a+b)\)；（4）已知\(x+x^{-1}=3\)，求\(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\)的值（提示：平方后展開）。（四）方程與不等式題（應(yīng)用性質(zhì)求解）例4解方程或不等式：（1）\(2^{x+1}=8^{\frac{1}{2}}\)；（2）\(3^{2x-1}\geq9^{\frac{1}{4}}\)；（3）\((x-2)^{\frac{1}{2}}=3\)。*解析*（1）統(tǒng)一底數(shù)：\(8^{\frac{1}{2}}=(2^3)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}\)，故方程變?yōu)閈(2^{x+1}=2^{\frac{3}{2}}\)，指數(shù)相等得\(x+1=\frac{3}{2}\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)；（2）統(tǒng)一底數(shù)：\(9^{\frac{1}{4}}=(3^2)^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}\)，不等式變?yōu)閈(3^{2x-1}\geq3^{\frac{1}{2}}\)，因底數(shù)3>1，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，故\(2x-1\geq\frac{1}{2}\)，解得\(x\geq\frac{3}{4}\)；（3）兩邊平方（注意定義域\(x-2\geq0\)）：\(x-2=9\)，解得\(x=11\)（驗(yàn)證：\(11-2=9\geq0\)，符合條件）。練習(xí)4（1）解方程\(5^{3x}=25^{\frac{2}{3}}\)；（2）解不等式\(4^{x-2}<2^{\frac{1}{2}}\)；（3）解方程\(\sqrt[3]{x+1}=-2\)；（4）解方程\((x+3)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\)（提示：轉(zhuǎn)化為正指數(shù)冪）。（五）思維拓展題（培養(yǎng)靈活應(yīng)用能力）例5比較下列各組數(shù)的大小：（1）\(2^{\frac{1}{2}}\)與\(3^{\frac{1}{3}}\)；（2）\(0.8^{\frac{1}{2}}\)與\(0.9^{\frac{1}{3}}\)。*解析*（1）取6次方（最小公倍數(shù)）：\((2^{\frac{1}{2}})^6=2^3=8\)，\((3^{\frac{1}{3}})^6=3^2=9\)，故\(2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}\)；（2）先比較正數(shù)部分的冪：\(0.8^{\frac{1}{2}}=\sqrt{0.8}\approx0.894\)，\(0.9^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{0.9}\approx0.965\)，故\(0.8^{\frac{1}{2}}<0.9^{\frac{1}{3}}\)（或取6次方：\(0.8^3=0.512\)，\(0.9^2=0.81\)，故\(0.8^{\frac{1}{2}}<0.9^{\frac{1}{3}}\)）。練習(xí)5（1）比較\(5^{\frac{1}{4}}\)與\(4^{\frac{1}{3}}\)的大??；（2）比較\(0.7^{-\frac{1}{2}}\)與\(0.6^{-\frac{1}{3}}\)的大?。ㄌ崾荆贺?fù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化為倒數(shù)）；（3）已知\(a=2^{\frac{1}{3}}\)，\(b=3^{\frac{1}{4}}\)，\(c=5^{\frac{1}{6}}\)，按從小到大排序。四、綜合測試題（自我檢測）1.化簡\(\sqrt[4]{a^2b^6}\)（\(a>0,b>0\)）為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；2.計(jì)算\(3^{\frac{1}{2}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\div3^{\frac{1}{6}}\)；3.化簡\(\frac{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}{x-y}\)（\(x\neqy\)）；4.解方程\(2^{x-1}=4^{\frac{3}{4}}\)；5.比較\(6^{\frac{1}{5}}\)與\(5^{\frac{1}{4}}\)的大小；6.已知\(x=4^{\frac{1}{3}}\)，求\(x^3+x^{-3}\)的值；7.解不等式\(9^{x+1}\geq3^{\frac{1}{2}}\)；8.化簡\((a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}})\)。五、答案與解析（一）練習(xí)1答案（1）×（\(5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\neq\frac{1}{25}\)）；（2）√（奇次根式可保留負(fù)號(hào)）；（3）√（符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪定義）；（4）×（負(fù)指數(shù)冪表示倒數(shù)，應(yīng)為\(\frac{1}{\sqrt[4]{8}}\)）。（二）練習(xí)2答案（1）\(a^{\frac{2}{3}}\)（\(\sqrt{a\cdota^{\frac{1}{3}}}=\sqrt{a^{\frac{4}{3}}}=a^{\frac{2}{3}}\)）；（2）\(5^{\frac{1}{4}}\)（\(5^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{4}}\)）；（3）\(2^3\cdot3^2=8\times9=72\)（\((2^{\frac{1}{2}})^6\cdot(3^{\frac{1}{3}})^6=2^3\cdot3^2\)）；（4）4（\((0.125)^{-\frac{2}{3}}=(2^{-3})^{-\frac{2}{3}}=2^2=4\)）；（5）6（\((81\times16)^{\frac{1}{4}}=(3^4\times2^4)^{\frac{1}{4}}=3\times2=6\)）。（三）練習(xí)3答案（1）\((3^{\frac{1}{3}})^6-(3^{\frac{1}{3}})^{-6}=3^2-3^{-2}=9-\frac{1}{9}=\frac{80}{9}\)；（2）\(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\)（因式分解：\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)，類比得\(a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}=(a^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})\)）；（3）\(a^2-b^2\)（先算前兩個(gè)：\((a^{\frac{1}{2}})^2-(b^{\frac{1}{2}})^2=a-b\)，再乘\(a+b\)）；（4）\(\sqrt{5}\)（設(shè)\(t=x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\)，則\(t^2=x+2+x^{-1}=3+2=5\)，故\(t=\sqrt{5}\)）。（四）練習(xí)4答案（1）\(x=\frac{4}{9}\)（\(25^{\frac{2}{3}}=5^{\frac{4}{3}}\)，故\(3x=\frac{4}{3}\)）；（2）\(x<\frac{9}{4}\)（\(4^{x-2}=2^{2x-4}\)，\(2^{\frac{1}{2}}=2^{0.5}\)，故\(2x-4<0.5\)）；（3）\(x=-9\)（兩邊立方：\(x+1=-8\)）；（4）\(x=1\)（轉(zhuǎn)化為\(\frac{1}{\sqrt{x+3}}=\frac{1}{2}\)，故\(\sqrt{x+3}=2\)，平方得\(x+3=4\)）。（五）練習(xí)5答案（1）\(5^{\frac{1}{4}}<4^{\frac{1}{3}}\)（取12次方：\(5^3=125<4^4=256\)）；（2）\(0.7^{-\frac{1}{2}}>0.6^{-\frac{1}{3}}\)（轉(zhuǎn)化為\(\frac{1}{\sqrt{0.7}}\approx1.195\)，\(\frac{1}{\sqrt[3]{0.6}}\approx1.186\)）；（3）\(c<a<b\)（取12次方：\(a^{12}=2^4=16\)，\(b^{12}=3^3=27\)，\(c^{12}=5^2=25\)，故\(16<25<27\)）。（六）綜合測試題答案1.\(a^{\frac{1}{2}}b^{\f